całeczka

\documentclass[a4paper,11pt,fleqn]{article}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{anysize}
\usepackage{times}
\usepackage{multirow}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[polish]{babel}


%\marginsize{left}{right}{top}{bottom}
\marginsize{3cm}{3cm}{3cm}{3cm}
\sloppy

\begin{document}
\section*{Całka Riemmana}

Niech dana będzie funkcja ograniczona
 $f\! \colon \! [a,b]\to \mathbb {R} .$ Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę

\[
   R_{f,P(q_{1},\dots ,q_{n})}=\sum _{i=1}^{n}f(q_{i})\cdot \Delta p_{i}. R_{{f,P(q_{1},\dots ,q_{n})}}=\sum _{{i=1}}^{n}f(q_{i})\cdot \Delta p_{i}.
\]

\noindent Funkcję $f$ nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego $(P^{k})$ podziałów przedziału $[a,b]$ istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica
    $R_{f}=\lim _{k\to \infty }R_{f,P^{k}\left(q_{1}^{k},\dots ,q_{n_{k}}^{k}\right)} $

\noindent nazywana wtedy \textbf{całką Riemanna} tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba $R_{f},$ że dla dowolnej liczby rzeczywistej $\varepsilon >0$ istnieje taka liczba rzeczywista $\delta >0,$ że dla dowolnego podziału $P(q_{1},\dots ,q_{n})$ o średnicy $\mathrm {diam} \;P(q_{1},\dots ,q_{n})<\delta ;$ bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej $\varepsilon >0$ istnieje taki podział $ S(t_{1},\dots ,t_{m})$ przedziału $[a,b],$ że dla każdego podziału $ P(q_{1},\dots ,q_{n})$ rozdrabniającego$ S(t_{1},\dots ,t_{m})$ zachodzi

    $ \left|R_{f,P(q_{1},\dots ,q_{n})}-R_{f}\right|<\varepsilon .$

\noindent Funkcję $f$ nazywa się wtedy całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną), a liczbę R $f$ jej \textbf{całką Riemanna}.
\end{document}