matan

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{ragged2e}
\justifying
\sloppy
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\title{Теормин по матану, 4 семестр}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}

\item
\textbf{Теорема о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра.}\\
Пусть $f(x,y) \in C(\Pi)$, где $\Pi = \lbrace a \leqslant x  \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d \rbrace$ . Тогда интеграл $I(y) = \int \limits_{a}^{b} f(x,y)dx \in C(\Pi)$\\
Пусть $f(x,y) \in C(\Pi), \alpha (y), \beta (y) \in C([c,d])$. Тогда $I(y) \in C[c,d]$

\item
\textbf{Теорема о предельном переходе в собственном интеграле, зависящем от параметра}\\
Пусть $f(x,y)$ является непрерывной по переменной $x$ при $\forall y \in [c,d]$, $f(x,y) \stackrel{[a,b]}{\underset{y \to y_0} \rightrightarrows} g(x), ~  y_0 \in [c,d]$. Тогда $\lim\limits_{y \to y_0} I(y) = \lim\limits_{y \to y_0} \int \limits_{a}^{b} f(x,y)dx$ существует и равен $\int \limits_{a}^{b} \lim\limits_{y \rightarrow y_0} f(x,y)dx = \int \limits_{a}^{b} g(x)dx$.

\item
\textbf{Теорема о дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра}\\
Пусть $f(x,y) \in C(\Pi), f_y^{'}(x,y) \in C(\Pi)$. Тогда $\frac{dI(y)}{dy} = \int \limits_a^b \frac{\partial}{\partial y} f(x,y)dx$, то есть $I(y)$ дифференцируема на $[c,d]$ \\
Пусть $f(x,y) \in C(\Pi), f_y^{'}(x,y) \in C(\Pi), \alpa (y), \beta (y)$ дифференцируемы на $[c,d]$. Тогда $I'(y) = \int \limits_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f'_y (x,y)dx + f(\beta(y),y) \beta '(y) - f(\alpha(y),y) \alpha '(y) (Правило Лейбница)

\item
\textbf{Теорема об интегрируемости собственного интеграла, зависящего от параметра}\\
Пусть $f(x,y) \in C(\Pi)$. Тогда $I(y) = \int \limits_{a}^{b} f(x,y)dx$ интегрируем на $[c,d]$ и $\int\limits_c^d (\int\limits_{a}^{b} f(x,y)dx)dy = \int\limits_a^b (\int\limits_{c}^{d} f(x,y)dy)dx$.

\item\label{def1}
\textbf{Несобственный интеграл, зависящий от параметра}\\
Пусть $f(x,y)$ определена в $\Pi_{\infty} = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in [a, +\infty), y \in [c,d] \rbrace$, для $\forall y \in [c,d]$ несобственый интеграл первого рода $\int \limits_{a}^{+\infty} f(x,y)dx$ сходится. Тогда на $[c,d]$ определена функция $I(y) = \int \limits_{a}^{+\infty} f(x,y)dx$, называемая несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.

\item\label{def2}
\textbf{Равномерная сходимость интеграла, зависящего от параметра}\\
Несобственный интеграл первого рода, зависящий от параметра, называется равномерно сходящимся на $[c,d]$, если $$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists A(\varepsilon) > 0: \forall R \geqslant A ~ \forall y \in [c,d] \Rightarrow \left\vert \int \limits_{R}^{+\infty} f(x,y)dx \right\vert < \varepsilon$$

\item\label{def3}
\textbf{Критерий Коши равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра}\\
Несобственный интеграл первого рода, зависящий от параметра, является равномерно сходящимся на $[c,d]$ тогда и только тогда, когда $$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists A(\varepsilon) > 0: \forall R', R'' \geqslant A ~ \forall y \in [c,d] \Rightarrow \left\vert \int \limits_{R'}^{R''} f(x,y)dx \right\vert < \varepsilon$$\\
\\
Определения \ref{def1}, \ref{def2}, \ref{def3} аналогичны для несобственных интегралов II рода: пусть $f(x,y)$ определена в $\widetilde{\Pi} = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in [a, b), y \in [c,d] \rbrace$, для $\forall y \in [c,d]$ несобственный интеграл II рода сходится. Тогда на $[c,d]$ определена функция $I(y) = \int \limits_a^b f(x,y)dx$, называемая несобственным интегралом II рода, зависящим от параметра.

\item
\textbf{Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра}\\
Пусть:\\
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)$ интегрируема на $[a, R], \forall R > a, \forall y \in Y,$
\item $\exists ~ g(x): |f(x,y)| \leqslant g(x), \forall x \geqslant a, \forall y \in Y,$
\item $\int \limits_a^{+\infty}g(x)dx$ -- сходится.
\end{enumerate}
Тогда $\int \limits_a^{+\infty} f(x,y)dx \rightrightarrows$

\item
\textbf{Признак Дини равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра}\\
Пусть $f(x,y) \geqslant 0$ и непрерывна на $\Pi_{\infty}$, где $\Pi_{\infty} = \lbrace (x,y): x \in [a, + \infty), y \in [c,d] \rbrace$, интеграл $I(y) = \int \limits_a^{+\infty} f(x,y)dx$ сходится на $[c,d]$ и функция $I(y) \in C[c,d] \Rightarrow$ интеграл $I(y)\rightrightarrows$ на $[c,d]$.

