Вектора Витта и p-адические числа
=================================

Сначала докажем два утверждения.
-------------------------------------------------------------------------------
Утверждение 1. Лемма Гензеля.

Если у нас есть решение сравнения f(x)=0 (mod p^n), где f --- многочлен с
целочисленными коэффициентами и f'(x) =/= 0 (mod p), то мы можем поднять его
до решения mod p^(n+1), причём единственным образом.

(Тавтологическое) доказательство.

f(x)=0 (mod p^n) <=> f(x)=ap^n

Поменять x так, чтобы его класс mod p^n не изменился <=> добавить к нему bp^n.

  f(x+bp^n) =
= f(x)+f'(x)bp^n   (mod p^(n+1)) =
= ap^n+f'(x)bp^n   (mod p^(n+1)) =
= (a+f'(x)b)p^n    (mod p^(n+1))

Поэтому, сократив на p^n, получаем, что

f(x+bp^n)=0 (mod p^(n+1)) <=> a+f'(x)b = 0 (mod p).

Если f'(x) =/= 0 (mod p), то отсюда мы однозначно восстанавливаем b.
-------------------------------------------------------------------------------
Утверждение 2.

a = b (mod p) => a^(p^n) = b^(p^n) (mod p^(n+1))

Очевидным образом доказывается по индукции.
-------------------------------------------------------------------------------
Благодаря лемме Гензеля мы можем найти для каждого a_0 из Z/pZ p-адическое число
(a_0)+(a_1)p+(a_2)p^2+..., удовлетворяющее уравнению x^p=x. Оно называется
представителем Тейхмюллера для a_0. Очевидно, что p-адические числа можно
раскладывать в ряды по представителям Тейхмюллера: (t_0)+(t_1)p+(t_2)p^2+...,
где (t_i)^p = t_i.
-------------------------------------------------------------------------------
Утверждение, которые мы собираемся доказать, такое: если связать с каждым
p-адическим числом последовательность элементов из Z/pZ, отвечающих
коэффициентам его разложения по представителям Тейхмюллера, то сложение и
умножение p-адических чисел описывается полиномиальными формулами с целыми
коэффициентами.
-------------------------------------------------------------------------------
Рассмотрим p-адические числа
a=(a_0)+(a_1)p+(a_2)p^2+...,
b=(b_0)+(b_1)p+(b_2)p^2+...,
c=(c_0)+(c_1)p+(c_2)p^2+...,
где a_i, b_i, c_i --- представители Тейхмюллера.

Условие, что c = a + b, можно записать так:

c_0 = a_0 + b_0 (mod p)

  (c_0) + (c_1)p =
= (a_0) + (a_1)p +
+ (b_0) + (b_1)p (mod p^2)

  (c_0) + (c_1)p + (c_2)p^2 =
= (a_0) + (a_1)p + (a_2)p^2 +
+ (b_0) + (b_1)p + (b_2)p^2 (mod p^3)

...

Учитывая, что a_i, b_i, c_i --- представители Тейхмюллера, это можно
переписать так:

c_0 = a_0 + b_0 (mod p)

  (c_0)^p + (c_1)p =
= (a_0)^p + (a_1)p +
+ (b_0)^p + (b_1)p (mod p^2)

  (c_0)^(p^2) + ((c_1)^p)p + (c_2)p^2 =
= (a_0)^(p^2) + ((a_1)^p)p + (a_2)p^2 +
+ (b_0)^(p^2) + ((b_1)^p)p + (b_2)p^2 (mod p^3)

...

А эти условия уже не зависят от того, какие поднятия элементов из Z/pZ мы
используем, благодаря утверждению 2 (то есть они зависят только от классов
a_i, b_i, c_i mod p).
-------------------------------------------------------------------------------
Мы выразим (c_i)ые в виде многочленов с целыми коэффициентами от
(a_i)ых и (b_i)ых таким образом, что равенства

  (c_0)^(p^2) + ((c_1)^p)p + (c_2)p^2 =
= (a_0)^(p^2) + ((a_1)^p)p + (a_2)p^2 +
+ (b_0)^(p^2) + ((b_1)^p)p + (b_2)p^2

итд

будут выполнятся тождественно в кольце многочленов
Z[a_1, a_2, ... b_1, b_2, ...].

Для умножения всё то же самое.

Тогда наше утверждение будет доказано.
-------------------------------------------------------------------------------
Перед тем, как двигаться дальше, сделаем очевидное
Утверждение 3. d/dt log (1+t+t^2+...) = 1+t+t^2+...
-------------------------------------------------------------------------------
Рассмотрим произвольное кольцо R. Будем называть последовательности его
элементов (X_1, X_2, ...) векторами Витта, а
         ___
         \      n/d
X^(i) := /__ d X    --- их призрачными компонентами.
         d|n    d

Мы хотим определить полиномиальные формулы сложения и умножения векторов
Витта, которые переходят в покоэффициентное сложение и умножение для их
призрачных компонент: X^(i) + Y^(i) = (X + Y)^(i), X^(i) Y^(i) = (XY)^(i).

Рассмотрим формальный ряд
 ____                ____
 |  |          n     \        n
 |  |  (1 - X t ) =  /___  A t
n >= 1       n      n >= 0  n

A_n и X_n восстанавливаются друг из друга по индукции как многочлены с целыми
коэффициентами.

Тогда
            ____                ____
            |  |          n     \     (m) m
-t d/dt log |  |  (1 - X t ) =  /___ X   t
           n >= 1       n      m >= 1

(Это легко увидеть, зная, например, утверждение 3.)

Теперь очевидно, как определить сложение --- это умножение рядов.

Определить умножение тоже не очень трудно.

[d,e] := lcm(d,e)
  ___
  \       m/d    m/e  m
  /__  d X    e Y    t  =
          d      e
m >= 1,
d,e | m
   ___
   \         [d,e]/d   [d,e]/e  [d,e] n
=  /__  de (X         Y        t     )  =
             d         e
n,d,e >= 1
               ___
               | |           [d,e]/d   [d,e]/e  [d,e] de/[d,e]
= -t d/dt log  | |  de (1 - X         Y        t     )
                             d         e
             d,e >= 1

(Первое равенство --- тавтология, второе равенство легко увидеть, зная
утверждение 3.)
-------------------------------------------------------------------------------
Обычные компоненты X_n и призрачные компоненты X^(n) легко восстанавливаются
друг из друга по индукции, только там возникают знаменатели. Мы делали то, что
делали, чтобы убедиться, что знаменатели сократятся.

X_n при n = p^i для какого-то простого числа p, зависят только от X^k при k =
p^j для этого же простого числа p, и наоборот.

Взяв только эти компоненты, мы получим "p-типические" вектора Витта, которые и
дадут нам p-адические числа (если в качестве кольца коэффициентов взять Z/pZ).