Данный код выполняется после регистрации:
<?php
$fullname = 'Поле содержит имя зарегистрированного пользователя';
$lastname = 'Поле содержит фамилию зарегистрированного пользователя';

$array[] = array('key' => '$name', 'value' => $fullname.' '.$lastname);

$json = json_encode($array);
$url = 'https://api.carrotquest.io/v1/users/494448623963080243/props';
$fields = [
    'auth_token' => 'app.29882.56d02968f4619dfcb4ab3652c8e0692bc38c57fefb7885b5',
    'operations' => $json,
    'by_user_id' => 'true'
];
$fields_string = http_build_query($fields);
$ch = curl_init();
curl_setopt($ch,CURLOPT_URL, $url);
curl_setopt($ch,CURLOPT_POST, true);
curl_setopt($ch,CURLOPT_POSTFIELDS, $fields_string);
curl_setopt($ch,CURLOPT_RETURNTRANSFER, true);
$res_curl = curl_exec($ch);

?>