Yukterez

Kerr Initial Condition Solver

Mar 20th, 2018
135
Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
  1. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  2. (* || CODE 1: Lokale Geschwindigkeit nach Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q ||||||||||||||||||||| *)
  3. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  4.  
  5. ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
  6.  
  7. (* || Startposition etc. eingeben |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  8.  
  9. r0 = 7;
  10. θ0 = π/2;
  11. φ0 = 0;
  12. a = 9/10;
  13. μ =-1;
  14.  
  15. (* || Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante eingeben |||| *)
  16.  
  17. ε = (72 Sqrt[3/2136769])/7+5 Sqrt[3581/105087];
  18. Lz = (2 Sqrt[105087/61])/35;
  19. Q = 700/183;
  20.  
  21. (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante ||||||||||||| *)
  22.  
  23. ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)]+(2 a r0 vφ0 Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1+μ v0^2];
  24. L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1+μ v0^2];
  25. Q0 = (vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0^2 Cos[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2))/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)-a^2 Cos[θ0]^2 (-1+v0^2+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)]+(2 a r0 vφ0 Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2))/(1+μ v0^2);
  26.  
  27. (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  28.  
  29. "Code 1"
  30. FindInstance[ε0==ε && L0==Lz && Q0==Q && vr0^2==v0^2-vφ0^2-vθ0^2 && v0>0 && vθ0>=0, {v0,vr0,vφ0,vθ0}, Reals]
  31. N[%]
  32.  
  33. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  34. (* ||||| Mathematica Syntax |||| http://kerr.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna ||||| *)
  35. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  36.  
  37. (* || *)
  38. (* || *)
  39. (* || *)
  40. (* || *)
  41. (* || *)
  42. (* || *)
  43. (* || *)
  44. (* || *)
  45. (* ||*)
  46. (* || *)
  47. (* || *)
  48. (* || *)
  49. (* || *)
  50. (* || *)
  51. (* || *)
  52. (* || *)
  53. (* || *)
  54. (* ||*)
  55. (* || *)
  56. (* || *)
  57. (* || *)
  58.  
  59. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  60. (* || CODE 2: Lokale Geschwindigkeit nach ersten Eigenzeitableitungen |||||||||||||||||| *)
  61. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  62.  
  63. ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
  64.  
  65. (* || Startposition etc. eingeben |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  66.  
  67. r0 = 7;
  68. θ0 = π/2;
  69. φ0 = 0;
  70. a = 9/10;
  71. μ =-1;
  72.  
  73. (* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
  74.  
  75. dt = (5 Sqrt[35029/10743])/7;
  76. dr = 0;
  77. dθ = 10/(7 Sqrt[1281]);
  78. dφ = (300 Sqrt[3/125438849])/7+40 Sqrt[3/2136769];
  79.  
  80. (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante ||||||||||||| *)
  81.  
  82. ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)]+(2 a r0 vφ0 Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1+μ v0^2];
  83. L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1+μ v0^2];
  84. Q0 = (vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0^2 Cos[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2))/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)-a^2 Cos[θ0]^2 (-1+v0^2+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)]+(2 a r0 vφ0 Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2))/(1+μ v0^2);
  85.  
  86. (* || Benötigte Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  87.  
  88. Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
  89. δ=r0^2-2r0+a^2;
  90. j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
  91. pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
  92. pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
  93.  
  94. dT=ε0+(2r0(r0^2+a^2)ε0-2 a r0 L0)/(Ξ δ);
  95. dR=(pr0 δ)/Ξ;
  96. dΘ=pθ0/Ξ;
  97. dΦ=(2 a r0 ε0+(Ξ-2 r0)L0 Csc[θ0]^2)/(Ξ δ);
  98.  
  99. (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  100.  
  101. "Code 2"
  102. FindInstance[dT==dt && dR==dr && dΘ==dθ && dΦ==dφ && v0>0, {v0,vr0,vφ0,vθ0}, Reals]
  103. N[%]
  104.  
  105. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  106. (* ||||| Mathematica Syntax |||| http://kerr.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna ||||| *)
  107. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  108.  
