EDC 03/04/2012

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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).

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  A aula de hoje e talvez a próxima será uma aula de exercicios, vamos rever as materias.
  O motivo do talvez é que alguns alunos vão pedir via e-mail ao professor o adiamento da prova, para haver mais uma aula de exercicios.

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  FATOR INTEGRANTE

    (1) y' + p(t) y = g(t)

  Seja uma função µ(t) que multiplicada pelos dois lados da equação faça o lado esquerdo ser a derivada do produto: ( y(t) µ(t) )'

  Já sabemos que µ ficará na forma:

    µ(t) = e ^ int p(t) dt

  Assim se substituirmos na formula (1):

    (y(t) µ(t))' = µ(t) g(t)

  Agora basta integrar dos dois lados.

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  Ex 15: (Não copiei)

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  Ex 30:

   { y' - y = 1 + 3 sen t
   { y(0) = y0

    p(t) = -1
    g(t) = 1 + 3 sen t

  O valor de µ então é:

    µ(t) = e ^ int -1 dt = e ^-t

  assim partindo da fórmula:

    (y(t) µ(t))' = µ(t) g(t)

  chegamos em:

    y(t) = 1/e^-t *  [ 3 int (t0,t) e^-t * sen t dt + int 1 dt]

  Falta apenas resolver a integral:

    3 int (t0,t) e^-t * sen t dt

  A resposta então via integração por partes fica:
  // Não copiei passo a passo =P

    y(t) = e^t [1 - e^-t + 3/2 - 3/x e ^-t (sen t + cos t) + c]

  ou:

    e^t - 1 + 3/2 e^t - 3/2 (sen t + cos t) + c e^t

  Fazendo y(t) = y0 temos:

    y(0) = c = y0

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  EQUAÇÕES SEPARAVEIS

  equações separáveis são fáceis de serem tratadas.

  A idéia é que voce deve partir de uma equação na forma:

    y' + p(t)y = q(t)

  e mecher nos termos da equação de forma que ela fique assim:

    k(y) dy = h(t) dt

  Nem sempre é possível, se for possível chamamos essa equação de equação separável.

  A ultima etapa é integrar dos dois lados, do lado esquerdo em relação à y e do direito em relação à x.

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  Ex 4:

    y' = (3x²-1)/(3 + 2y)

  podemos re-escrever:

    dy/dx = 3x² - 1 / (3+ 2y)

  Mechendo nos termos:

    (3 + 2y) dy = (3x² - 1) dx

  Integrando dos dois lados, o da esquerda em relação a y e o da direita em relação a x:

    3y + y² + c1 = x³ - x + c2

  Agora bastaria tratar essa equação como uma equação de 2° grau com variável em y.
  // ou seja considerando x constante

  E descobrir os valores possíveis de y.

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  Ex 18:

    { y'   = e^-x - e^x / (3 + 4 y)
    { y(0) = 1

  Separando os termos conseguimos:

    (3+4y) dy = (e^x - e^x) dx

  Integrando:

    3y + 2y² = -e^-x - e^x + c

  Novamente devemos descobrir o valor de y supondo o problema uma equação de segundo grau com x constante.

    y(0) = -3/4 + raiz( 9 - 8 ( e^x + e^-x - c ) )/4

  E agora devemos substituir y(0) = 1 para descobrir a solução especifica.

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  Ex 30:
  // Atenção Esse exercicio mostra um metodo Macete para resolver equações que a principio não parecem ser separáveis!

    dy/dx = (y -4x) / (x-y)

  dividindo encima e em baixo da fração à direita por x temos:

    dy/dx = (y/x -4) / (1-y/x)

  Agora o exercicio pede pra gente substituir:

    v = y/x

  E portanto:

    y = x v

  Pede agora que derivemos essa ultima equação para descobrirmos dy/dx em função de y ou seja:

    dy/dx = 1 v + x v'

  Substituindo essa última equação na original temos:

    v + x v' = (y/x -4) / (1-y/x)

  Substituindo v = y/x:

    v + x v' = (v - 4) / (1 - v)

  Agora nós temos uma equação em função de v e x, e mais ela é SEPARAVEL!

  Separando temos:

    (1-v)/(v²-4)dv = dx/x

  Integrando:

    int (1-v)/(v²-4)dv = int dx/x

  Essa integral precisa do método de separação de **

  É bom estudar esse método.

