\documentclass{article}

%Russian-specific packages
%--------------------------------------
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
%--------------------------------------

%Hyphenation rules
%--------------------------------------
\usepackage{hyphenat}
\hyphenation{ма-те-ма-ти-ка вос-ста-нав-ли-вать}
%--------------------------------------

\begin{document}

\textbf{Билет 7}
Расскажите о понятии функции, заданной на подмножестве прямой.Дайте определения функции ограниченной сверху(снизу), ограниченной функции, монотонной функциии, суперпозиции функций и обратной функции. Дайте определение графика функции. Приведите примеры.
\item
\item1) Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ .\item
Говорят, что имеется функция, определенная на $X$ со значениями в $Y$ , если в
силу некоторого закона $f$ каждому элементу $x \in  X$ ∈ ставится в соответствие
единственный элемент $y \in Y$  \item(обозначается $y = f(x)$ \item

\item2) \textbf{Определение}
Функция $y = f(x)$ называется
\textbf{ограниченной (ограниченной сверху,
ограниченной снизу) }
 на множестве X, если множество ее значений $f(x)$ ограничено
(соответственно, ограничено сверху или снизу).
\item
Запишем определения ограниченности функции с помощью кванторов:
\itemограниченность: $\exists \, C \:\, \,  \forall \:  x \: ((x \in X) \Rightarrow  (|f(x)| \leq C ))$ \item
ограниченность сверху: $\exists \, C \:\, \,  \forall \:  x \: ((x \in X) \Rightarrow  (f(x) \leq C ))$\item
ограниченность снизу:  $\exists \, C \:\, \,  \forall \:  x \: ((x \in X) \Rightarrow  (C \leq f(x) ))$
\item\item
3) \textbf{Монотонность функций}
\item \textbf{Определение}. Функция $y=f(x)$ , определенная на множестве $X \subset R$ называется:
\itemвозрастающей на X, если $\forall x_1,x_2 \in X ((x_1 < x_2) \Rightarrow (f(x_1) < f(x_2)))$,
\itemневозрастающей на X, если $\forall x_1,x_2 \in X ((x_1 < x_2) \Rightarrow (f(x_1) \leq f(x_2)))$
\itemневозрастающей на X, если $\forall x_1,x_2 \in X ((x_1 < x_2) \Rightarrow (f(x_1) \geq f(x_2)))$
\itemневозрастающей на X, если $\forall x_1,x_2 \in X ((x_1 < x_2) \Rightarrow (f(x_1) >f(x_2)))$
\item
\item4) \textbf{Суперкомпозиция функций}
\itemПусть заданы отображения  $f: X \rightarrow Y$ и $g: Y\rightarrow Z$ причем $f(X)\subset Y$. Тогда \textbf{
суперпозицией} функций f и g называется функция $(g\circ f)(x)$ определяемая формулой $(g\circ f)(x) =g(f(x))$  , при этом g называют внешней функцией, а f -внутренней функцией.
\item \item
5) \textbf{Обратная функция}
Если функция y =f(x) с областью определения X и множеством значений Y
осуществляет биекцию между X и Y , то можно определить \textbf{обратную функцию} $f^{-1}(y) = x$ c областью определения Y и множеством значений X, полагая $f^{-1}(y)=x$, если f(x) = y.
\item\item

6)Графиком функции $f: X\rightarrow Y$ называется
подмножество Γ прямого произведения $X\times Y$, элементы которого имеют вид (x,f(x)), то есть Г:=\lbrace (x,y) \in  $X\times Y|\:\: y =f(x)$\rbrace .
\end{document}