EDC 08/05/2012

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  # Gastão                  #
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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.
    - A @ B, denota concatenação de A e B.

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  Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
5)    sen(at)      | a/(s²+a²)
6)    cos(at)      | s/(s²+a²)
7)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
8)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
11)   e^(ct)f(t)   | L(f(s-c))
12)   f(ct)? - sei não =P
16)   f(t)**g(t)   | L(f(t)) L(g(t))
17)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)
19)   y'           | s L(y) - y(0)
19)   y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
(a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)

// Ajustei a tabela com a numeração da tabela do professor.
// Os números faltando é porque omiti o que não foi dito em aula.

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  // Na aula passada falamos de Sistemas homogeneos, com coeficientes constantes.

  // Cheguei atrazado, estamos falando de:

  Seja a ED:

    (2) X'> = A>> X>

  Onde A é a matriz de coeficientes n×n, e X tem n elementos.

  Achar soluçào na forma:

    (3) X> = ZETA> e^(rt)

  Onde ZETA> tem n elementos assim como X>.

  Para isso ser verdade na equação diferencial onde X>' é indefinido. precisamos descobrir X>':

    (4) X>' = r ZETA> e^(rt)
     // ZETA independe de dt

  (3) e (4) em (2):

  (3) é solução de (2) se somente se:

    r ZETA> e^(rt) = A>> ZETA> e^(rt)

  ou cortando o exponencial:

    A>> ZETA> = r ZETA>

  Ou ainda:

    (A>> - rI>>) ZETA> = 0

  Isso é uma verdade que já conheciamos desde gaal, a equação acima é a equação que determina os autovalores (r) e os autovetores (ZETA>) de uma Matriz A.

  // Pronto alcancei o professor, daqui pra frente vai ficar menos corrido.

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  Exercicio:

  Seja:

    (A>> - r I>>) ZETA> = 0

  Seja:

    A = | 1 -1 |
        | 1  3 |

  Determine os autovalores e autovetores que satisfazem a matriz A.

  // Lembre-se que nós não queremos a solução obvia onde ZETA> = 0>.

  Com isso podemos gerar o sistema:

    | 1-r   -1 | | ZETA1 | = | 0 |
    | 1    3-r | | ZETA2 |   | 0 |

  Qual condição é necessária para que essa equação tenha infinitas soluções?

    Det de "A>> - r I>>" deve ser 0.

  Para o determinante ser zero temos que (1-r) ( 3-r) -1 +1 = 0

  Ou seja:

    r² - 4r + 4 = 0

  Assim o valor do auto valor r seria um único autovalor, duas vezes igual à 2.
  Porque o Delta é igual à 0.

  E é assim que se determina um autovalor.
  Como se determina um Auto-vetor?

  É preciso descobrir para quais valores o vetor ZETA fica verdadeiro na equação:

    (A>> - r I>>) ZETA> = 0

  Substituindo o valor de r pelas raizes do polinomio que descobrimos.
  Entendido?

  Ou seja descobrir isso é muito simples. E se voce já se lembrar de Gaal é exatamente igual.

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  O professor fez 3 passos para encontrar os auto valores e os auto vetores:
  1 seja tal equaçào (A>> -rI>>) = 0
  2 ache r
  3 ache ZETA

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  Observação do professor:

    (A>> - rI>>) ZETA> = 0

  Temos alguns casos:

  CASO 1: Autovalores reais e distintos:

  Tenho n Autovalores, e para cada auto valor tenho um autovetor real e distinto.

  Agora como provar que todos os vetores são linearmente independentes?

  Basta gerar uma matriz X>> formada pela concatenação de todos os Auto-vetores ou seja:

    X>> = X1> @ X2> @ X3> ... @ Xn>

  E tirar com base em X>> o wronskiano, ou seja o determinante, lembram-se? falamos disso na aula passada =P.
  (Na aula passada encontramos duas soluções de um sistema, e para cada solução de um sistema tinhamos um X> diferente.)
  (Nessa aula percebemos que cada solução X> pode ser pensado como um auto vetor, e tem um auto-valor associado.)

  Esse é o fim do caso 1 onde voce tem n soluções independentes =].
  Cada combinação linear dos autovetores te da uma nova solução para o problema e portanto quando os n vetores são LI
  Voce tem a solução geral do problema =].

  O professor falou que ele não vai pegar pesado com agente não, ao invez de pensar em X1>, X2, X3 ... etc Xn autovetores,
  ele vai limitar n = 2, ou no máxxiimo n=3

  Então basta aprendemos a idéia.

  Agora ele vai mandar um exercicio para testar isso:

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  Exercicio:

  Determine a solução geral do sistema 2x2 :

    X>' = | 1 1 | X>
          | 4 1 |

  Como começar?
  Primeiro chutamos.
  Vamos procurar por soluções do tipo:

    X> = ZETA> e^(rt)

  Para encontrar a solução precisamos substituir isso no sistema de ED original.

  Para isso vamos descobrir X>':

    X> = ZETA> e^(rt)

    X>' = r ZETA> e^(rt)

  Correto?
  // Lembrando que ZETA é um vetor de constantes.

