API tools faq
paste
Advertisement
Guest User

Untitled

a guest
May 23rd, 2018
76
0
Never
Add comment
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
text 45.62 KB | None | 0 0
raw download clone embed print report
  1. \documentclass[11pt]{article}
  2. %\usepackage[a5paper]{geometry}
  3. \usepackage[left=20mm, right=20mm, top=20mm, bottom=20mm, includefoot]{geometry}
  4. %\geometry{left=20mm, right=20mm, top=20mm, bottom=20mm, includefoot}
  5.  
  6. \usepackage[cp1251]{inputenc}
  7.  
  8. \usepackage[russian]{babel}
  9. \usepackage[intlimits]{amsmath}
  10. %\interdisplaylinepenalty=2500
  11. \usepackage{amsfonts}
  12. \usepackage{amsthm}
  13. \usepackage{amssymb}
  14. \usepackage{euscript}
  15. \usepackage{amsmath}
  16. \usepackage{latexsym}
  17. \usepackage{graphicx}
  18.  
  19. \DeclareMathOperator{\sech}{sech}
  20. %нужен, чтобы вставлять рисунки
  21. %\usepackage{caption} %нужен, чтобы убрать автоматическую нумерацию рисунков
  22. \theoremstyle{plain}
  23. \newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
  24. \newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
  25. \newtheorem{propos}{Предложение}[section]
  26. \newtheorem{coll}{Следствие}[section]
  27. \newtheorem{statement}{Утверждение}[section]
  28.  
  29.  
  30.  
  31.  
  32. \begin{document}
  33.  
  34. \begin{titlepage}
  35. \begin{center}
  36.  
  37. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
  38. \vspace{0.25cm}
  39.  
  40. Механико-математический факультет
  41.  
  42. Кафедра теоретической механики и мехатроники
  43. \vfill
  44.  
  45.  
  46.  
  47. \textsc{Отчет}\\[5mm]
  48.  
  49. {\LARGE По задаче 13 вычислительного практикума}
  50. \bigskip
  51.  
  52. Жучков Алексей Владимирович
  53. \vfill
  54. 4 курс, группа 422
  55. \end{center}
  56. \vfill
  57.  
  58.  
  59.  
  60. \begin{center}
  61. Москва, 2017 г.
  62. \end{center}
  63. \end{titlepage}
  64. \begin{center}
  65.  
  66. \end{center}
  67.  
  68.  
  69.  
  70.  
  71. \section{Постановка задачи.}
  72. Рассмотрим уравнение в частных производных
  73. \begin{equation*}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial F (u)}{\partial x }=0; \qquad t\in[0,1]\end{equation*}
  74.  
  75. Исследуем два случая: $F(u)$, называемая функцией состояния, линейна $F(u) = -\frac{1}{2}u$, и квадратична $F(u) = -\frac{1}{2}u^2$.
  76.  
  77. Таким образом, решаем уравнения:
  78. \begin{equation}\label{1}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x }=0; \qquad t\in[0,1]\end{equation}
  79.  
  80.  
  81. \begin{equation}\label{nel}\frac{\partial u}{\partial t}-u\frac{\partial u}{\partial x }=0; \qquad t\in[0,1]\end{equation}
  82.  
  83.  
  84.  
  85. Для численного решения предлагаются следующие схемы:
  86.  
