SHARE
TWEET

Untitled

a guest Jun 19th, 2017 54 Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
  1.     \documentclass[a4paper,12pt]{article}
  2.     \usepackage{ucs}
  3.     \usepackage[utf8]{inputenc}
  4.     \usepackage[T1]{fontenc}
  5.     \usepackage[swedish]{babel}
  6.     \usepackage{amsmath}
  7.  
  8.  
  9.     \begin{document}
  10.    
  11.     \begin{center} \textbf{6.4} \end{center}
  12.    
  13.     \textbf{a)}
  14.     \begin{align*} f &= \check{\mathcal{F}}\hat{f} = \frac{1}{3}\overline{W_3}\hat{f} = \frac{1}{3}
  15.         \left(\begin{array}{ccc}
  16.         1 & 1 & 1 \\
  17.         1 & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \\
  18.         1 & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
  19.         \end{array}\right)
  20.         \left(\begin{array}{c}
  21.         1 \\ 2 \\ 0
  22.         \end{array}\right),
  23.         \\
  24.         f &= \left(1, \frac{i}{\sqrt{3}}, -\frac{i}{\sqrt{3}}\right).
  25.     \end{align*}
  26.    
  27.     \textbf{b)}
  28.     \begin{align*} \hat{g} &= \mathcal{F}g =  W_3 g =
  29.         \left(\begin{array}{ccc}
  30.         1 & 1 & 1 \\
  31.         1 & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \\
  32.         1 & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}
  33.         \end{array}\right)
  34.         \left(\begin{array}{c}
  35.         1 \\ \omega \\ \omega^2
  36.         \end{array}\right),
  37.         \\
  38.         \hat{g} &= (0, 0, 3).
  39.     \end{align*}
  40.    
  41.     \textbf{c)}
  42.     \begin{align*} f \ast g &= \check{\mathcal{F}}\mathcal{F}(f \ast g) = \check{\mathcal{F}}(\hat{f} \cdot \hat{g}) = \check{\mathcal{F}}(0, 0, 0) \\
  43.     f \ast g &= 0
  44.     \end{align*}
  45.    
  46.     \begin{center} \textbf{6.6} \end{center}
  47.    
  48.     \textbf{a)}
  49.    
  50.     \[ a \ast f = 0 \rightarrow\ \hat{a} \cdot \hat{f} = 0 \]
  51.     Då $\hat{a}(k) \not= 0$ för $k \not= 0$ är
  52.     \[ \hat{f}(k) =
  53.     \begin{cases}
  54.     0, k \not= 0 \\
  55.     c ,k = 0 \mid c \in \mathcal{Z}
  56.     \end{cases} \]
  57.     och
  58.     \begin{align*} f &= \check{\mathcal{F}}\hat{f} = \frac{1}{N}\overline{W_N} \hat{f} = \frac{1}{N}
  59.         \left(\begin{array}{cccc}
  60.         1 & 1 & \cdots & 1 \\
  61.         1 & \overline{\omega_N} & \cdots & \overline{\omega_N^{N-1}} \\
  62.         \vdots & \vdots & & \vdots \\
  63.         1 & \overline{\omega_N^{N-1}} & \cdots & \overline{\omega_N^{(N-1)(N-1)}}
  64.         \end{array}\right)
  65.         \left(\begin{array}{c}
  66.         c \\ 0 \\ \vdots \\ 0
  67.         \end{array}\right),
  68.         \\
  69.         f &= \frac{c}{N}(\textbf{e}_0, \textbf{e}_1 \ldots \textbf{e}_{N-1}). \end{align*}
  70.    
  71.     \textbf{b)}
  72.  
  73.     \begin{center} \textbf{6.7} \end{center}
  74.     \noindent Att $T$ är cyklisk och således translationsinvariant ger
  75.     \[ T\chi_n = \lambda\chi_n \]
  76.     utvidgat till
  77.    
  78.     \[
  79.     \left(\begin{array}{cccc}
  80.         2 & 2 & 3 & 1 \\
  81.         1 & 2 & 2 & 3 \\
  82.         3 & 1 & 2 & 2 \\
  83.         2 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right)
  84.     \left(\begin{array}{c}
  85.         \chi_n (0) \\
  86.         \chi_n (1) \\
  87.         \chi_n (2) \\
  88.         \chi_n (3) \end{array}\right)
  89.     = \lambda_{n+1}
  90.     \left(\begin{array}{c}
  91.         \chi_n (0) \\
  92.         \chi_n (1) \\
  93.         \chi_n (2) \\
  94.         \chi_n (3) \end{array}\right).
  95.     \]
  96.     \\*
  97.     Eftersom $\chi_n (0) = 1$ är egenvärdena
  98.     \[ \lambda_{n+1} = 2 + 2\chi_n (1) + 3\chi_n (2) + \chi_n (3), \]
  99.     och vi beräknar
  100.     \begin{align*}
  101.         \lambda_1 &= 8\\
  102.         \lambda_2 &= -1 + i\\
  103.         \lambda_3 &= 2\\
  104.         \lambda_4 &= -1 - i, \end{align*}
  105.     vilket verifieras av insättning i den karakteristiska ekvationen $t^4 - 8t^3 - 2t^2 + 12t + 32 = 0$.
  106.    
  107.     \begin{center} \textbf{6.8} \end{center}
  108.    
  109.     \textbf{a)}
  110.     \\
  111.     \\*
  112.     Att $(Tf)(0) = if(0) -(2+i)f(1) + 3f(2) + 0f(3)$ och att $T$ är cyklisk ger
  113.     \\
  114.     \\
  115.     \[ T =
  116.     \left(\begin{array}{cccc}
  117.         i & -2-i & 3 & 0 \\
  118.         0 & i & -2-i & 3 \\
  119.         3 & 0 & i & -2-i \\
  120.         -2-i & 3 & 0 & i \end{array}\right).
  121.     \]
  122.  
  123.     \textbf{b)}
  124.     \\
  125.     \\*
  126.     Som i uppgift 6.7 har vi
  127.     \[ T\chi_n = \lambda\chi_n, \]
  128.     och
  129.     \[ \lambda_{n+1} = i +(-2-i)\chi_n(1) + 3\chi_n(2). \]
  130.  
  131.     \noindent Vi får
  132.    
  133.  
  134.    
  135.     \end{document}
RAW Paste Data
Pastebin PRO Summer Special!
Get 40% OFF on Pastebin PRO accounts!
Top