  Substituindo:

    r ZETA> e^(rt) = | 1 1 | ZETA> e^(rt)
                     | 4 1 |

  Cortanto o exponencial:

    r ZETA> = | 1 1 | ZETA>
              | 4 1 |

  Ou

    ( | 1 1 | - r | 1 0 | ) ZETA> = 0
    ( | 4 1 |     | 0 1 | )

  Agora precisamos descobrir primeiro para quais valores isso vai dar uma solução diferente da obvia.
  Ou seja diferente de ZETA> = 0>

  Para isso precisamos que:

    ( | 1 1 | - r | 1 0 | ) = 0
    ( | 4 1 |     | 0 1 | )

  Concordam? que aí se isso for 0, podemos multiplicar por ZETA seja ele qualquer valor que teremos 0,
  tornando a equaçào acima verdade, sem que ZETA> seja igual a 0.

  Para isso ser verdade precisamos apenas que o determinante disso seja igual à 0.

  Calculando o det:

    Det | 1-r   1 | = r² - 2 r - 3 = 0
        | 4   1-r |

  Assim os valores de r são: 3 e -1 =].
  E portanto os autovalores r1 e r2 são 3 e -1.

  Para descobrir agora os autovetores, precisamos descobrir os valores possível para ZETA> na equação:

    ( | 1 1 | - r | 1 0 | ) ZETA> = 0
    ( | 4 1 |     | 0 1 | )

  Substituindo r = r1 = 3 temos o autovetor com dois valores ( ou seja de dimensão 2 )

  Isso vai me deixar com um sistema, onde ZETA1 e ZETA2 (os 2 valores do vetor ZETA>)

  São expressos um em função do outro. Ex:

    ZETA2 = 2 ZETA1

  Então voce pode escolher um valor que te agrade para ZETA1 desde que ZETA2 fique coerente.
  Não escolha ZETA1 = 0 porque isso obviamente vai zerar o resultado que queriamos evitar "ZETA> = 0>"

  O Professor escolheu: ZETA1 = 1 e ZETA2 = 2

  Assim o primeiro Autovetor X1> = ZETA> conforme calculamos acima é:

    X1> = | 1 | e^(3t)
          | 2 |

  Agora vamos calcular o segundo autovetor X2, para isso esqueça os valores de ZETA que descobrimos
  porque agora estamos falando de outros valores para ZETA.
  Vamos calcular de novo o valor de ZETA mas dessa vez partindo do autovalor r2.

  O professor calculou tudo confome fizemos da primeira vez.

  E descobriu que para o segundo auto-vetor:

    ZETA2 = -2 ZETA1

  O professor escolheu ZETA1 = 1

  E portanto:

    X2> = |  1 | e^(-t)
          | -2 |

  E pronto temos nosso 2 autovetores e 2 autovalores, agora eles são LI?

    X>> = X1> @ X2>

  E tirarmos o determinante disso, ou seja o Wronskiano, ele deverá ser diferente de 0.

  O professor testou e o determinante deu -4, ou seja diferente de 0.

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  Exemplo Seja o PVI:

    X>' = | 1 1 | X>
          | 4 1 |

  Onde: X>(0) = | 1 |
                | 2 |

  Para resolver o sistema basta usarmos a solução geral que obtivemos no exercicio anterior:

  Sabemos que a solução geral é uma combinação linear de X1> e X2> ou seja:

    X> = c1 X1> + c2 X2>

  Substituindo X>(0) = | 1 |
                       | 2 |

  Teremos o valor especifico de c1 e c2 que satisfazem a equação.

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  O professor mostrou uma coisa que chama "RETRATO DE FASE" mas eu me distraí e não sei o que é isso, vamo ver:

  O professor desenhou um plano cartesiano, onde um dos eixos era X2> e o outro era X1>

  E estudou o comportamento de particulas que caminhassem por esse plano.
  Para cada posição da particula podemos pensar que as constantes c1 e c2 mudaram.

  E cada posição nesse plano consequentemente geraria uma nova solução, já que mudando os valores de c1 e c2 mudamos a combinação linear.

  Para o exemplo que o professor mostrou, ele provou que a coordenada Z ou seja o grafico da densidade desse plano tem o formato de uma Sela.

  No caso Z é expresso pelo comportamento de X1 e X2 quanto t varia nesse plano carteziano.
  Então parece que os eixos não são exatamente os eixos, eles são apenas... ah sei la depois eu penso.

  Ele mostrou como seriam formadas montanhas nesse grafico de densidade. As depressões e picos são chamadas de Nós

  Os nós depressivos são os nós Atratores.
  Os nós em picos são os nós Repulsores.

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  Exercicios:

  pg 268 - 1, 3, 7, 8.

  cap 6.6:
  pg 274 - 1, 4, 5, 9, 10, 13, 14.
  // o 1 já foi feito em sala, mas a letra c parece ainda não foi feita.

  cap 7:
  pg 280 - 7, 8, 9, 14
  // ex 7 é o Método de substituição, já foi feito em sala de aula, mas é bom refazer.

  // Esse intervalo tem vários exercicios de gaal, ele não marcou, mas se voce tiver com dificuldade pode pensar em fazer.

  cap 7.5:
  pg 309 - 1, 3, 7, 9, 11, 15, 24, 25

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  Auto-valor complexo e auto-valor repetido será falado na próxima aula.

  // Fim da aula.