  109. (* || *)
  110. (* || *)
  111. (* || *)
  112. (* || *)
  113. (* || *)
  114. (* || *)
  115. (* || *)
  116. (* || *)
  117. (* ||*)
  118. (* || *)
  119. (* || *)
  120. (* || *)
  121. (* || *)
  122. (* || *)
  123. (* || *)
  124. (* || *)
  125. (* || *)
  126. (* ||*)
  127. (* || *)
  128. (* || *)
  129. (* || *)
  130.  
  131. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  132. (* || CODE 3: Erste Eigenzeitableitungen nach lokalen Geschwindigkeiten ||||||||||||||||| *)
  133. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  134.  
  135. ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
  136.  
  137. (* || Startposition etc. eingeben |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  138.  
  139. r0 = 7;
  140. θ0 = π/2;
  141. φ0 = 0;
  142. a = 9/10;
  143. μ =-1;
  144.  
  145. (* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
  146.  
  147. vr0 = 0;
  148. vθ0 = 2/Sqrt[61];
  149. vφ0 = 12/(5 Sqrt[61]);
  150. v0 = Sqrt[vr0^2+vθ0^2+vφ0^2];
  151.  
  152. (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante ||||||||||||| *)
  153.  
  154. ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)]+(2 a r0 vφ0 Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1+μ v0^2];
  155. L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1+μ v0^2];
  156. Q0 = (vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0^2 Cos[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2))/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)-a^2 Cos[θ0]^2 (-1+v0^2+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)]+(2 a r0 vφ0 Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2))/(1+μ v0^2);
  157.  
  158. (* || Benötigte Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  159.  
  160. Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
  161. δ=r0^2-2r0+a^2;
  162. j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
  163. pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
  164. pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
  165.  
  166. dT=ε0+(2r0(r0^2+a^2)ε0-2 a r0 L0)/(Ξ δ);
  167. dR=(pr0 δ)/Ξ;
  168. dΘ=pθ0/Ξ;
  169. dΦ=(2 a r0 ε0+(Ξ-2 r0)L0 Csc[θ0]^2)/(Ξ δ);
  170.  
  171. (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  172.  
  173. "Code 3"
  174. FindInstance[dT==dt && dR==dr && dΘ==dθ && dΦ==dφ, {dt,dr,dθ,dφ}, Reals]
  175. N[%]
  176.  
  177. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  178. (* ||||| Mathematica Syntax |||| http://kerr.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna ||||| *)
  179. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  180.  
  181. (* || *)
  182. (* || *)
  183. (* || *)
  184. (* || *)
  185. (* || *)
  186. (* || *)
  187. (* || *)
  188. (* || *)
  189. (* ||*)
  190. (* || *)
  191. (* || *)
  192. (* || *)
  193. (* || *)
  194. (* || *)
  195. (* || *)
  196. (* || *)
  197. (* || *)
  198. (* ||*)
  199. (* || *)
  200. (* || *)
  201. (* || *)
  202.  
  203. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  204. (* || CODE 4: Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q nach lokalen Geschwindigkeiten |||||||||||||||||| *)
  205. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  206.  
  207. ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
  208.  
  209. (* || Startposition etc. eingeben |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  210.  
  211. r0 = 7;
  212. θ0 = π/2;
  213. φ0 = 0;
  214. a = 9/10;
  215. μ =-1;
  216.  
  217. (* || Startwerte für die ersten Eigenzeitableitungen eingeben ||||||||||||||||||||||||||| *)
  218.  
  219. vr0 = 0;
  220. vθ0 = 2/Sqrt[61];
  221. vφ0 = 12/(5 Sqrt[61]);
  222. v0 = Sqrt[vr0^2+vθ0^2+vφ0^2];
  223.  
  224. (* || Gleichungen für Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante ||||||||||||| *)
  225.  
  226. ε0 = (Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)]+(2 a r0 vφ0 Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))/Sqrt[1+μ v0^2];
  227. L0 = (vφ0 Sin[θ0] Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)])/Sqrt[1+μ v0^2];
  228. Q0 = (vθ0^2 (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)+(vφ0^2 Cos[θ0]^2 ((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2))/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)-a^2 Cos[θ0]^2 (-1+v0^2+(Sqrt[((a^2+(-2+r0) r0) (r0^2+a^2 Cos[θ0]^2))/((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)]+(2 a r0 vφ0 Sin[θ0])/((r0^2+a^2 Cos[θ0]^2) Sqrt[((a^2+r0^2)^2-a^2 (a^2+(-2+r0) r0) Sin[θ0]^2)/(r0^2+a^2 Cos[θ0]^2)]))^2))/(1+μ v0^2);
  229.  