\item
\textbf{Признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра}\\
\textbf{Теорема (Признак Дирихле).} Пусть:
\begin{enumerate}
\item $\exists M > 0: \left\vert \int \limits_a^x f(x,y)dx \right\vert \leqslant M, \forall y \in Y, \forall x \geqslant a,$
\item $g(x,y)$ -- монотонна по $x$ для $\forall y \in Y,$
\item $g(x,y) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$ равномерно относительно $y \in Y$.
\end{enumerate}
Тогда $\int\limits_a^{+\infty} f(x,y)g(x,y)dx \underset{Y} \rightrightarrows$\\
\textbf{Теорема (Признак Абеля).} Пусть:
\begin{enumerate}
\item $\int\limits_a^{+\infty} f(x,y)dx \underset{Y} \rightrightarrows ,$
\item $g(x,y)$ -- монотонна по $x$ для $\forall y \in Y,$
\item $\exists M > 0: \left\vert g(x,y) \right\vert \leqslant M, \forall y \in Y, \forall x \geqslant a.$
\end{enumerate}
Тогда $\int\limits_a^{+\infty} f(x,y)g(x,y)dx \underset{Y} \rightrightarrows$\\

\item
\textbf{Теорема о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра}\\
Пусть $f(x,y) \in C(\Pi_{\infty}), I(y) = \int \limits_{a}^{+\infty} f(x,y)dx \underset{[c,d]} \rightrightarrows$. Тогда можно утверждать, что $I(y) \in C[c,d]$.

\item
\textbf{Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра}\\
Пусть $f(x,y), f'_y \in C(\Pi_{\infty}), I(y) = \int \limits_{a}^{+\infty} f(x,y)dx$ сходится $\forall y \in [c,d], \int \limits_{a}^{+\infty} f'_y(x,y)dx \underset{[c,d]} \rightrightarrows$. Тогда $\exists I'(y) = \int \limits_{a}^{+\infty} f'_y(x,y)dx$.

\item
\textbf{Формула Фруллани}\\
Пусть $f(x,y)$ -- непрерывна, и интеграл $\int \limits_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x}dx$ имеет смысл при $\forall A > 0$. Тогда $\int \limits_{0}^{+\infty} \frac{f(ax) - f(bx)}{x}dx = f(0)\ln{\frac{b}{a}} ~ (a > 0,b > 0)$

\item
\textbf{Теорема об интегрируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра}\\
Пусть $f(x,y), \in C(\Pi_{\infty}), I(y) = \int \limits_{a}^{+\infty} f(x,y)dx \underset{[c,d]} \rightrightarrows$. Тогда $\exists \int \limits_{c}^{d} I(y)dy = \int \limits_{a}^{+\infty} dx \int \limits_c^d f(x,y)dy$.

\item
\textbf{Интеграл Эйлера-Пуассона}\\
Интеграл Эйлера: \[ \int \limits_0^{+\infty} \frac{x^{\alpha - 1}}{1+x}dx = \frac{\pi}{\sin{\alpha \pi}}, 0 < \alpha < 1 \]
Интеграл Пуассона: \[ \int \limits_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

\item
\textbf{Интеграл Лапласа}\\
\begin{enumerate}
\item \[ \int \limits_0^{+\infty} \frac{\cos{\alpha x}}{b^2+x^2}dx = \frac{\pi}{2|b|} e^{-|\alpha b|}, b \neq 0 \]
\item \[ \int \limits_0^{+\infty} \frac{x \sin{\alpha x}}{b^2 + x^2} dx = \frac{\pi}{2} e^{-|\alpha b|} sgn \alpha \]
\end{enumerate}

\item
\textbf{Интеграл Френеля}\\
\[ \int \limits_0^{+\infty} \sin{x^2}dx = \int \limits_0^{+\infty} \cos{x^2}dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

\item
\textbf{Интеграл Дирихле}\\
\[  \int \limits_0^{+\infty} \frac{\sin{\alpha x}}{x}dx = \frac{\pi}{2} sgn{\alpha} \]

\item
\textbf{$\Gamma$ - функция}\\
Эйлеровым интегралом II рода (или $\Gamma$ - функцией) называется
\[ \Gamma(\alpha) = \int \limits_0^{+\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} dx\]

\item
\textbf{$B$ - функция}\\
Эйлеровым интегралом I рода (или $B$ - функцией) называется
\[ B(\alpha, \beta) = \int \limits_0^1 x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta-1} dx \]

