Hexadecimal para binário

Teorema:

Seja $x$ um número natural escrito na base hexadecimal, mostre que para converte-lo para a base binária basta converter cada digito hexadecimal em binário da esquerda para a direita e concatenar o resultado na mesma direção.

Prova:

$x$ pode ser escrito nas seguintes formas

$x=b_{n}\cdot 2^{n}+b_{n-1}\cdot 2^{n-1}+...+b_{2}\cdot 2^{2}+b_{1}\cdot 2+b_{0}=\sum\limits_{k=0}^{n}b_{k}\cdot 2^{k}$ ($x$ na base $2$)

onde $b_{k}$ são os dígitos de x na base binária (ou seja, valem $0$ ou $1$)

$x=h_{q}\cdot 16^{q}+h_{q-1}\cdot 16^{q-1}+...+h_{2}\cdot 16^{2}+h_{1}\cdot 16+h_{0}=\sum\limits_{k=0}^{q}h_{k}\cdot 16^{k}$ ($x$ na base $16$)

onde $h_{k}$ são os dígitos de $x$ na base hexadecimal com $0\leq h_{k}\leq15$.

Escrevendo os dígitos de $x$ da direita para a esquerda teremos:

$x=b_{0}+2b_{1}+2^{2}b_{2}+2^{3}b_{3}+2^{4}b_{4}+2^{5}b_{5}+2^{6}b_{6}+2^{7}b_{7}+2^{8}b_{8}+2^{9}b_{9}+2^{10}b_{10}+2^{11}b_{11}...=$

$\left( b_{0}+2b_{1}+2^{2}b_{2}+2^{3}b_{3}\right) +2^{4}\left( b_{5}+2b_{6}+2^{2}b_{7}+2^{3}b_{8}\right) +2^{8}\left( b_{9}+2b_{10}+2^{2}b_{11}+2^{3}b_{12}\right) +...=$

$\left( b_{0}+2b_{1}+2^{2}b_{2}+2^{3}b_{3}\right) +16\left( b_{5}+2b_{6}+2^{2}b_{7}+2^{3}b_{8}\right) +16^{2}\left( b_{9}+2b_{10}+2^{2}b_{11}+2^{3}b_{12}\right) +...$

Uma vez que $b_{k}$ é $0$ ou $1$ temos a seguinte relação:

$0\leq b_{k}+2b_{k+1}+2^{2}b_{k+2}+2^{3}b_{k+3}\leq 1+2+2^{2}+2^{3}=15$

Logo

$0\leq b_{k}+2b_{k+1}+2^{2}b_{k+2}+2^{3}b_{k+3}\leq15$

Portanto eu consegui escrever $x$ na base hexadecimal onde cada dígito seria

$h_{k}=b_{k}+2b_{k+2}+2^{2}b_{k+2}+2^{3}b_{k+3}$

ficando então $x$ da forma

$x=h_{0}+16h_{1}+16^{2}h_{2}+...$

c.q.d.

De modo análogo se mostra o mesmo resultado para conversão de octal para binário e de um modo geral de qualquer base $m$ para uma base $n$ onde:

$m=n^{p}$ para algum número natural $p\geq 1$.