  230. (* || Benötigte Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  231.  
  232. Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
  233. δ=r0^2-2r0+a^2;
  234. j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];
  235. pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
  236. pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
  237.  
  238. dT=ε0+(2r0(r0^2+a^2)ε0-2 a r0 L0)/(Ξ δ);
  239. dR=(pr0 δ)/Ξ;
  240. dΘ=pθ0/Ξ;
  241. dΦ=(2 a r0 ε0+(Ξ-2 r0)L0 Csc[θ0]^2)/(Ξ δ);
  242.  
  243. (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  244.  
  245. "Code 4"
  246. FindInstance[ε==ε0 && Lz==L0 && Q==Q0, {ε,Lz,Q}, Reals]
  247. N[%]
  248.  
  249. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  250. (* ||||| Mathematica Syntax |||| http://kerr.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna ||||| *)
  251. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  252.  
  253. (* || *)
  254. (* || *)
  255. (* || *)
  256. (* || *)
  257. (* || *)
  258. (* || *)
  259. (* || *)
  260. (* || *)
  261. (* ||*)
  262. (* || *)
  263. (* || *)
  264. (* || *)
  265. (* || *)
  266. (* || *)
  267. (* || *)
  268. (* || *)
  269. (* || *)
  270. (* ||*)
  271. (* || *)
  272. (* || *)
  273. (* || *)
  274.  
  275. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  276. (* || CODE 5: Erste Eigenzeitableitungen nach Erhaltungsgrößen ε, Lz, Q ||||||||||||||||| *)
  277. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  278.  
  279. ClearAll["Global`*"]; ClearAll["Local`*"];
  280.  
  281. (* || Startposition etc. eingeben |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  282.  
  283. r0 = 7;
  284. θ0 = π/2;
  285. φ0 = 0;
  286. a = 9/10;
  287. μ =-1;
  288.  
  289. (* || Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls & Carter Konstante eingeben |||| *)
  290.  
  291. ε = (216 Sqrt[14957383]+2135 Sqrt[878071943])/(14957383 Sqrt[21]);
  292. Lz = (2 Sqrt[105087/61])/35;
  293. Q = 700/183;
  294.  
  295. (* || Gleichungen ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  296.  
  297. ℧ = 0;
  298. q = 0;
  299.  
  300. Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
  301. δ=r0^2-2r0+a^2+℧^2;
  302. χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
  303. Xj=a Sin[θ0]^2;
  304. щ=(q ℧ r0 (a^2+r0^2))/(δ Ξ);
  305.  
  306. gtt=1-(2 r0-℧^2)/Ξ;
  307. grr=-Ξ/δ;
  308. gθθ=-Ξ;
  309. gφφ=-χ/Ξ Sin[θ0]^2;
  310. gtφ=a (2r0-℧^2) Sin[θ0]^2/Ξ;
  311.  
  312. P=ε(r0^2+a^2)+℧ q r0-a Lz;
  313. Vr=P^2-δ(μ^2 r0^2+(Lz-a ε)^2+Q);
  314. Vθ=Q-Cos[θ0]^2(a^2(μ^2-ε^2)+Lz^2/Sin[θ0]^2);
  315.  
  316. dT=Abs[1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (Lz (δ Xj-a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+ε (-δ Xj^2+Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2)^2)-q ℧ r0 Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))];
  317. dR=Sqrt[Abs[Vr]]/Ξ;
  318. dΘ=Sqrt[Abs[Vθ]]/Ξ;
  319. dΦ=1/(δ Ξ Sin[θ0]^2) (ε (-δ Xj+a Sin[θ0]^2 (r0^2+a^2))+Lz (δ-a^2 Sin[θ0]^2)-q ℧ r0 a Sin[θ0]^2);
  320.  
  321. (* || Output: lokale Geschwindigkeitskomponenten ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  322.  
  323. "Code 5"
  324. FullSimplify[FindInstance[{dt==dT && dr==dR && dθ==dΘ && dφ==dΦ}, {dt, dr, dθ, dφ}]]
  325. N[%]
  326.  
  327. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
  328. (* ||||| Mathematica Syntax |||| kerr.newman.yukterez.net |||| Simon Tyran, Vienna ||||| *)
  329. (* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
RAW Paste Data