\item
\textbf{Свойства $\Gamma$ - функции}
\begin{enumerate}
\item $ \Gamma(\alpha) \in C(0, +\infty), \rightrightarrows$ при $\alpha \geqslant \alpha_0 > 0 \Rightarrow \Gamma(\alpha)$ -- бесконечно дифференцируема $\forall \alpha > 0 $
\item Формулы приведения:
\[ \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha); ~ \Gamma(n+1) = n!; ~ \Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right) = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi} \]
\item $ \forall \alpha (0,1): \Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha) = \frac{\pi}{sin{\pi \alpha}} $
\end{enumerate}

\item
\textbf{Свойства $B$ - функции}
\begin{enumerate}
\item $B(\alpha, \beta) \in C$ при $\alpha, \beta > 0; \rightrightarrows$ при $\alpha \geqslant \alpha_0 > 0 (\beta \geqslant \beta_0 > 0); $
\item $B(\alpha, \beta) = B(\beta, \alpha)$
\item Формулы приведения:
\[ B(\alpha + 1, \beta) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} B(\alpha, \beta), B(\alpha, \beta + 1) = \frac{\beta}{\alpha + \beta} B(\alpha, \beta); \]
\item  $B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$
\item $B(\alpha, \beta) = \int \limits_0^1 x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta-1} dx = \lbrace x = \frac{z}{1+z}, dx = \frac{1}{(1+z)^2} dz \rbrace = \int \limits_0^{+\infty} \frac{z^{\alpha - 1}}{(1+z)^{\alpha + \beta}}dz$
\end{enumerate}

\item
\textbf{Теорема о разожении функции в ряд Фурье}\\
Пусть:
\begin{enumerate}
\item $f(x)$ -- кусочно-непрерывная на $(-l, l)$;
\item $f'(x)$ -- кусочно-непрерывная на $(-l, l)$;
\item в точках разрыва $\xi$ пусть $f(\xi) = \frac{1}{2} (f(\xi + 0) + f(\xi - 0 ))$
\end{enumerate}
Тогда тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)$ сходится во всех точках $(-l, l)$ к функции \[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left( a_n \cos{\frac{\pi n x}{l}} + b_n \sin{\frac{\pi n x}{l}} \right) \], гдe
\[ a_n = \frac{1}{l} \int \limits_{-l}^{l} f(x) \cos{\frac{\pi n x}{l}} dx, n=\overline{0, \infty} \]
\[ b_n = \frac{1}{l} \int \limits_{-l}^{l} f(x) \sin{\frac{\pi n x}{l}} dx, n=\overline{1, \infty} \]

\item
\textbf{Теорема о разложении чётной функции в ряд Фурье}\\
Частный случай теоремы о разложении функции в ряд Фурье, где $b_n = 0, a_n = \frac{2}{l} \int \limits_{0}^{l} f(x) \cos{\frac{\pi n x}{l}} dx$

\item
\textbf{Теорема о разложении нечётной функции в ряд Фурье}\\
Частный случай теоремы о разложении функции в ряд Фурье, где $a_n = 0, b_n = \frac{2}{l} \int \limits_{0}^{l} f(x) \sin{\frac{\pi n x}{l}} dx$

\item
\textbf{Теорема о представлении функции интегралом Фурье}\\
Пусть $f(x)$ определена на $(-\infty, +\infty):$
\begin{enumerate}
\item $f(x), f'(x)$ -- кусочно-непрерывны на любом отрезке $[a,b]$;
\item $f(x)$ -- абсолютно интегрируема на $(-\infty, +\infty)$;
\item Если $\xi$ -- точка разрыва, то $f(\xi) = \frac{1}{2} (f(\xi + 0) + f(\xi - 0 ))$
\end{enumerate}
Тогда $f(x) = \int \limits_0^{+\infty} (a(\lambda) \cos{\lambda x} + b(\lambda) \sin{\lambda x}) d\lambda$, где
\[ a(\lambda)= \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos{\lambda x} dx\]
\[ b(\lambda)= \frac{1}{\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin{\lambda x} dx\]

\item
\textbf{Теорема о представлении чётной функции интегралом Фурье}\\
Частный случай теоремы о представлении функции интегралом Фурье, где $b(\lambda) = 0, a(\lambda) = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{+\infty} f(x) \cos{\lambda x} dx$

\item
\textbf{Теорема о представлении нечётной функции интегралом Фурье}\\
Частный случай теоремы о представлении функции интегралом Фурье, где $a(\lambda) = 0, b(\lambda) = \frac{2}{\pi} \int \limits_{0}^{+\infty} f(x) \sin{\lambda x} dx$

\item
\textbf{Комплексное число}\\
Комплексное число -- упорядоченная пара вещественных чисел $a$ и $b$ $\in \mathbb{R}$, то есть $z = (a,b)$, причём $a = \Re{z}, b = \Im{z}$. Каждое комплексное число имеет вид $z = a + ib$.