  87. $$ v_t + 0,5(1-sign(F_v'(v)))(F(v))_x+0,5(1+sign(F_v'(v)))(F(v))_{\bar x} = 0$$
  88. $$v_t +(F(\hat v))_{\overset{\circ}{x}}=0$$
  89. $$v_t +(F(\hat v))_{\overset{\circ}{x}}=\frac{1}{8}(v^{n}_{m+2}-4v^{n}_{m+1}+6v^{n}_{m}-4v^{n}_{m-1}+v^{n}_{m-2})$$
  90. Здесь используются обозначения разностных операторов:
  91. $$g_t = \frac{g^{n+1}_m-g^n_m}{\tau} \qquad g_x = \frac{v^{n}_{m+1}-v^n_m}{h} \qquad g_{\overset{\circ}{x}} =
  92. \frac{v^{n}_{m+1}-v^n_{m-1}}{2h}$$ и обозначение $$g^{n+1}_m = \hat g$$
  93. Тогда расчетные схемы в линейном случае имеют вид:
  94. \begin{equation}\label{2}\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau} -\frac{v^{n}_{m+1}-v^{n}_m}{2h}=0\end{equation}
  95. \begin{equation}\label{3}\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau} -\frac{v^{n+1}_{m+1}-v^{n+1}_{m-1}}{4h}=0\end{equation}
  96. \begin{equation}\label{4}\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau}
  97. -\frac{v^{n+1}_{m+1}-v^{n+1}_{m-1}}{4h}=\frac{1}{8}(v^{n}_{m+2}-4v^{n}_{m+1}+6v^{n}_{m}-4v^{n}_{m-1}+v^{n}_{m-2})\end{equation}
  98.  
  99. В нелинейном случае:
  100.  
  101. \begin{equation}\label{nel1}\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau} -\frac{(v^{n}_{m+1})^2-(v^{n}_m)^2}{2h}=0\end{equation}
  102. \begin{equation}\label{nel2}\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau} -\frac{(v^{n+1}_{m+1})^2-(v^{n+1}_{m-1})^2}{4h}=0\end{equation}
  103. \begin{equation}\label{nel3}\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau}
  104. -\frac{(v^{n+1}_{m+1})^2-(v^{n+1}_{m-1})^2}{4h}=\frac{1}{8}(v^{n}_{m+2}-4v^{n}_{m+1}+6v^{n}_{m}-4v^{n}_{m-1}+v^{n}_{m-2})\end{equation}
  105.  
  106.  
  107. Начальные условия задаются функцией
  108.  
  109. \begin{equation*} u_0(x) = \left\{
  110. \begin{aligned}
  111. & 1 , \qquad x\le0\\
  112. &0, \qquad x>0\\
  113. \end{aligned}\right. \end{equation*}
  114.  
  115. Ограничим область исследования решений по переменной $x$.
  116. Характеристическая система:
  117. \begin{equation}\label{char}\frac{d X}{d t} = F'(U) \qquad \frac{d U}{d t} = 0\end{equation}. Обозначим ее решение
  118. (уравнение характеристик) за $x = X(t), u = U(t)$. Тогда характеристики имеют вид $x = u_0 t + x_0$, $u = u_0$.
  119. Отсюда в силу постоянства решения на характеристиках заключаем, что достаточно рассматривать задачу в области $Q_T = \{(t,x) | 0 \le t \le
  120. 1; -1\le x \le 1\}$.
  121.  
  122. Граничные условия следующие: $$u(0,x) = u_0 \qquad u(t, -1) = 0 \qquad u(t, 1) = 1$$
  123. \section{Точное решение.Линейный случай.}
  124.  
  125. Итак, решаем уравнение $\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x }=0 $ с начальными условиями, задаваемыми
  126. функцией $u(0,x) = u_0(x)$.
  127.  
  128. \begin{equation*} u_0(x) = \left\{
  129. \begin{aligned}
  130. & 1 , \qquad x\le0\\
  131. &0, \qquad x>0\\
  132. \end{aligned}\right. \end{equation*}
  133.  
  134. Задача имеет вид задачи Римана о распаде разрыва для функции состояния $F = F(u) = -0,5 u$. Поскольку в данном случае $u^{-}>u^{+}$, то решение имеет вид:
  135.  
  136.  
  137. \begin{equation*} u(t,x) = \left\{
  138. \begin{aligned}
  139. & 1 , \qquad x\le -0,5t\\
  140. &0, \qquad x>-0,5t\\
  141. \end{aligned}\right. \end{equation*}
  142. \section{Точное решение. Нелинейный случай.}
  143.  
  144.  
  145. Решаем уравнение $\frac{\partial u}{\partial t}-u\frac{\partial u}{\partial x }=0 $ с начальными условиями, задаваемыми
  146. функцией $u(0,x) = u_0(x)$.
  147.  
