caso I

\item[Caso I ] $V\neq 0$ y $T\neq 0$\\
Sean $w=\dfrac{TV}{1+\alpha V}$, $k=\dfrac{k'_{1}}{\mu_{I}}$ y $\gamma=N\mu_{b}k-k_{1}$.
vamos a usar las tres ecuaciones planteadas en un inicio. Por la w y la k que definimos tenemos que:$$I=kw$$.
Vamos a empezar por sustituir y tratar de llegar a un resultado.
\begin{align*}
Tomamos\,la\,tercera\,ecuacion,\\
T\gamma &= -\mu_{V}-\alpha\mu_{V}V\\
T\gamma + \alpha\mu_{V}V &= -\mu_{V}\\
despejando,\\
V&=\dfrac{-\mu_{V}-T\gamma}{\alpha\mu_{V}}
\end{align*}
Ahora vamos a encontrar el o los valores de T.
\begin{align*}
S-\mu_{I}T+rT-\dfrac{rT^2}{T_{max}}-\dfrac{krTw}{T_{max}}-k_{1}w&=0\\
S-\mu_{I}T+rT-\dfrac{rT^2}{T_{max}}&=\left(\dfrac{krt}{T_{max}}+k_{1}\right)w=\left(\dfrac{krt}{T_{max}}+k_{1}\right)\dfrac{TV}{1+\alpha V}\\
\left(\dfrac{-r}{T_{max}}T^{2}+(r-\mu_{I})T+S\right)\left(1+\left(-1+\dfrac{T\gamma}{\mu_{V}}\right)\right)&=\left(\dfrac{krT}{T_{max}}+k_{1}\right)\left(\dfrac{-\mu_{V}T-T^{2}\gamma}{\alpha\mu_{V}}\right)\\
cancelamos\, y\, nos\, queda,\\
-\dfrac{r\gamma}{T_{max}}T^{3}+\gamma(r-\mu_{I})T^{2}+\gamma ST&= \dfrac{krT}{\alpha T{max}}T^{3}+\dfrac{\mu_{V}kr}{T_{max}\alpha}T^{2}+\dfrac{K_{1}\gamma}{\alpha}T^{2}+\dfrac{k_{1}\alpha}{\alpha}T\\
tenemos,\\
\left(\dfrac{kr\gamma}{\alpha T_{max}}+\dfrac{r\alpha}{T_{max}}\right)T^{2}+\left(\dfrac{\mu_{V}kr}{T_{max}\alpha}+\gamma(\mu_{I}-r)+\dfrac{k_{1}\gamma}{\alpha}\right)T+\dfrac{k_{1}\mu_{V}}{\alpha}-\gamma S&=0\\
\end{align*}
A continuacion vamos a checar el el determinante de la última ecuación.
El determinante es:\\
$$D=\sqrt{\left(\dfrac{\mu_{V}kr}{T_{max}}+\gamma(\mu_{I}-r)+\dfrac{k_{1}\mu_{V}}{\alpha}\right)^{2}-4\left(\dfrac{kr\gamma}{\alpha T_{max}}+\dfrac{r\alpha}{T_{max}}\right)\left(\dfrac{k_{1}\mu_{V}}{\alpha}-\gamma S\right)}$$.
Para poder saber si la solución es real o compleja vamos si es positivo o negativo.\\
Tomamos la parte de adentro de la raiz cuadrada.\\
\begin{align*}
&=\left(\dfrac{\mu_{V}kr}{T_{max}}+\gamma(\mu_{I}-r)+\dfrac{k_{1}\mu_{V}}{\alpha}\right)^{2}-4\left(\dfrac{kr\gamma}{\alpha T_{max}}+\dfrac{r\alpha}{T_{max}}\right)\left(\dfrac{k_{1}\mu_{V}}{\alpha}-\gamma S\right)
&=\left(\dfrac{\alpha\mu_{V}kr+\gamma\alpha T_{max}(\mu_{I}-r)+k_{1}T_{max}\gamma}{T_{max}\alpha}\right)^{2}-4\left(\dfrac{(kr\gamma + \alpha\gamma r)(K_{1}\mu_{V}-\alpha\gamma S)}{\alpha^{2}T_{max}}\right)\\
&=
\end{align*}