\documentclass[a4paper,12pt]{article}
    \usepackage{ucs}
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage[T1]{fontenc}
	\usepackage[swedish]{babel}
	\usepackage{amsmath}


    \begin{document}

    \begin{center} \textbf{6.4} \end{center}

    \textbf{a)}
    \begin{align*} f &= \check{\mathcal{F}}\hat{f} = \frac{1}{3}\overline{W_3}\hat{f} = \frac{1}{3}
		\left(\begin{array}{ccc}
		1 & 1 & 1 \\
		1 & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \\
		1 & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
		\end{array}\right)
		\left(\begin{array}{c}
		1 \\ 2 \\ 0
		\end{array}\right),
		\\
		f &= \left(1, \frac{i}{\sqrt{3}}, -\frac{i}{\sqrt{3}}\right).
    \end{align*}

    \textbf{b)}
    \begin{align*} \hat{g} &= \mathcal{F}g =  W_3 g =
		\left(\begin{array}{ccc}
		1 & 1 & 1 \\
		1 & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \\
		1 & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}
		\end{array}\right)
		\left(\begin{array}{c}
		1 \\ \omega \\ \omega^2
		\end{array}\right),
		\\
		\hat{g} &= (0, 0, 3).
    \end{align*}

    \textbf{c)}
    \begin{align*} f \ast g &= \check{\mathcal{F}}\mathcal{F}(f \ast g) = \check{\mathcal{F}}(\hat{f} \cdot \hat{g}) = \check{\mathcal{F}}(0, 0, 0) \\
    f \ast g &= 0
    \end{align*}

    \begin{center} \textbf{6.6} \end{center}

    \textbf{a)}

    \[ a \ast f = 0 \rightarrow\ \hat{a} \cdot \hat{f} = 0 \]
    Då $\hat{a}(k) \not= 0$ för $k \not= 0$ är
    \[ \hat{f}(k) =
    \begin{cases}
    0, k \not= 0 \\
    c ,k = 0 \mid c \in \mathcal{Z}
    \end{cases} \]
    och
    \begin{align*} f &= \check{\mathcal{F}}\hat{f} = \frac{1}{N}\overline{W_N} \hat{f} = \frac{1}{N}
		\left(\begin{array}{cccc}
		1 & 1 & \cdots & 1 \\
		1 & \overline{\omega_N} & \cdots & \overline{\omega_N^{N-1}} \\
		\vdots & \vdots & & \vdots \\
		1 & \overline{\omega_N^{N-1}} & \cdots & \overline{\omega_N^{(N-1)(N-1)}}
		\end{array}\right)
		\left(\begin{array}{c}
		c \\ 0 \\ \vdots \\ 0
		\end{array}\right),
		\\
		f &= \frac{c}{N}(\textbf{e}_0, \textbf{e}_1 \ldots \textbf{e}_{N-1}). \end{align*}

    \textbf{b)}

	\begin{center} \textbf{6.7} \end{center}
	\noindent Att $T$ är cyklisk och således translationsinvariant ger
	\[ T\chi_n = \lambda\chi_n \]
	utvidgat till

	\[
	\left(\begin{array}{cccc}
		2 & 2 & 3 & 1 \\
		1 & 2 & 2 & 3 \\
		3 & 1 & 2 & 2 \\
		2 & 3 & 1 & 2 \end{array}\right)
	\left(\begin{array}{c}
		\chi_n (0) \\
		\chi_n (1) \\
		\chi_n (2) \\
		\chi_n (3) \end{array}\right)
	= \lambda_{n+1}
	\left(\begin{array}{c}
		\chi_n (0) \\
		\chi_n (1) \\
		\chi_n (2) \\
		\chi_n (3) \end{array}\right).
	\]
	\\*
	Eftersom $\chi_n (0) = 1$ är egenvärdena
	\[ \lambda_{n+1} = 2 + 2\chi_n (1) + 3\chi_n (2) + \chi_n (3), \]
	och vi beräknar
	\begin{align*}
		\lambda_1 &= 8\\
		\lambda_2 &= -1 + i\\
		\lambda_3 &= 2\\
		\lambda_4 &= -1 - i, \end{align*}
	vilket verifieras av insättning i den karakteristiska ekvationen $t^4 - 8t^3 - 2t^2 + 12t + 32 = 0$.

	\begin{center} \textbf{6.8} \end{center}

	\textbf{a)}
	\\
	\\*
	Att $(Tf)(0) = if(0) -(2+i)f(1) + 3f(2) + 0f(3)$ och att $T$ är cyklisk ger
	\\
	\\
	\[ T =
	\left(\begin{array}{cccc}
		i & -2-i & 3 & 0 \\
		0 & i & -2-i & 3 \\
		3 & 0 & i & -2-i \\
		-2-i & 3 & 0 & i \end{array}\right).
	\]

	\textbf{b)}
	\\
	\\*
	Som i uppgift 6.7 har vi
	\[ T\chi_n = \lambda\chi_n, \]
	och
	\[ \lambda_{n+1} = i +(-2-i)\chi_n(1) + 3\chi_n(2). \]

	\noindent Vi får



    \end{document}