  148. \begin{equation*} u_0(x) = \left\{
  149. \begin{aligned}
  150. & 1 , \qquad x\le0\\
  151. &0, \qquad x>0\\
  152. \end{aligned}\right. \end{equation*}
  153.  
  154. Задача имеет вид задачи Римана с функцией состояния $F = F(u) = -0,5 u^2$. Поскольку функция выпукла вверх и начальные условия удовлетворяют неравенству $u^{-}>u^{+}$, то решение строится в виде волны разряжения.
  155.  
  156. \begin{equation*} u(t,x) = \left\{
  157. \begin{aligned}
  158. & 1 , \qquad\qquad x\le -t\\
  159. &-x/t, \qquad-t < x \le 0\\
  160. &0, \qquad\qquad x>0\\
  161. \end{aligned}\right. \end{equation*}
  162. \section{Теоретическое исследование разностных схем. Линейный случай.}
  163. \subsection{Аппроксимация.} \label{app}
  164. Найдем порядок аппроксимации уравнения (\ref{1}) каждой из разностных схем (\ref{2}), (\ref{3}), (\ref{4}) на гладких его решениях.
  165.  
  166. Пусть функция $u(t,x)$ является решением уравнения (\ref{1}) и дифференцируема по каждой из переменных при $t \ge 0$. Подставим проекцию на сетку
  167. этой функции в разностное уравнение (\ref{2}). Получим некоторую сеточную функцию $\phi$:
  168.  
  169. $$\phi^n_m = \frac{u^{n+1}_m-u^n_m}{\tau} -\frac{u^{n}_{m+1}-u^{n}_m}{2h}$$
  170. Эта функция может быть отлична от нуля. Решение задачи сводится к установлению порядка значений функции $\phi^n_m$ в зависимости от шагов
  171. сетки $\tau, h$ для гладких функций $u$.
  172.  
  173. Представим значение функции $u$ в узлах $(n+1,m)$ и $(n, m+1)$ в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности точки $(n, m)$. Далее для
  174. сокращения записи используем обозначение $v^n_m = v$.
  175.  
  176. $$ u^{n+1}_m = u+\tau \dot u+\frac{\tau^2}{2} \ddot u + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3)$$
  177. $$ u^n_{m+1} = u+ h u' + \frac{h^2}{2} u'' + \overset{}{\underset{=}{O}}(h^3)$$
  178.  
  179.  
  180.  
  181. Подставим эти разложения в функцию $\phi$ и учтем, что $u$ - точное решение уравнения). Тогда получим: $$ \phi^n_m = \frac{u+\tau
  182. \dot u+\frac{\tau^2}{2} \ddot u + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3) - u}{\tau} -\frac{u+ h u' + \frac{h^2}{2} u'' +
  183. \overset{}{\underset{=}{O}}(h^3) - u}{2h}
  184. = \dot u -\frac{1}{2} u' + \frac{\tau}{2} \ddot u -\frac{h}{4} u'' +\overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^2+h^2) =
  185. \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau + h)$$.
  186.  
  187. Итак, разностная схема (\ref{2}) аппроксимирует с линейным порядком аппроксимации.
  188.  
  189. Проделаем аналогичную операцию со схемами (\ref{3}),(\ref{4}).
  190.  
  191. Для схемы \ref{3} сначала сдвинем индексы. Заменим индекс $n$ на индекс $p-1$. Тогда $u^{n+1}_m$ перепишется в виде $u^p_m$, а
  192. $u^{n}_m$ в виде $u^{p-1}_m$
  193.  
  194. Тогда:
  195. %\begin{multline}
  196. \begin{multline*}
  197. \phi^n_m = \frac{u^{p}_m-u^{p-1}_m}{\tau} -\frac{u^{p}_{m+1}-u^{p}_{m-1}}{4h}=\\
  198. = \frac{u - (u-\tau \dot u+\frac{\tau^2}{2} \ddot u -\frac{\tau^3}{6}\dddot u + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^4))}{\tau}
  199. - \frac{ u+ h u' + \frac{h^2}{2} u'' +\frac{h^3}{6} u'''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^4)-( u- h u' + \frac{h^2}{2} u''
  200. -\frac{h^3}{6}u'''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^4))}{4h} = \\
  201. = \dot u - \frac{1}{2}u' -\frac{\tau}{2}\ddot u -\frac{h^2}{12}u''' + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^2+h^4) =
  202. = \dot u - \frac{1}{2}u'+
  203. \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau+h^2)
  204. \end{multline*}
  205.  
