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      "source": "問い：ある鉄道会社では、機関車に1...Nという番号を付けている。ある日、 $N_1,N_2, N_3$番の機関車を目撃したとすると、鉄道会社は何台の機関車を所有しているのか、推測せよ"
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      "source": "考え方：鉄道会社が所有する機関車の台数の確率を$P(T)$とする、$N_1,N_2,N_3$が目撃される確率は\n$$P([N_1,N_2,N_3] \\mid T)=\\frac{\\theta(T-N_1)\\theta(T-N_2)\\theta(T-N_3)}{T^3} \\equiv \\frac{\\Theta([N], T)}{T^3}$$\n$T$が$N_1,N_2,N_3$のいずれかより小さい場合、確率がゼロになる"
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      "source": "$N_1, N_2, N_3$が目撃されたときに、鉄道会社が$T$台の機関車を所有している確率は"
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      "source": "\\begin{eqnarray}\nP(T \\mid [N_1,N_2,N_3]) \n&=& \\frac{P([N_1, N_2, N_3] \\mid T) \\ P(T)}{P([N_1,N_2,N_3])} \\\\\n&=& \\frac{\\frac{\\Theta([N],T)}{T^3}}{\\sum_{t=1}^{N_{max}} \\frac{\\Theta([N],t)}{t^3}}\n\\end{eqnarray}"
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      "source": "ここで$P(T)=\\frac{1}{N_{max}}$は鉄道会社が$T$台の機関車を所有している場合の確率で、$P([N_1,N_2,N_3])$は全体で$[N_1,N_2,N_3]$番の機関車が観測される確率"
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      "source": "鉄道会社が所有する機関車の期待値は\n\n$$<T> =\\frac{\\sum^{N_{max}}_{T=1}\\frac{\\Theta([N],T)}{T^2}}{\\sum_{t=1}^{N_{max}} \\frac{\\Theta([N],t)}{t^3}}$$"
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      "source": "疑問：さてここで、$\\prod([N], T)$は結局のところ、$N_1,N_2,N_3$のうち最も大きい数で決まる。ということは、機関車問題で鉄道会社が所有する機関車の台数の確率と台数の期待値は観測された番号の内の最大の番号と観測した回数で決まる？"
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