Ejercicio. Hallar la ecuacion d ela parabola cuya diurectriz es la recta x+y = 10 y cuyo foco es el punto P(3,5). Una vez hallada su ecuacion hallar su ecuacion reducida empleando la diagonalizacion ortogonal
(%i1)	ecuacion: (x-3)^2+(y-5)^2-(x+y-10)^2/2=0;
(ecuacion)	-(y+x-10)^2/2+(y-5)^2+(x-3)^2=0
(%i2)	ecuacion: expand(ecuacion);
(ecuacion)	y^2/2-x*y+x^2/2+4*x-16=0
(%i17)	B:1/2*matrix([4,0]);
(B)	matrix(
		[2,	0]
	)
(%i18)	f: -16;
(f)	-16
(%i19)	[u,v] . D . [u,v] + 2 . B . P. [u,v]+f=0;
(%o19)	v^2+4*(v/sqrt(2)+u/sqrt(2))-16=0
 Siguiente paso es completar cuadrados
(%i24)	(v+2/sqrt(2))^2-(2/sqrt(2))^2+4*u/sqrt(2)-16=0;
(%o24)	(v+sqrt(2))^2+2^(3/2)*u-18=0
(%i26)	(v+sqrt(2)^2+2^(3/2)*(u-18/sqrt(8)))=0;
(%o26)	v+2^(3/2)*(u-9/sqrt(2))+2=0
 Ya hemos completado cuadrados. Ahora toca hacer el cambio X= u-9/sqrt(2), Y=v+sqrt(2), nos queda:
(%i27)	Y^2+sqrt(8)*X = 0;
(%o27)	Y^2+2^(3/2)*X=0
 de aqui obtenemos que el parametro p es sqrt(2) Veamos que es correcto. Calculamos la distancia del focxo a al directriz (3,5) a la dirtectriz x+y=10
(%i28)	parametro = at(abs(x+y-10)/sqrt(2),[x=3,y=5]);
(%o28)	parametro=sqrt(2)
 La directriz del eje de la parabola se calcula con la matriz A. Enj las coordenadas giradas el eje es el eje OX, y^2=2px que es el vector (1,0). En las coordenadas originales es P.
(%i31)	direje : P . [1,0];
(direje)	matrix(
		[1/sqrt(2)],
		[1/sqrt(2)]
	)
 el vertice de la parabola en el sistema reducido x, y es el origen de coordenadas (0,0) que corresponde a [9/sqrt(2), -sqrt(2)]
(%i30)	vertice: P. [9/sqrt(2), -sqrt(2)];
(vertice)	matrix(
		[7/2],
		[11/2]
	)
 -->
 El foco es vertyice +-p/2*direje, el signo depende del vector unitario que se tome
 -->
 Para la directriz se toma la perpendicular al eje que pasa por el punto que dista p/2 en la direccion del eje [-1,1] direccion de la directri9z, pasa por el punto
(%i34)	puntodirectriz: vertice+p/2*direje;
(puntodirectriz)	matrix(
		[4],
		[6]
	)
 -->	(x+4)*()
(%i32)	p:sqrt(2);
(p)	sqrt(2)
(%i33)	foco: vertice+p/2*direje;
(foco)	matrix(
		[4],
		[6]
	)
 -->	parametro = at(abs(x+y-10)/sqrt(2),[x=3,y=5]);
(%i3)	A: matrix([1/2,-1/2],[-1/2,1/2]);
(A)	matrix(
		[1/2,	-1/2],
		[-1/2,	1/2]
	)
 Ahora hay que diagonalizar ortoganlmente A, primero hallamos sus autovalores
(%i6)	eigenvalues(A);
(%o6)	[[0,1],[1,1]]
 La matriz diagonal asociada es
(%i9)	 D: diag_matrix(0,1);
(D)	matrix(
		[0,	0],
		[0,	1]
	)
 eigenvectors da toda la informacion, son tres listas, primero los autiovalores, segundo las multiplicidades y tercero los autovectores. El dos lo pongo para quedarme solo con dos datos, no 3
(%i14)	eigenvectors(A)[2];
(%o14)	[[[1,1]],[[1,-1]]]
(%i13)	P: 1/sqrt(2)*transpose(matrix([1,1],[1,-1]));
(P)	matrix(
		[1/sqrt(2),	1/sqrt(2)],
		[1/sqrt(2),	-1/sqrt(2)]
	)
 Comprobar que p es una matriz ortogonal, s emultiplica por su traspuesta y nos da la identidad
(%i15)	P.transpose(P), ratsimp;
(%o15)	matrix(
		[1,	0],
		[0,	1]
	)
 La forma diagonal de A es
(%i16)	D: transpose(P).A.P;
(D)	matrix(
		[0,	0],
		[0,	1]
	)