\item
\textbf{Сумма, произведение, частное комплексных чисел}\\
$$z_1 \pm z_2 = (a_1 \pm a_2) + i(b_1 \pm b_2);$$
$$z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1);$$
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i\frac{a_2 b_1 - a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} ~ (a_2^2 + b_2^2 \neq 0),$$
где $z_j = a_j + ib_j, j = \overline{1,2}$

\item
\textbf{Комплексно-сопряжённое число}\\
Если $z = a + ib$, то число $\overline{z} = a - ib$ называется комплексно-сопряжённым к числу $z$

\item
\textbf{Тригонометрическая форма записи комплексного числа}\\
Пусть $z = x + iy$, $r = |z|$ -- модуль, $\Phi = Arg{z}$ -- аргумент $\Rightarrow x = r \cos{\Phi}, y = r \sin{\Phi} \Rightarrow z = r(\cos{\Phi} + i \sin{\Phi})$

\item
\textbf{Экспоненциальная форма записи комплексного числа}\\
Пусть $z = x + iy$, $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ -- модуль, $\Phi = Arg{z}$ -- аргумент $\Rightarrow z = r e^{i \Phi}$,  где $e^{i \Phi} = \cos{\Phi} + i \sin{\Phi}$

\item
\textbf{Формула Эйлера}\\
Для $\forall z \in \mathbb{C} \Rightarrow e^{i z} = \cos{z} + i \sin{z}$

\item
\textbf{Формула Муавра}\\
Если $z = x + iy = r(\cos{\Phi} + i \sin{\Phi})$, то $z^n = r^n(\cos{n \Phi} + i \sin{n \Phi})$, где $n \in \mathbb{N}$

\item
\textbf{Вычисление корня комплексного числа}\\
Если $z = x + iy = r(\cos{\Phi} + i \sin{\Phi})$, то $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}(\cos{\frac{\Phi + 2 \pi k}{n}} + i \sin{\frac{\Phi + 2 \pi k}{n}})$, где $k = \overline{0, n-1}$

\item
\textbf{Внутренняя точка комплексной области}\\
Точка называется внутренней для области $O$, если она принадлежит ей

\item
\textbf{Внешняя точка комплексной области}\\
Точка называется внешней для области $O$, если она не принадлежит ей и не является предельной для неё

\item
\textbf{Граничная точка комплексной области}\\
Точка называется граничной для области $O$, если она не принадлежит ей и является предельной для неё

\item
\textbf{Односвязная область}\\
Будем называть ограниченную область $G$ односвязной, если её граница $\Gamma$ является связным множеством. Множество называется связным, если при любом его разбиении на 2 непустых подмножества без общих точек, по крайней мере, одно из этих множеств содержит предельную точку другого множества

\item
\textbf{Замкнутая область}\\
В случае, когда $O$ есть некоторая область, замыкание мнва $O$ называется замкнутой областью

\item
\textbf{Предел функции комплексного переменного}\\
Число $A$ называется пределом функции $f(z)$ в точке $z_0$, если \[ \forall\varepsilon > 0 ~ \exists \delta(\varepsilon) > 0: |z - z_0| < \delta(\varepsilon), z \neq z_0 \Rightarrow |f(z) - A| < \varepsilon \]

\item
\textbf{Непрерывная функция комплексного переменного}\\
Функция $f(z)$ называется непрерывной в точке $z_0$, если $\lim \limits_{z \to z_0} f(z) = f(z_0).$ Функция, непрерывная в каждой точке множества, называется непрерывной на этом множестве

\item
\textbf{Равномерно-непрерывная функция комплексного переменного}\\
Функция $f(z)$ называется равномерно-непрерывной на ограниченном и замкнутом множестве $F$, если $\forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta(\varepsilon)>0 : \forall z', z'' \in F, |z' - z''|< \delta(\varepsilon) \Rightarrow |f(z') - f(z'')| < \varepsilon$

\item
\textbf{Сходимость ряда комплексных чисел}\\
Пусть $w_1 + \ldots + w_n + \ldots$ -- ряд с комплексными числами и $\lbrace S_n = w_1 + \ldots w_n \rbrace$ -- последовательность его частичных сумм. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм. Предел этой последовательности называется суммой ряда. Ряд, не являющийся сходящимся, называется расходящимся

\item
\textbf{Абсолютная сходимость ряда комплексных чисел}\\
Пусть $w_1 + \ldots + w_n + \ldots$ -- ряд с комплексными числами. Он называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд модулей его членов  $|w_1| + \ldots + |w_n| + \ldots$

\item
\textbf{Элементарные функции комплексного переменного}\\
\begin{enumerate}
\item Дробно-рациональная функция $f(z) = \frac{a_n z^n + \ldots a_0}{b_m z^m + \ldots b_0}, ~ m,n \in \mathbb{N}$
\item Экспоненциальная функция $f(z) = e^z = e^{x + iy} = e^x(\cos{y} + i \sin{y})$
\item Тригонометрические функции $\sin{z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \cos{z} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$
\item Гиперболические функции $\sh{z} = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}, \ch{z} = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}$
\item Логарифмическая функция $(e^z)^{-1} = \textit{Ln}z = \ln{|z|} + i \varphi + i 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} $
\item Общая степенная функция $f(z) = z^a = e^{a\textit{Ln}z}$
\item Обратные тригонометрические и гиперболические функции, например,
\[ \textit{Arcsin}z = (\sin{z})^{-1} = -i\textit{Ln}(iz+\sqrt{1 - z^2}), \]
\[ \textit{Arccos}z = (\cos{z})^{-1} = -i\textit{Ln}(z+\sqrt{z^2 - 1})\]
\end{enumerate}

