Метод конечных разностей

Для решения данной системы уравнений можно использовать численные методы, такие как метод конечных разностей. Ниже приведен пример кода на Python, который использует явную схему конечных разностей для решения данной системы уравнений.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Параметры системы
R = 1.0  # Сопротивление
L = 2.0  # Самоиндукция
G = 0.5  # Ток утечки
C = 0.8  # Емкость единицы длины провода

# Границы расчетной области
x_start = 0.0
x_end = 1.0
t_start = 0.0
t_end = 1.0

# Шаги по координате и времени
dx = 0.1
dt = 0.01

# Создание сетки
x_grid = np.arange(x_start, x_end + dx, dx)
t_grid = np.arange(t_start, t_end + dt, dt)
num_x = len(x_grid)
num_t = len(t_grid)

# Инициализация массивов для хранения значений u и i
u = np.zeros((num_t, num_x))
i = np.zeros((num_t, num_x))

# Установка начальных и граничных условий
u[0, :] = 0.0  # Начальное условие для u
i[0, :] = 1.0  # Начальное условие для i
u[:, 0] = 0.0  # Граничное условие u при x = x_start
u[:, -1] = 0.0  # Граничное условие u при x = x_end
i[:, 0] = 0.0  # Граничное условие i при x = x_start
i[:, -1] = 0.0  # Граничное условие i при x = x_end

# Явная схема конечных разностей
for n in range(num_t - 1):
    for j in range(1, num_x - 1):
        u[n+1, j] = u[n, j] + dt * (R * i[n, j] + L * (i[n, j+1] - i[n, j-1]) / (2 * dx))
        i[n+1, j] = i[n, j] + dt * (G * u[n+1, j] + C * (u[n+1, j+1] - u[n+1, j-1]) / (2 * dx))

# Построение графиков
X, T = np.meshgrid(x_grid, t_grid)
fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, T, u, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('t')
ax.set_zlabel('u')
plt.title('Solution for u(x, t)')
plt.show()

fig = plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, T, i, cmap='viridis')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('t')
ax.set_zlabel('i')
plt.title('Solution for i(x, t)')
plt.show()


Этот код вычисляет и визуализирует численное решение системы уравнений. Он использует явную схему конечных разностей, которая является простым и понятным методом, но может быть нестабильной для некоторых комбинаций параметров. В реальных приложениях, возможно, потребуется использование более сложных методов или уточнение параметров для обеспечения устойчивости и точности решения.