11.10 монотонность

\documentclass[a4paper,10pt,landscape]{article}
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[left=05mm,right=05mm,top=05mm,bottom=05mm]{geometry}
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{10mm}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb}
\usepackage{graphicx}
\newsavebox{\mycontentbox}
\sbox{\mycontentbox}
{
\begin{minipage}[t][0.475\textheight]{0.475\textwidth}
\small

% Начало содержимого

\noindent{БФУ им. И. Канта}
\hfill{\scshape \textbf{Физико-технический интенсив}}
\smallskip
\hrule
\smallskip
\noindent{\textbf{Центр одарённых детей}}
\hfill{Голяшов Антон Андреевич}

\section*{\centering \scshape Монотонность}

% \begin{multicols*}{2}
%     \subsection*{\centering \itshape Воспоминания}

%     \begin{itemize}[leftmargin=*]

%         \item[\circ] Что-то

%     \end{itemize}

% \columnbreak
%     \subsection*{\centering \itshape Теория}
%     \begin{itemize}[leftmargin=*]

%         \item[\circ] Интересное

%         \item[\circ] Познавательное

%         \item[\circ] Полезное, если повезёт

%     \end{itemize}
% \end{multicols*}


Функция $f(x)$ называется:
\begin{itemize}
    \item[-] \textbf{возрастающей}, если $x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)$
    \item[-] \textbf{неубывающей}, если $x_1<x_2 \implies f(x_1)\leq f(x_2)$
    \item[-] \textbf{убывающей}, если $x_1<x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)$
    \item[-] \textbf{невозрастающей}, если $x_1<x_2 \implies f(x_1)\geq (x_2)$
    % \item[-] \textbf{монотонной}, если она невозрастающая или неубывающая
    % \item[-] \textbf{строго монотонной}, если она возрастющая или убывающая
\end{itemize}



% \subsection*{\centering \itshape Примеры}

% \begin{itemize}[leftmargin=*]

%     \item[\textbf{I.}] пример
%     \item[\textbf{II.}] ещё пример
% \end{itemize}

% \subsection*{\centering \itshape Задачи}
\begin{enumerate}[label=\bfseries\arabic*.,leftmargin=*]


\item[1]
Какие из графиков являются графиками монотонных функций?
\begin{center}
    \includegraphics[width=4cm]{images/октябрь2024/мон1.png}
    \includegraphics[width=4cm]{images/октябрь2024/мон2.png}
    \includegraphics[width=4cm]{images/октябрь2024/мон3.png}
\end{center}


\item[2]
Приведите примеры монотонных функций.


\item[3.1]
Пусть $f(x)$ и $g(x)$ - возрастающие. Докажите, что следующие функции также возрастающие:
$f(x)+g(x)$,\,  $f(g(x))$

\item[3.2]
Верно ли, что $f(x)g(x)$ возрастает, и что $\dfrac{1}{f(x)}$ убывает?



% \begin{itemize}
%     \item[-] $f(x)+g(x)$
%     \item[-] $f(x)g(x)$
%     \item[-] $f(g(x))$
% \end{itemize}

 % - $f(x)+g(x)$\\
 % - $f(x)g(x)$\\
 % - $f(g(x))$


\item[4.1]
Докажите, что если $f(x)$ - строго монотонная, то уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного корня.

\item[4.2]
Докажите, что если $f(x)$ - возрастающая, а $g(x)$ - убывающая, то уравнение $f(x)=g(x)$ имеет не более одного корня

Решите уравнения:

\item[5]
$x^3+x=10$

\item[6]
$2^x+x=6$

\item[7]
$2\sqrt{x+18}+\sqrt{4x-3}=15$

\item[8]
$\sqrt[4]{18-x}-\sqrt[8]{x-2}=2$

\item[9]
$x^5+x^3-\sqrt{1-3x}+4=0$

\item[10]
$2^x+3^x=5^x$

\item[11]
$x + \sqrt{x+\dfrac{1}{1} + \sqrt{x+\dfrac{1}{4}} } = 9$

\item[12]
$\sqrt{2x^2-12x+27} + \sqrt{3x^2-18x+52} = 6x-x^2-1$




% Иногда функции не монотонны на всей числовой оси, но монотонны на области определения


\item[13]
Докажите, что если $f(x)$ строго возрастает, то уравнение $f(x)\geq0$ имеет решение $x\geq x_0$, где $x_0$-корень уравнения $f(x)=0$




\end{enumerate}



% Конец содержимого
\end{minipage}
}
\begin{document}
    \begin{multicols}{2}
        \usebox{\mycontentbox}
        \columnbreak
        \usebox{\mycontentbox}
    \end{multicols}
\end{document}