  206. Учитывая, что $u$ - точное решение уравнения (\ref{1}), получим, что схема (\ref{3}) аппроксимирует с порядком аппроксимации линейным по
  207. $\tau$ и квадратичным по $h$
  208.  
  209. Рассмотрим схему (\ref{4}). Нетрудно заметить, что левая часть имеет порядок аппроксимации такой же, как и в случае схемы (\ref{3}).
  210. Посмотрим, как ведет себя правая часть при разложении входящих в нее сеточных функций в ряд Тейлора в окрестности точки $(n,m)$
  211.  
  212. \begin{multline*}
  213. \frac{1}{8}\left(u^{n}_{m+2}-4u^{n}_{m+1}+6u^{n}_{m}-4u^{n}_{m-1}+u^{n}_{m-2}\right) =\\
  214. \frac{1}{8}\left( u+ 2h u' + \frac{(2h)^2}{2} u'' +\frac{(2h)^3}{6}u'''+\frac{(2h)^4}{24}u''''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^5)\right)
  215. -4\left( u+ h u' + \frac{h^2}{2} u'' +\frac{h^3}{6}u'''+\frac{(h)^4}{24}u''''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^5)\right)+\\+6u
  216. -4\left(u- h u' + \frac{h^2}{2} u'' -\frac{h^3}{6}u'''+ \frac{(h)^4}{24}u''''+\overset{}{\underset{=}{O}}(h^5)\right)+
  217. \left(u- 2h u' + \frac{(2h)^2}{2} u'' -\frac{(2h)^3}{6}u'''+ \frac{(2h)^4}{24}u''''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^5)\right) = \\
  218. = \frac{1}{8}(h^4+\overset{}{\underset{=}{O}}(h^5)) = \overset{}{\underset{=}{O}}(h^4)
  219. \end{multline*}
  220. Нетрудно заметить, что при осуществлении аналогичной операции поиска порядка аппроксимации схемы (\ref{4}), получим, что эта схема, как и
  221. схема (\ref{3}), аппроксимирует уравнение (\ref{1}) с порядком аппроксимации линейным по $\tau$ и квадратичным по $h$.
  222.  
  223.  
  224.  
  225.  
  226. \subsection{Дифференциальное приближение.}
  227.  
  228. Выпишем дифференциальное приближение каждой из трех разностных схем (\ref{2}), (\ref{3}), (\ref{4}) с точностью до членов порядка
  229. $\overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3+h^3)$.
  230.  
  231. Пусть функция $v$ - гладкое решение уравнения (\ref{1}). Тогда в схему подставим вместо $v^{n+1}_m$ и $v^n+{m+1}$ их представления в виде
  232. рядов Тейлора в окрестности точки $(n, m)$ с точностью до членов порядка $\overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^4)$ и
  233. $\overset{}{\underset{=}{O}}(h^4)$. Далее для сокращения записи используем обозначение $v^n_m = v$.
  234.  
  235. $$ \frac{v+\tau \dot v+\frac{\tau^2}{2} \ddot v +\frac{\tau^3}{6}\dddot v + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^4) - v}{\tau} -\frac{v+ h v'
  236. + \frac{h^2}{2} v'' + \frac{h^3}{6}v'''+
  237. \overset{}{\underset{=}{O}}(h^4) - v }{2h} =0
  238. $$
  239.  
  240. После несложных преобразований, уравнение приводится к виду
  241. \begin{equation} \label{wuf}
  242. \dot v - \frac{1}{2}v' = -\frac{\tau}{2}\ddot v -\frac{\tau^2}{6}\dddot v +\frac{h}{4}v''+\frac{h^2}{12}v'''+
  243. \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3+h^3) \end{equation}
  244. В левой части равенства - иcходное волновое уравнение, а в правой погрешность аппроксимации, которая в общем случае отлична от нуля.
