EDC 17/05/2012

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  # Gastão                  #
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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

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  Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
5)    sen(at)      | a/(s²+a²)
6)    cos(at)      | s/(s²+a²)
7)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
8)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
11)   e^(ct)f(t)   | L(f(s-c))
12)   f(ct)? - sei não =P
16)   f(t)**g(t)   | L(f(t)) L(g(t))
17)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)
19)   y'           | s L(y) - y(0)
19)   y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
(a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)

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  // Hoje é a primeira aula após a prova 2.
  // Agora vamos começar a terceira parte do curso =].

  Na terceira parte do curso, nós vamos estudar as equações diferenciais parciais.
  Lembrando que Ordinárias são as EDs onde a função em questão tem apenas um parâmetro.
  As parciais são as EDs onde a func. incognita possuí mais de um parâmetro! PAM PAM PAM!

  Revendo as outras partes do curso:

  parte 1: vimos EDOs simples de primeira ordem, e de segunda ordem.

  parte 2: vimos o método de laplace para EDOs de ordens maiores e os sistemas de ED.

  parte 3:

  Vamos estudar EDPs onde nossa incognita é da forma:

    U(x,t)

  O professor vai manter a interpretação do t como sendo o tempo, mas obviamente
  os métodos estudados funcionariam para qualquer outra interpretação da variável t.

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CONCEITO:
  Equações Diferenciais Parciais (cap 10).

  Exemplo 1:

    u´t = <delta>² u´´x
    // lembrando que u´t é a notação que eu uso para: du/dt
    // e notem que u´´x é d²u/dx²

    u = u(x,t)
    x,t € Reais

  Assim nosso objetivo é descobrir uma função, contida em R³ que torna essa equação verdadeira.

  A equação acima é um exemplo real, e é chamada de "equação do calor" ou "equação da difusão"

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  Exemplo 2:

    u´´t = c² u´´x

  Essa também é baseada em um caso real e é chamada de "equação da onda"

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  Exemplo 3:

  Eq. de laplace:

    u = u(x,y)

    u´´x + u´´y = 0

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  Notem que falamos de 3 Equações Diferenciais Parciais (EDP) de 2° ordem.
  Nós vamos focar essa terceira parte do curso nas EDPs de 2° ordem.

  EDPs também podem ser categorizadas segundo a linearidade.

  Ou seja as 3 equações acima são lineares.
  Porém uma equação na forma:

    u´t = <delta>² (u´´x)²

  seria não-linear.

  Nesse terceira parte do curso então estudaremos equações diferenciais parciais lineares de 2° ordem.

  vamos agora discutir os 3 exemplos em mais detalhes.

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  Exemplo 1:

  Equação do calor.

    u´t = <delta>² u´´x

  Esse problema pode ser descrito pelo modelo:

  imagine um fio, de comprimento L, porém a grossura dele será considerada despresível.

  em alguns pontos no fio, colocamos fontes de calor a temperaturas: t1, t2, ..., tn.

  Então vamos simplificar o problema e considerar que as duas estremidades do fio estão a temperatura 0°c:

    0°c =========================== 0°c

  Agora vem a parte da equação diferencial.
  Após um certo tempo retiramos as fontes de calor, e queremos descobrir como a distribuição de temperatura do fio fica.

  Para isso que temos a Equação do Calor.

  2° lei da termodinâmica: O calor se propaga na direção contrária ao gradiente de temperatura.

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  Exemplo 2:

  Equação da onda:

    u´´t = c² u´´x

  A interpretação dessa equação é o seguinte:

  Temos uma corda de violão por exemplo, nós a puxamos até uma certa distancia e depois à soltamos.

  A partir desse ponto a corda vai começar a vibrar.

  A equação que descreve o movimento dessa corda é a "Equação da Onda".

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  Exemplo 3:

  Equação de Laplace:

    u´´x + u´´y = 0

  // Não copiei direito
  Tem haver com carregar um objeto com uma carga e observar o comportamento.

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  O que une esses 3 exemplos é método de solução.

  O método de solução apesar de que não vamos falar nessa aula, passa pelo método de fourrier

  O professor falou que um jeito bom de se aprender fourrier é ter em mente esses modelos.
  Então deve ser uma boa lembrar deles ao estudar =P.

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  Considere um problema:

  Temos uma barra com uma distribuição qualquer de temperatura onde os pontos mais quentes estão no centro e as extremidades estão à 0°c.

    t = tempo
    u = u(x,t) = temperatura.
    x = ponto na barra.

  A barra tem comprimento L, portanto x varia entre [0,L]

  A formula então fica segundo a equação do calor:

    u´t = <delta>² u´´x

  Queremos descobrir a função:

    u(x,y)

  Sabendo que ele obedece essa equação:

    (1) u´t = <delta>² u´´x

  E que no tempo 0 ela corresponde a função f(x):

    u(x,0) = f(x)

  E sabendo que as extremidades terão o tempo todo a temperatura 0:

    u(0,t) = u(L,t) = 0

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  Vamos então pensar em como resolver.
  Primeiro palpite, vamos tentar chutar a solução ( como sempre fazemos =P hehe )

  Vamos supor uma solução na forma:

    (2) u(x,t) = X(x) T(t)

  Para substituir (2) em (1) vamos primeiro descobrir as derivadas de u:

    u´t  = X   T'
    u´´x = X'' T

  Substituindo fica:

    X T' = <delta>² X'' T

  Pensando dessa forma, podemos isolar de um lado o que depende de x, e do outro o que depende de t veja:

    T'/(<delta>² T) = X''/X

  Isso implica que os dois lados da equação devem ser verdade para todo X e para todo t correto?

  Porém, para isso ser verdade as duas frações devem ser constantes para que o outro lado não seja afetado quando o x ou o t variarem.

  Então vamos chamar essa constante de -<lambda> ou -<l> para simplificar:

    T'/(<delta>² T) = X''/X = -<l>

  Pensando dessa forma conseguimos duas equações veja:

    T'/(<delta>² T) = -<l>

  e

    X''/X = -<l>

  Ou seja acabamos de obter duas EDOs =].

  A primeira é fácil de resolver já que ela é separável:

  A sol. geral é:

    T(t) = A e^(-<l> <delta>² t)

  A sol para a outra equação já é mais complicado, precisamos descobrir a equação característica e verificar o valor de delta da equação de 2° grau.

  O valor do delta vai depende de <l> e portanto poderia ser: positiva negativa ou nula.

  O professor não vai resolver essa equação agora, mas vamos continuar a falar disso na próxima aula =].

  Agora note que para uma equação dessas precisaremos de valores iniciais.

  Como obte-los?

  Lembram-se que u(0,t) = X(0) T(t) = 0 ?

  Isso indica que X(0) é sempre 0.

  Bem esses valores que usamos nós chamamos de valores de contorno.

  Na próxima aula vamos usa-los para terminar de resolver esse problema =].

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  // Fim da aula!