sharivan

Hexadecimal para binário

Oct 10th, 2015
198
Never
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  1. Teorema:
  2.  
  3. Seja $x$ um número natural escrito na base hexadecimal, mostre que para converte-lo para a base binária basta converter cada digito hexadecimal em binário da esquerda para a direita e concatenar o resultado na mesma direção.
  4.  
  5. Prova:
  6.  
  7. $x$ pode ser escrito nas seguintes formas
  8.  
  9. $x=b_{n}\cdot 2^{n}+b_{n-1}\cdot 2^{n-1}+...+b_{2}\cdot 2^{2}+b_{1}\cdot 2+b_{0}=\sum\limits_{k=0}^{n}b_{k}\cdot 2^{k}$ ($x$ na base $2$)
  10.  
  11. onde $b_{k}$ são os dígitos de x na base binária (ou seja, valem $0$ ou $1$)
  12.  
  13. $x=h_{q}\cdot 16^{q}+h_{q-1}\cdot 16^{q-1}+...+h_{2}\cdot 16^{2}+h_{1}\cdot 16+h_{0}=\sum\limits_{k=0}^{q}h_{k}\cdot 16^{k}$ ($x$ na base $16$)
  14.  
  15. onde $h_{k}$ são os dígitos de $x$ na base hexadecimal com $0\leq h_{k}\leq15$.
  16.  
  17. Escrevendo os dígitos de $x$ da direita para a esquerda teremos:
  18.  
  19. $x=b_{0}+2b_{1}+2^{2}b_{2}+2^{3}b_{3}+2^{4}b_{4}+2^{5}b_{5}+2^{6}b_{6}+2^{7}b_{7}+2^{8}b_{8}+2^{9}b_{9}+2^{10}b_{10}+2^{11}b_{11}...=$
  20.  
  21. $\left( b_{0}+2b_{1}+2^{2}b_{2}+2^{3}b_{3}\right) +2^{4}\left( b_{5}+2b_{6}+2^{2}b_{7}+2^{3}b_{8}\right) +2^{8}\left( b_{9}+2b_{10}+2^{2}b_{11}+2^{3}b_{12}\right) +...=$
  22.  
  23. $\left( b_{0}+2b_{1}+2^{2}b_{2}+2^{3}b_{3}\right) +16\left( b_{5}+2b_{6}+2^{2}b_{7}+2^{3}b_{8}\right) +16^{2}\left( b_{9}+2b_{10}+2^{2}b_{11}+2^{3}b_{12}\right) +...$
  24.  
  25. Uma vez que $b_{k}$ é $0$ ou $1$ temos a seguinte relação:
  26.  
  27. $0\leq b_{k}+2b_{k+1}+2^{2}b_{k+2}+2^{3}b_{k+3}\leq 1+2+2^{2}+2^{3}=15$
  28.  
  29. Logo
  30.  
  31. $0\leq b_{k}+2b_{k+1}+2^{2}b_{k+2}+2^{3}b_{k+3}\leq15$
  32.  
  33. Portanto eu consegui escrever $x$ na base hexadecimal onde cada dígito seria
  34.  
  35. $h_{k}=b_{k}+2b_{k+2}+2^{2}b_{k+2}+2^{3}b_{k+3}$
  36.  
  37. ficando então $x$ da forma
  38.  
  39. $x=h_{0}+16h_{1}+16^{2}h_{2}+...$
  40.  
  41. c.q.d.
  42.  
  43. De modo análogo se mostra o mesmo resultado para conversão de octal para binário e de um modo geral de qualquer base $m$ para uma base $n$ onde:
  44.  
  45. $m=n^{p}$ para algum número natural $p\geq 1$.
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