  245. Для более удобного анализа характера возмущений производные по времени заменим на пространственные производные с требуемой
  246. точностью.
  247. Для этого дифференцируем по времени (\ref{wuf})
  248.  
  249. \begin{equation}
  250. \ddot v - \frac{1}{2}\dot v' = -\frac{\tau}{2}\dddot v -\frac{\tau^2}{6}\ddddot v +\frac{h}{4}\dot v''+\frac{h^2}{12}\dot v'''+
  251. \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3+h^3)
  252. \end{equation}
  253.  
  254. Дифференцируем (\ref{wuf}) по пространственной переменной и разделим на 2
  255.  
  256. \begin{equation}
  257. \frac{\dot v'}{2} - \frac{1}{4} v'' = -\frac{\tau}{4}\ddot v' -\frac{\tau^2}{12}\dddot v' +\frac{h}{8} v'''+\frac{h^2}{24}v''''+
  258. \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3+h^3)
  259. \end{equation}
  260.  
  261. Сложим два полученных уравнения и выразим $\ddot v$:
  262. \begin{equation} \ddot v = \frac{1}{4}v''-\frac{\tau}{2}\dddot v +\frac{h}{4}\dot v''-\frac{\tau}{4}\ddot v'+\frac{h}{8}v'''+
  263. \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^2+h^2)
  264. \end{equation}
  265.  
  266. Аналогичными действиями получаем:
  267.  
  268. $$ \dot v''=\frac{1}{2}v'''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^2+h^2) $$
  269. $$ \ddot v' = \frac{1}{4}v'''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^2+h^2) $$
  270. $$\dddot v = \frac{1}{8}v'''+\overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^2+h^2) $$
  271.  
  272. Тогда $$\ddot v = \frac{1}{4}v''-\frac{\tau}{16}v'''+\frac{h}{8}v'''-\frac{\tau}{16}v'''+\frac{h}{8}v''' =
  273. \frac{1}{4}v''+v'''(\frac{h}{4}-\frac{\tau}{8})$$
  274.  
  275. Подставляя полученные выражения в искомое, получим: $$\dot v - \frac{1}{2}v' = \frac{v''}{8}(2h - \tau) +\frac{v'''}{24}(2h^2 - 3\tau h +
  276. \tau^2)$$
  277.  
  278. В схеме (\ref{3}) сделаем замену индекса $n \longmapsto p-1$
  279.  
  280. $$ \frac{v^{p}_m-v^{p-1}_m}{\tau} -\frac{v^{p}_{m+1}-v^{p}_{m-1}}{4h}=0$$
  281.  
  282. Аналогично, считаем $v$ гладкой функцией, представим ее значения в узлах сетки в виде ряда Тейлора с центом в точке $(p, m)$.
  283. $$\frac{v - (v-\tau \dot v+\frac{\tau^2}{2} \ddot v -\frac{\tau^3}{6}\dddot v + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^4))}{\tau}- \frac{ v+ h
  284. v' + \frac{h^2}{2} v'' +\frac{h^3}{6} v'''+
  285. \overset{}{\underset{=}{O}}(h^4)-( v- h v' + \frac{h^2}{2} v'' -\frac{h^3}{6}v'''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^4))}{4h}
  286. $$
  287.  
  288. $$\dot v -\frac{1}{2}v' =\frac{\tau}{2}\ddot v - \frac{\tau^2}{6}\dddot v + \frac{h^2}{12}v'''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3+h^3)$$
  289.  
  290. Заменим производные по времени производными по координате
  291.  
  292. $$\dot v -\frac{1}{2}v' =\frac{\tau}{8}v''+\frac{v'''}{24}(2\tau^2+h^2) + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3+h^3)$$
  293.  
  294. Рассмотрим схему (\ref{4}). Заметим, что в правой части все линейные и квадратичные члены взаимоуничтожаются (это было подробно показано в
  295. пункте \ref{app}),
  296. поэтому дифференциальное приближение схемы (\ref{4}) такое же, как и для схемы (\ref{3}).