\item
\textbf{Производная комплексной функции}\\
Если $\exists \lim \limits_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \lim \limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} = f'(z)$, то он называется производной от функции $f(z)$ в точке $z_0$

\item
\textbf{Необходимое и достаточное условие дифференцируемости комплексной функции}\\
Для того, чтобы функция $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$, определённая в некоторой области $G$, была дифференцируема в точке $z$ этой области как функция комплексного переменного, необходимо и достаточно, чтобы функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ были дифференцируемы в той же точке и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, ~ \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}\]

\item
\textbf{Геометрический смысл производной комплексной функции}\\
Для комплексной функции действительной переменной наличие отличной от 0 производной означает существование касательной к соответствующей кривой; угол наклона касательной к действительной оси совпадает с аргументом производной

\item
\textbf{Конформное отображение}\\
Если $w = f(z)$ -- однозначная, аналитическая, однолистная в $\mathbb{Z}, f'(z) \neq 0$ в $\mathbb{Z} \Rightarrow f(z)$ -- конформное отображение $\mathbb{Z}$ на $\mathbb{W}$

\item
\textbf{Аналитическая функция}\\
Функция $f(z)$, дифференцируемая в каждой точке области $G$, называется дифференцируемой в этой области, а также аналитической

\item
\textbf{Свойства линейной функции комплексного переменного}\\
Линейной функцией комплексного переменного $z$, называется функция вида $w = az + b$, где $a$ и $b$ -- заданные комплексные числа, $a \neq 0$. Она определена для всех значений независимой переменной $z$, однозначна, так как обратная функция $z = \frac{1}{a}w - \frac{b}{a}$ также однозначна, однолистна во всей плоскости z. Линейная функция аналитична во всей комплексной проскости, и её производная $\frac{dw}{dz} = a \neq 0$, поэтому осуществляемое ей отображение конформно во всей плоскости

\item
\textbf{Cвойства обратной функции комплексного переменного}\\
Пусть задана аналитическая функция $w = f(z) ~ (z \in D)$, отображающая область $D$ плоскости $w$ взаимно однозначно. Значит, на $G$ определена однозначная функция $z = \varphi (w)~ (w \in G): f[\varphi(w)]=w ~(w \in G)$, называющаяся обратной к $w = f(z)~ (z \in D)$. Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции $w=f(z)$

\item
\textbf{Свойства степенной функции комплексного переменного}\\
Степенная функция $w = z^n$, где $n \in \mathbb{N}$, аналитична во всей комплексной плоскости; её производная $w = nz^{n-1}$ при $n > 1$ отлична от 0 во всех точках, кроме $z = 0$. При $n > 1$ отображение $w = z^n$ не является однолистным на плоскости $z$. Отображение является однолистным, например, в секторе $\alpha < argz < \alpha + \frac{2 \pi}{n}, \alpha \in \mathbb{R}$. В этой же области отображение $w = z^n$ конформно. Обратная функция $w = \sqrt[n]{z}$ многозначна

\item
\textbf{Свойства дробно-линейной функции комплексного переменного}\\
Дробно-линейной функцией называется функция вида $w = \frac{az + b}{cz + d}$, где $a,b,c$ и $d$ -- заданные комплексные числа, причём\\
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix}
\neq 0
\end{equation*}
Дробно-линейная функция определена для всех значений независимой переменной $z$, кроме $z = - \frac{d}{c}$, однозначна, и, так как обратная функция $z = \frac{-dw + b}{cw - a}$ однозначна, однолистна во всей комплексной плоскости, исключая $z = -\frac{d}{c}$. В этой области функция аналитична и её производная $\frac{dw}{dz} = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2} \neq 0$, поэтому осуществляемое ею отображение конформно

\item
\textbf{Свойства функции комплексного переменного $e^z$}\\
\begin{enumerate}
\item Для действительных $z$ данное определение совпадает с обычным
\item Аналитична на всей комплексной плоскости и $(e^z)' = e^z$
\item $e^{z_1}e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}$
\item Периодическая с мнимым основным периодом $2 \pi i$
\item Отображение $w = e^z$ однолистно в полосе $0 < y < 2 \pi$
\item Отображение конформно
\end{enumerate}

\item
\textbf{Свойства функции комплексного переменного $\sin{z}$}\\
\begin{enumerate}
\item Для действительных $z$ данное определение совпадает с обычным $\sin{z}$
\item Аналитична на всей комплексной плоскости
\item $(\sin{z})' = \cos{z}$
\item Периодична с периодом $2 \pi$
\item Нечётная
\item Сохраняет обычные тригонометрические соотношения
\item На комплексной плоскости $|\sin{z}|$ принимает сколь угодно большие положительные значения
\end{enumerate}

