cities

/*виправила попередні помилки, тепер "я НЕ знаю твоє місто" виводиться коли потрібно,
але також виводиться і тоді, коли по ідеї програма повинна впізнати моє рідне місто.
Думаю, що проблема в тому, що жодна з комірок масиву не відповідає умові
cities[j] == nativeCity, але не зрозуміло чому
насправді ваша програма знаходить рідне місто, але якщо воно стоїть не останнім, то потім знов .. втрачає
поміркуйте, чи потрібен блок елсе з присвоюванням "я не знаю", може замість нього лише начальне значення таким встановити.
Якщо зрозуміли причину - не читайте далі, спочатку виправте свій код самостійно.
 */
let cities = []
for (let i = 0; i < 10; i++) {
    cities[i] = prompt("назви місто")
}
let result  /* можна одразу ініціалізувати тим, що є, ми ж поки не знаємо  - то таку строку і присвойте.
тоді в коді нижче елсе і присваювання "я не знаю" більше не потрібні */
let nativeCity = prompt("а яке твоє рідне місто?")
for (let j = 0; j < cities.length; j++) {
    if (cities[j] == nativeCity) {
        result = "я знаю твоє місто!" // якщо ми тут = знайшли, але цикл то продовжується і..
    } else {
        result = "я НЕ знаю твоє місто" /* ..і ми на наступному місті опинимось тут, то правильна ж
                                        відповідь "затреться" неправильною */
    }
}
console.log(result)

/* Можна ще покращити - після того як знайшли рідне місто можна вже далі не шукати. */