  297.  
  298. \subsection{Устойчивость.}
  299. Применим для исследования спектральный признак устойчивости.
  300.  
  301. \begin{statement}
  302. Пусть на сетке с узлами $(n,m)$ построена некоторая аппроксимация вида $$L_{\tau,h}v|_{n,m} = 0$$
  303. Выпишем все частные решения уравнения $L_{\tau,h}v_h = 0$, имеющие вид $v^n_m = \lambda(\varphi)^n e^{i m \varphi }$
  304. Если при заданном законе стремления шагов $\tau$ и $h$ к нулю существует $C<\infty$ такое, что $$|\lambda(\varphi)|\le e^{C \tau} \qquad
  305. \forall \varphi,$$
  306. то разностная схема может быть применена для численного решения соответствующей задачи Коши. В противном случае от применения разностной
  307. схемы следует воздержаться. \end{statement}
  308.  
  309. В каждую из схем (\ref{2}), (\ref{3}), (\ref{4}) подставим вместо $v^n_m$ выражение $\lambda(\varphi)^n e^{i m \varphi }$.
  310.  
  311. Тогда первая схема перепишется в виде:
  312.  
  313. $$ \frac{\lambda(\varphi)^{n+1} e^{i m \varphi } - \lambda(\varphi)^n e^{i m \varphi }} {\tau} - \frac{\lambda(\varphi)^n e^{i (m+1)
  314. \varphi }- \lambda(\varphi)^n e^{i m \varphi }}{2h} = 0$$
  315.  
  316. Разделим уравнение на $\lambda(\varphi)^n e^{i m \varphi }$. Тогда получим:
  317. $$ \frac{\lambda(\varphi) - 1} {\tau} - \frac{ e^{i m \varphi }- 1}{2h} = 0$$
  318.  
  319. Откуда получаем, что $\lambda(\varphi) = 1+ \frac{\tau}{2h}(e^{i \varphi}- 1)$.
  320.  
  321. Это график окружности с центром в точке $(1-\frac{\tau}{2h}, 0)$ и радиусом $\frac{\tau}{2h}$. Необходимое условие устойчивости будет
  322. выполнено, если окружность лежит целиком в единичной окружности с центром в начале координат.
  323.  
  324. Итак, выбор шага сетки (\ref{2}) стоит осуществлять так, чтобы выполнялось неравенство $0<\frac{\tau}{2 h}<1$.
  325.  
  326. Вторая схема перепишется в виде:
  327. $$ \frac{\lambda(\varphi)^{n+1} e^{i m \varphi } - \lambda(\varphi)^n e^{i m \varphi }} {\tau} - \frac{\lambda(\varphi)^{n+1} e^{i (m+1)
  328. \varphi }- \lambda(\varphi)^{n+1} e^{i (m-1) \varphi }}{4h} = 0$$
  329.  
  330. Разделим на $\lambda(\varphi)^{n+1}e^{i m \varphi}$, получим:
  331. $$ \frac{1 - \frac{1}{\lambda(\varphi)}} {\tau} - \frac{e^{i
  332. \varphi }- e^{-i \varphi }}{4h} = 0$$
  333.  
  334. Откуда получаем следующее выражение: $\lambda(\varphi) = \cfrac{1}{1 - i \cfrac{\tau}{2h}\sin{\varphi}} = \cfrac{1}{1 - i a\sin{\varphi}}$
  335. На комплексной плоскости число $1 - i \cfrac{\tau}{2h}\sin{\varphi}$ при любом значении $\varphi$ лежит на вертикальной прямой, проходящей
  336. через точку $(1,0)$. Тогда модуль этого числа больше единицы при любом $a$, следовательно, при любом соотношении между $\tau$ и $h$ число
  337. $\cfrac{1}{1 - i \cfrac{\tau}{2h}\sin{\varphi}}$ лежит внутри единичного круга с центром в начале координат, таким образом, необходимое
  338. условие устойчивости выполнено при любых $\tau$ и $h$.
  339.  