\item
\textbf{Свойства функции Жуковского}\\
Функция Жуковского $w = \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z})$ аналитична во всей комплексной плоскости $z$, исключая точку $z = 0$. Для однолистности функции Жуковского необходимо и достаточно, что $\forall z_1, z_2: z_1 z_2 \neq 1$, например, внешность круга $|z|>1$. Так как производная функии Жуковского $\frac{dw}{dz} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{z^2})$ отлична от 0 всюду, кроме точек $z = \pm 1$, то отображение области $|z|>1$, осуществляемое этой функцией, будет конформным

\item
\textbf{Интеграл от функции комплексного переменного}\\
Пусть $L: z =\lambda(t), \alpha \leqslant t \leqslant \beta$ -- спрямляемая кривая и $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ -- функция, определена и непрерывна на $L$. Рассмотрим какое-нибудь разбиение кривой $L$ на дуги $\sigma_k (k = \overline{0, n-1})$ с начальной точкой $z_k$ и конечной точкой $z_{k+1}$ и составим для функции $f(z)$ соответствующую интегральную сумму $S = \sum \limits_{k = 0}^{n-1} f(\zeta_k)(z_{k+1} - z_k)$. Предел указанной суммы называют интегралом от функции $f(z)$, взятым по кривой $L$.

\item
\textbf{Теорема Коши}\\
Если $f(z)$ -- аналитична и однозначна в односвязной области $D$ и $C$ -- произвольный контур в $D$, то $\oint \limits_C f(z)dz = 0$

\item
\textbf{Теорема о первообразной комплексной функции}\\
Пусть $f(z) \in C(D), C$ -- произвольный контур в $D: \oint \limits_C f(z)dz$, тогда $\int \limits_{z_0}^z f(\zeta)d \zeta = \Phi (z) + C$, где $\Phi (z)$ -- первообразная для функции $f(z)$, она аналитична, $\Phi '(z) = f(z)$, причём $\int \limits_{z_0}^z f(\zeta)d \zeta = \Phi (z) - \Phi (z_0)$

\item
\textbf{Формула Коши}\\
Пусть $f(z) \in A$ и однозначна в односвязной области $D$. Пусть $L \subset D$ -- контур, $z_0 \in D$. Тогда \[f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint \limits_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z_0} d \zeta \]

\item
\textbf{Теорема о максимуме аналитической функции}\\
Пусть $f(z) \in A(D)$ и $\sup \limits_{z \in D} |f(z)| = M < \infty$. Если $\exists ~ z_0 \in D$, в которой $|f(z_0)| = M$, то $f(z) = const$ в $D$

\item
\textbf{Формула для производных аналитической функции}\\
Пусть $f(z) \in A$ и однозначна в односвязной области $D$, непрерывна в $\overline{D}$, $\Gamma = \partial D$. Тогда для $z_0 \in D$ верно: \[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2 \pi i} \oint \limits_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d \zeta\]

\item
\textbf{Теорема Морера}\\
Каждая функция $f(z)$, однозначная и непрерывная в некоторой односвязной области $D$ и такая, что интеграл от $f(z)$, взятый по произвольному контуру, лежащему в области $D$, равен нулю, является аналитической в этой области

\item
\textbf{Теорема об ограниченной в $\mathbb{C}$ аналитической функции}\\
Целая аналитическая функция, ограниченная в $\mathbb{C}$, является $const$

\item
\textbf{Лемма Жордана}\\
Пусть функция $f(z)$, непрерывная в замкнутой области $|z| \geqslant R_0, \Im{z} \geqslant 0,$ стремится к 0 при $z \to \infty$ и остающемся в полуплоскости $\overline{\pi_+}$ (замыкание действительной осью верхней полупоскости). Тогда для всех $a>0$ интеграл $$I = \int \limits_{\gamma_R} e^{i a z} f(z) dz \underset{R \to \infty}{\to} 0,$$ где $\gamma_R$ -- полуокружность $|z| = R, \Im{z} \geqslant 0$

\item
\textbf{Разложение элементарных функций комплексного переменного в степенные ряды}\\
$$e^z = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$$
$$\sin{z} = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
$$\cos{z} = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}$$
$$\ln{z} = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(z-1)^n}{n}$$

\item
\textbf{Теорема Абеля о комплексных степенных рядах}\\
Если степенной ряд $\sum \limits_{n = 0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$ сходится в точке $z_1 ( \neq z_0)$, тогда $\forall z_0: |z-z_0| < |z_1 - z_0|$ степенной ряд сходится

\item
\textbf{Теорема о радиусе сходимости комплексного степенного ряда (Теорема Коши-Адамара)}\\
Положим $R = \frac{1}{\overline{\lim \limits_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|}}$. Если $R = 0$, то ряд $\sum \limits_{n = 0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$ сходится лишь в точке $z_0$. Если $R > 0$ (возможно $R = \infty$), то ряд сходится абсолютно при $|z - z_0|<R$ и расходится при $|z - z_0|>R$