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  Ex 1:

  Esse exercicio é sobre a modelagem de um problema real:

  Seja um volume de 200l,
  com uma concentração inicial c0 = 1 g/l

  Lembrando: C = massa/volume

  O professor falou que o importante é agente guardar a ideia de:

    dc(t)/dt = -c/100

  Esse exercicio ficou difícil de compreender e copiar ao mesmo tempo sem ter o enunciado em mãos =/.

  Vou parar de copiar aqui, mas é importante estudar um exercicio desse tipo para a prova, porque é bem possível que caia.

  Sugiro ver a última aula onde o professor da um exemplo detalhado de como converter um problema real para um problema matematico.

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  Ex 8:

    S(t) = quantia acumulada

    r = a taxa anual de retorno

    k = quantidade que uma pessoa investe por ano.

    dS/dt = rS + k

  Assim a EDO fica:

    S'-rS = k

  { p(t) = -r
  { g(t) = k

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  Considere uma pessoa inicialmente sem capital, sabemos com isso que S(0) = 0

  Bem daí agente teria de terminar sozinhos.

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  Ex 12:

  Um exercicio de modelagem sobre a datação de carbono.

  A meia vida do carbono 14 é longa: 5730
  ( ou seja se tenho 10 carbonos 14 em 5730 anos vou ter 5 c14 e 5 carbonos normais )

    Q(t) é a quantidade de carbono 14
    r é a constante de decaimento

  É dado no problema a equação:

    Q' = - r Q(t)

  Onde Q(t) = Q0 e^(-r/t)
  ou seja:

    Q(t) = Q0 e^(-r/t)

  O problema então é descobrir o valor de r.

  Usaremos para isso o conceito de meia vida:

    Q(t+5730) = Q(t)/2

  Q0 e^(-r (t+5730)) = Q0/2 e^(-rt)

  Aí seria só resolver isso.

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  Ex 16:

    T' = ð (T + T0)

  ou:

    T' - ðT = -ð T0

  O valor de T é dado:

    T(t) = ( c- T0) e ^ (ð t) + T0

  Dada a temperatura inicial T0 = 70°F

    T(0) = 200°F

    T(1) = 190°F

  A pergunta é sabendo que:

    T(t*) = 150F

  Qual o valor de t*?

  Sabemos que T(0) = 200,

  Substituindo temos:

    (c - T0) 1 + T0 = 200

  ou

    c = 200

  Também sabemos que T(1) = 190

  Meu pc deu pau =/, reinicei tarde pra copiar esse exercicio.

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  Ex 10, pg 110:
  // Falou que o 22 é semelhante.

   { y'' + 4y' + 3y = 0
   { y (0) = 2
   { y'(0) = -1

  É uma EDO linear homogenea de 2° ordem

  Vamos usar o metodo da equação característica.

  Primeiro substitui-se y=e^(rt) e assim se obterá a equação:

    r² + r + 3 = 0

  Calculando:

    r1 = -3
    r1 = -1

  Substituindo na formula: y3 = c1 y1 + c2 y2:

    y(t) = c1 e^(-3t) + c2 e^(-t)

  Agora conhecendo a solução geral do problema basta
  substituir os valores iniciais para encontrar as soluções especificas.

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  Ex 7, pg 119:

    { ty'' + 3y = t
    { y (1)=1
    { y'(1)=2

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  Ex 26, pg 119:

    x² y'' - x (x+2)  y' + (x+2) y = 0, x>0

  Sabendo que y1(x) = x e y2 (x) = xe^x são soluções,

  Eles formam uma base de soluções? ou seja eles são linearmente independentes?

  Para resolver isso use o determinante de Wronskiano, que se for diferente de 0 indica que são linearmente independentes.

  Esse determinante é da forma:

     | y1  y2 |
  det| y1' y2'| = ??

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  EXERCICIOS:
  // Inclusive esses são os exercicios que ele está resolvendo nessa aula.
  // Obviamente ele só escolheu alguns para resolver

  Pg 30: 15, 30
  Pg 36: 4, 18, 30 (exceto letra f)
  Pg 46: 1, 8, 12, 13, 16, 21
  Pg 110: 22, 10
  Pg 119: 7, 15, 26
  Pg 125: 10, 18, 25
  Pg 133: 13, 24
  Pg 141: 8, 9, 10, 14
  Pg 146: 3, 14

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  // Fim da aula.