  340. Теперь рассмотрим схему (\ref{4}). При подстановке $v^n_m = \lambda(\varphi)^{n}e^{i m \varphi}$ получим следующее выражение:
  341. \begin{multline*}
  342. \frac{\lambda(\varphi)^{n+1} e^{i m \varphi } - \lambda(\varphi)^n e^{i m \varphi }} {\tau} - \frac{\lambda(\varphi)^{n+1} e^{i (m+1)
  343. \varphi }- \lambda(\varphi)^{n+1} e^{i (m-1) \varphi }}{4h} =\\
  344. = \frac{1}{8}(\lambda(\varphi)^{n}e^{i (m+2) \varphi}-4\lambda(\varphi)^{n}e^{i (m+1) \varphi}+6\lambda(\varphi)^{n}e^{i m
  345. \varphi}-4\lambda(\varphi)^{n}e^{i (m-1) \varphi}+\lambda(\varphi)^{n}e^{i (m-2) \varphi})
  346. \end{multline*}
  347.  
  348. Разделим на $\lambda(\varphi)^{n}e^{i m \varphi}$
  349.  
  350.  
  351. $$ \frac{\lambda(\varphi) -1} {\tau} - \frac{\lambda(\varphi)( e^{i
  352. \varphi }- e^{-i \varphi })}{4h}
  353. = \frac{1}{8}(e^{2i \varphi}-4e^{i \varphi}+6-4e^{-i \varphi}+e^{-2i \varphi})
  354. $$
  355.  
  356. Откуда получаем $$\lambda(\varphi) = \frac{\frac{\tau}{4}(\cos{2\varphi} - 4\cos{\varphi}+3)+1} {1-\frac{\tau}{2h}i \sin{\varphi}}$$
  357.  
  358. Заметим, что при любом выборе $\tau$ и $h$ для $\varphi = \pi$ получаем, что $\lambda(\pi) = 1+2\tau >1$. Значит, необходимое условие
  359. устойчивости не выполнено и схема неустойчива.
  360.  
  361. \section{Теоретическое исследование схем. Нелинейный случай.}
  362. \subsection{Аппроксимация.}
  363.  
  364.  
  365. Установим порядок аппроксимации на гладких решениях уравнения (\ref{nel}) для схем (\ref{nel1}),(\ref{nel2}), (\ref{nel3}).
  366.  
  367. Пусть $u(t,x)$ - гладкое решение уравнения (\ref{nel}) и дважды дифференцируема по переменным $t$ и $x$. Тогда рассмотрим проекцию этой функции на ее сетку и подставим эту проекцию в каждую из схем.
  368.  
  369. Получим сеточную функцию $\phi^n_m$, имеющую вид:
  370. $$\phi^n_m = \frac{u^{n+1}_m-u^n_m}{\tau} -\frac{(u^{n}_{m+1})^2-(u^{n}_m)^2}{2h}$$
  371.  
  372. Эта функция в общем случае отлична от нуля. Найдем порядок этой функции в зависимости от шагов сетки $\tau$ и $h$.
  373.  
  374. Введем функцию $s(t,x) = u^2(t,x)$. Поскольку эта функция есть композиция двух гладких функций, дважды дифференцируемых по обоим своим переменным, то эту функцию можем разложить в ряд Тейлора в окрестности точки $(n,m)$.
  375.  
  376. Тогда, как и в линейном случае, подставим в $\phi^n_m$ представления входящих в нее значений функций в узлах в виде соответствующих рядов Тейлора с центром в точке $(n,m)$. Учитывая, что $u(t,x)$ - точное решение уравнения (\ref{nel}), получим:
  377.  
  378. \begin{multline*}\phi^n_m = \cfrac{u^{n}_m+\tau \dot n^n_m +\cfrac{\tau^2}{2}\ddot u^n_m + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^3)-u^n_m}{\tau} -\cfrac{s^n_m+h s^n_m{}' +\cfrac{h^2}{2}s^n_m{}''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^3)-u^n_m}{2h} =\\
  379. = \dot u^n_m + \frac{s^n_m{}'}{2}+ \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau+h)
  380. = \frac{\partial u(n\tau, mh)}{\partial t} +\frac{\partial u^2(n\tau, mh)}{2 \partial x}+\overset{}{\underset{=}{O}}(\tau+h) = \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau+h)
  381. \end{multline*}
  382.  
