$.ajax({
    url: 'getJSONwithXML.do',
    type:'POST',
    data:'',
    dataType: 'json',
    cache: false
}).done(function(data) {
    var jsonResp = JSON.parse(data.data.respuesta);
    var parser = new DOMParser();
    var xmlDoc = parser.parseFromString(jsonResp,"text/xml");
    var texto = $(xmlDoc).find('texto').prop('outerHTML');
    console.log(texto);
    $('body').append('<div>' + texto + '</div>');
});

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<envio>
    <version>1.0.0</version>
    <anuncios>
        <remitente>
            <nodoRemitente>Nodo Remitente</nodoRemitente>
        </remitente>
        <anuncio>
            <emisor>
                <nodoEmisor>Nodo Emisor</nodoEmisor>
            </emisor>
            <metadatos>
                <id>16249</id>
            </metadatos>
            <contenido>
                <texto>
                    <p>
                        Notificación de prueba
                    </p>
                    <p>
                        Notificación de prueba
                    </p>
                    <p>
                        Notificación de prueba
                    </p>
                </texto>
            </contenido>
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    </anuncios>
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<texto>
    <p>
        Notificación de prueba
    </p>
    <p>
        Notificación de prueba
    </p>
    <p>
        Notificación de prueba
    </p>
</texto>

var node = $(xml).find('texto')[0]; // get DOM node
// Try outerHTML. If not available, use XMLSerializer
var texto = node.outerHTML || new XMLSerializer().serializeToString(node);

if($(this).find('texto').length){
  debugger;
  var texto = $(this).find('texto').prop('outerHTML');
  .  . .
}

var el = $(this).find('texto');

if(el.length){
  debugger;
  var texto = el.prop('outerHTML');
  .  . .
}