\item
\textbf{Теорема Тейлора для функции комплексного переменного}\\
Если функция $f(z) \in A (|z-z_0|<R)$, то её можно представить в виде сходящегося степенного ряда $\sum \limits_{n = 0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$, причём такое представление единственно

\item
\textbf{Теорема о счётном числе нулей аналитической функции}\\
Если $f(z) \in C^{\infty}(G)$ и $f(z) \not\equiv 0$ в $G$, то в произвольной ограниченной области $\overline{G'} \subset G$ может быть лишь конечное (счётное) число нулей $f(z)$

\item
\textbf{Ноль комплексной функции k-ого порядка}\\
$z_0$ называется нулём k-ого порядка функции $f(z)$, если $$f(z) = (z-z_0)^k \varphi (z),$$ где $\varphi(z_0) \neq 0$ и $\varphi(z) \in A$ в $z_0$

\item
\textbf{Ряд Лорана}\\
Рядом Лорана называется ряд вида $\sum \limits_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$

\item
\textbf{Теорема о разложении комплексной функции в ряд Лорана}\\
Если функция $f(z) \in A (R_2 < |z-z_0|< R_1)$, тогда она представима рядом Лорана единственным образом, то есть $$f(z) = \sum \limits_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z-z_0)^n,$$ где $$c_n = \frac{1}{2 \pi i} \oint \limits_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d \zeta,$$ $$R_1 = \frac{1}{\overline{\underset{n \geqslant 0}{\lim \limits_{n \to \infty}}} \sqrt[n]{|c_n|}},$$ $$R_2 = \overline{\underset{n < 0}{\lim \limits_{n \to \infty}}} \sqrt[n]{|c_n|}$$

\item
\textbf{Изолированная особая точка}\\
Пусть $D: 0 < |z - z_0| < R$ -- проколотая окрестность точки $z_0$ и $f(z) \in A(D)$. Тогда $z_0$ является для $f(z)$ изолированной особой точкой

\item
\textbf{Устранимая особая точка}\\
Пусть по теореме Лорана $f(z)$ представима в $D$ рядом Лорана по степеням $z - z_0: \sum \limits_{n = 0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$. Если ряд не содержит членов с отрицательными степенями $z - z_0$, то есть является степенным рядом, то $z_0$ называется устранимой особой точкой

\item
\textbf{Теорема об устранимой особой точкой}\\
Следующие 3 высказывания эквивалентны:\\
\begin{enumerate}
\item $z_0$ -- устранимая особая точка функции $f(z)$
\item $\exists$ конечный предел $\lim \limits_{z \to z_0} f(z)$
\item функция $f(z)$ ограничена в некоторой окрестности точки $z_0$
\end{enumerate}

\item
\textbf{Полюс k-ого порядка}\\
Пусть по теореме Лорана $f(z)$ представима в $D$ рядом Лорана по степеням $z - z_0: \sum \limits_{n = 0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$. Если ряд содержит конечное число $k$ членов с отрицательными степенями $z-z_0$, то точка $z_0$ называется полюсом k-ого порядка функции $f(z)$

\item
\textbf{Теорема о полюсе k-ого порядка}\\
Изолированная особая точка функции $f(z)$ является полюсом этой функции тогда и только тогда, когда $f(z) \underset{z \to z_0}{\longrightarrow} \infty$\\
Точка $z_0$ является полюсом порядка $k$ функции $f(z)$ тогда и только тогда, когда $z_0$ есть нуль порядка $k$ для функции $g(z) = \frac{1}{f(z)}$, доопределённой соотношением $g(z_0) = 0$

\item
\textbf{Существенная особая точка}\\
Пусть по теореме Лорана $f(z)$ представима в $D$ рядом Лорана по степеням $z - z_0: \sum \limits_{n = 0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$. Если ряд содержит бесконечное число $k$ членов с отрицательными степенями $z-z_0$, то точка $z_0$ называется существенной особой точкой

\item
\textbf{Теорема о существенной особой точке}\\
\underline{Теорема Сохоцкого-Казорати-Вейерштрасса} Каково бы ни было комплексное число $A$, существует такая последовательность точек $\lbrace z_n \rbrace$, сходящаяся к существенной особой точке $z_0$, что $\lim \limits_{n \to \infty} f(z_n) = A$\\
\underline{Теорема Пикара (Большая)} Если $z_0$ -- существенная особая точка функции $f(z)$, то для каждого $A \neq \infty$, за исключением, быть может, одного значения $A = A_0$, существует бесконечная последовательность А-точек функции $f(z)$, сходящаяся к $z_0$

