Exclude infinity growing sequences in Collatz conjecture

Утверждение:
В схеме Коллатца, число последовательных операций (3N+1)/2 - не может быть бесконечным.

Доказательство:
n = aq+r, что доказано
n = 3q+r, что доказано, в частности.

Определим множества:
1: 3q+1	нечетные	1	7	13	19	25	31	шаг +6 для чисел, нечетные
2: 3q+2	четные		2	8	14	20	26	32	шаг +6 для чисел, числа делятся на 2
3: 3q+0	нечетные	3	9	15	21	27	33	шаг +6 для чисел, числа делятся на 3
4: 3q+1	четные		4	10	16	22	28	34	шаг +6 для чисел, числа делятся на 2
5: 3q+2	нечетные	5	11	17	23	29	35	шаг +6 для чисел, нечетные
6: 3q+0	четные		6	12	18	24	30	36	шаг +6 для чисел, числа делятся на 2 и на 3

Пронумеруем множества как 1, 2, 3, 4, 5, 6

Определим операции, включающие в себя условия для них:
Операция A: (3N+1)/2, эта операция применяется ТОЛЬКО для нечетных чисел N.
Операция B: N/2, применяется ТОЛЬКО для четных чисел N.

Операция С: (3N+1) - операция С, это просто часть операции A.
Операция D: 3N - это просто часть операции С, и А.
Операция E: N+1 - это просто часть операции С и А.
Эти три операции, применяются последовательно, в единой операции А.
Итак, A = DEB = CE

Проанализируем результат операции А:

Пусть N, некое стартовое, нечетное число.
D даст тоже нечетное N2, всегда вида 3q+0, из множества 3, что очевидно, так как и N2 = 3N и делится на 3 без остатка,
и согласно операции D, и r = 3N%3 = 0, в представлении 3q+r, значит q = N, r = 0, и N = 3q+0,
оно всегда будет во множестве 3, так как это - тоже нечётное.

E, к нечётному вида 3q+0, всегда даст четное вида 3q+1, из множества 4, так как происходит сдвиг на +1.

B для четного вида 3q+1, даст либо нечетное, либо четное, из множеств 2 либо 5, причем обязательно вида 3q+2.

Так как A = DEB, то следовательно, операция A над любым нечётным N,
даст либо нечетное вида 3q+2 из множества 5, либо четное вида 3q+2 из множества 2 либо.
Значит, других вариантов множеств, для результатов операции А - не дано.

Четное, вида 3q+2, четное тогда, когда q четное, и к нему уже - применяется операция B.
Нечетное вида 3q+2, нечётное только тогда, когда q - нечетное, и к нему применяется операция А.

Рассмотрим последовательность последовательных операций А:
N2 = (3N+1)/2
N3 = (3N2+1)/2
N4 = (3N3+1)/2
и так далее...

Так как операция А применяется только для нечетных чисел, то числа N, N2, N3, N4, ... - нечетные.
Более того, это нечётные числа, вида 3q+2, из множества 5, так как именно это - нечетный результат операции А.

Таким образом, операция А, может продолжаться до тех пор, пока на выходе каждой операции А, будет нечётное, вида 3q+2.

Предположим, что существует бесконечная последовательность последовательных операций А.

Теперь, рассмотрим применение операции A к нечетному числу вида 3q+2:
(3(3q+2) + 1) / 2 = (9q + 6 + 1) / 2 = (9q + 7)/2 = (9q + 3)/2 + 4/2 = (9q + 3)/2 + 2 = 3((3q+1)/2) + 2

Таким образом, нечётное 3q+2, может давать нечетное вида 3q2+2 тогда,
когда q2 = (3q+1)/2.
При  этом, нечётное q, должно давать нечетное q2, на всей последовательности операций A.
Последовательность операций над q, аналогична последовательности операций над N, которому это q соответствует.
Но, q2 = (3q+1)/2 - это результат применения операции А к q, тоже,
в результате которой, нечётное q, может давать как нечётное q2, так и чётное.

Таким образом, число последовательных операций А для нечетного числа N, вида 3q+2,
ограничено последовательностью операций А и для нечётного q, для этого числа N, вида 3q+2.

(фрагмент наиболее длинной последовательности, для числа 6171)
N			q		q'		q''		q'''	q''''	q'''''	q''''''
42815		14271	-
64223		21407	7135	-
96335		32111	10703	3567	-
144503		48167	16055	5351	1783	-
216755		72251	24083	8027	2675	891	-
325133		108377	36125	12041	4013	1337	445		-
487700		162566	54188	18062	6020	2006	668		222	-

Если для некоего стартового нечетного N, вида 3q+2, q нечетное, и его невозможно представить в виде q = 3q'+2
то после операции А над N,
следующее q2, для N2, полученное в результате операции А над q тоже (а она выполняется и для q тоже, исходя из уравнения),
если оно нечётное, то его возможно представить в виде q2 = 3q2'+2, тоже.
Таким образом: q2 = 3q2'+2

Исходя из уравнения выше, дальнейшее применение операции А к N2, применяется также и для q2, и для q2' тоже.
Таким образом, q2' может дать некое q3', которое может быть либо четным, либо нечётным.
Если оно четное, то это последняя операция A в последовательности.
Если оно нечётное, то представимо в виде q3' = 3q3''+2.

Получается, что для последнего числа в последовательности, число представлений его различных q
q = 3q'+2
q' = 3q''+2
q'' = 3q'''+2
и так далее...
Число этих представлений - равно числу операций А.

А число таких Q, ограничено тритовой длиной соответствующего числа N,
Так как эти q получаются по формуле: (N-2)/3, что уменьшает тритовую длину числа N, втрое, то есть на один трит.

Это значит, что если бы в последовательности, число последовательных операций А, было бы бесконечным,
то в результате, получилось бы число, для которого существует бесконечное число q.

Но так как число N, ограничено тритовой длиной числа N, и она - конечна, то число последовательных операций A не может быть больше чем число таких q.

Последовательное применение операции A, увеличивает число N примерно на 1.5, исходя из структуры операции А.
Для увеличения числа N на один трит, необходимо как минимум утраивание этого числа.
Это значит, что последовательное применение операций А, над числом N, не может породить бесконечное число q,
число которых зависит от тритовой длины, и не может породить из-за медленного роста тритовой длины результата.

Следовательно, число последовательных операций А - не может быть бесконечным.
Утверждение - доказано.