\item
\textbf{Классификация бесконечно-удалённой особой точки}\\
Точка $z_0 = \infty$ является для $f(z)$ устранимой особой точкой, полюсом или существенной особой точкой, если $\zeta_0 = 0$ есть соответственно устранимая особая точка, полюс или существенная особая точка для функции $g(\zeta)$
\begin{enumerate}
\item $z_0 = \infty$ является устранимой особой точкой функции $f(z)$ тогда и только тогда, когда существует конечный предел $\lim \limits_{z \to \infty} f(z)$, или, что то же самое, когда $f(z)$ ограничена в некоторой окрестности бесконечно удалённой точки
\item $z_0 =  \infty$ является полюсом функции $f(z)$ тогда и только тогда, когда $\lim \limits_{z \to \infty} f(z) = \infty$
\item $z_0 =  \infty$ является существенной особой точкой функции $f(z)$ тогда и только тогда, не существует ни конечного, ни бесконечного предела $\lim \limits_{z \to \infty} f(z)$
\end{enumerate}

\item
\textbf{Вычет}\\
Вычетом аналитической функции $f(z)$ в изолированной особой точке $z_0$ называется $$res[f(z),z_0] = c_{-1} = \frac{1}{2 \pi i} \oint \limits_C f(z) dz,$$ где $C$ -- замкнутый контур, лежащий в области аналитической функции, содержащей только одну изолированную особую точку $z_0$ (Обход по положительному направлению, то есть против часовой стрелки)

\item
\textbf{Теорема о вычетах комплексной функции}\\
Пусть $f(z) \in A(\overline{D}$ за исключением конечного числа изолированный особых точек $z_k \in D, \partial D$ -- полная граница $D$ с обходом в положительном направлении. Тогда $\int \limits_{\partial D} f(z) dz =  2 \pi i \sum \limits_{k = 1}^{N} res[f(z),z_k]$

\item
\textbf{Вычисление вычета в полюсе 1-го порядка}\\
Если $z_0$ -- полюс первого порядка, то $$res[f(z),z_0] = \lim \limits_{z \to z_0} f(z) (z - z_0) = \frac{\varphi (z_0)}{\psi '(z_0)},$$ где $f(z) = \frac{\varphi(z)}{\psi(z)}, \varphi(z_0) \neq 0, \psi(z_0) = 0, \psi'(z_0) \neq 0, \varphi(z), \psi(z) \in A$

\item
\textbf{Вычисление вычета в полюсе m-го порядка}\\
Если $z_0$ -- полюс порядка m, то $$res[f(z),z_0] = \frac{1}{(m-1)!} \lim \limits_{z \to z_0} f(z) \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [ (z - z_0)^m f(z) ]$$

\item
\textbf{Вычисление интеграла $\int \limits_0^{2 \pi} R(\cos{\theta}, \sin{\theta})d\theta$ с помощью вычетов}\\
$\int \limits_0^{2 \pi} R(\cos{\theta}, \sin{\theta})d\theta \Rightarrow $\\
$$\lbrace
z = e^{i \theta}, dz = ie^{i \theta} d \theta, d \theta = \frac{1}{i} \frac{dz}{z}$$\\
$$\cos{\theta} = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} = \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z})$$\\
$$\sin{\theta} = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} = \frac{1}{2i}(z - \frac{1}{z})
\rbrace$$
$$\Rightarrow I = \int \limits_{|z| = 1} R(z+ \frac{1}{z}, z - \frac{1}{z}) \frac{dz}{z} = 2 \pi i \sum \limits_{k = 0}^{N} res[\widetilde{R}(z), z_k],$$
где $$\widetilde{R}(z) = \frac{b_0 + b_1 z + \ldots + b_n z^n}{a_0 + a_1 z + \ldots + a_m z^m},$$ а $z_k$ -- корни многочлена $$a_0 + a_1 z + \ldots + a_m z^m, |z_k|<1$$

\item
\textbf{Вычисление интеграла $\int \limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x)dx$ с помощью вычетов}\\
Если $f(x)$ может быть аналитически продолжена с вещественной оси на $\Im{z} \geqslant 0$, за исключением конечного числа особых изолированных точек, и $$\exists R_0, M, \delta: \forall z \in \lbrace z \in \mathbb{C} | \Im{z} \geqslant 0, |z| > R_0 \rbrace \Rightarrow |f(z)| \leqslant \frac{M}{|z|^{1+\delta}},$$ причём особой точки на вещественной оси $f(z)$ не имеет, тогда существует несобственный интеграл $$ \int \limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x)dx = 2 \pi i \sum \limits_{k = 1}^N res[f(z), z_k],$$ где $\Im{z_k} > 0, z_k $ -- конечна

\item
\textbf{Вычисление интегралов с помощью теоремы Жордана}\\
Если $f(x)$ задана $\forall x \in \mathbb{R}$ и может быть аналитически продолжена на $\Im{z} > 0$ за исключением конечного числа точек $z_k ~ (\Im{z_k} > 0, \lim \limits_{z \to \infty} f(z) = 0)$, тогда $$ \exists \int \limits_{-\infty}^{+\infty} e^{iax} f(x) dx = 2 \pi i \sum \limits_{k=1}^{N} res[e^{iaz}f(z), z_k], \forall a>0 $$

\end{enumerate}

\end{document}