  383. Таким образом, схема (\ref{nel1}) имеет линейный порядок аппроксимации.
  384.  
  385. Со схемами (\ref{nel2}) и (\ref{nel3}) проделываем аналогичную операцию.
  386. В случае схемы (\ref{nel2}) заменим индекс $n \longmapsto p-1$, тогда схема перепишется в виде:
  387.  
  388. $$\frac{u^p_m-u^{p-1}_m}{\tau} -\frac{s^{p}_{m+1}-s^{p}_{m-1}}{4h}=0$$
  389.  
  390. После подстановки вместо значений функций в узлах сетки соответствующих рядов Тейлора, имеем:
  391.  
  392. \begin{multline*}
  393. \phi^n_m = \cfrac{u^p_m - (u^p_m-\tau \dot u^p_m+\cfrac{\tau^2}{2} \ddot u^p_m -\cfrac{\tau^3}{6}\dddot u^p_m + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^4))}{\tau}- \\
  394. - \cfrac{ s^p_m+ h s^p_m{}' + \cfrac{h^2}{2} s^p_m{}'' +\cfrac{h^3}{6} s^p_m{}'''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^4)-( s^p_m- h s^p_m{}' + \cfrac{h^2}{2} s^p_m{}''
  395. -\cfrac{h^3}{6}s^p_m{}'''+ \overset{}{\underset{=}{O}}(h^4))}{4h} = \\
  396. = \dot u^p_m - \frac{1}{2}s^p_m{}' -\frac{\tau}{2}\ddot u^p_m -\frac{h^2}{12}s^p_m{}''' + \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau^2+h^4)
  397. =\\
  398. = \frac{\partial u(n\tau,mh)}{\partial t} - \frac{\partial u(n\tau,mh)^2}{2\partial x}+
  399. \overset{}{\underset{=}{O}}(\tau+h^2)
  400. \end{multline*}
  401.  
  402. С учетом того, что $u(t,x)$ - точное решение уравнения (\ref{nel}), получим, что схема (\ref{nel2}) имеет порядок аппроксимации линейный по $\tau$ и квадратичный по $h$.
  403.  
  404. Рассмотрим схему (\ref{nel3}). Нетрудно заметить, что левая ее часть имеет такой же порядок аппроксимации, как и схема (\ref{nel2}). Тогда подсчет порядка аппроксимации правой части этой схемы в точности повторяет подсчет порядка аппроксимации правой части схемы (\ref{4}), подробно изложенный в пункте \ref{app}. Как и в том случае, получим, что правая часть имеет порядок аппроксимации $\overset{}{\underset{=}{O}}(h^4)$, поэтому вся схема (\ref{nel3}) имеет порядок аппроксимации такой же, как и схема (\ref{nel2}): линейный по $\tau$ и квадратичный по $h$.
  405.  
  406.  
  407.  
  408. \section{Расчеты с использованием разностных схем.}
  409. \subsection{Численное решение. Линейный случай.}
  410.  
  411. Решаем уравнение
  412. $\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x }=0$ в области $Q_T = \{(t,x) | 0 \le t \le
  413. 1; -1\le x \le 1\}$
  414. при помощи явной схемы
  415.  
  416. $$\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau} -\frac{v^{n}_{m+1}-v^{n}_m}{2h}=0$$
  417. и двух неявных схем
  418.  
  419. $$\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau}
  420. -\frac{v^{n+1}_{m+1}-v^{n+1}_{m-1}}{4h}=\frac{\omega}{8}(v^{n}_{m+2}-4v^{n}_{m+1}+6v^{n}_{m}-4v^{n}_{m-1}+v^{n}_{m-2}), \qquad \omega = 0, 1$$.
  421.  
  422.  
  423.  
  424.  
  425. Начальные и граничные условия: $$u(0,x) = u_0 \qquad u(t, -1) = 0 \qquad u(t, 1) = 1$$
  426.  
  427. \begin{equation*} u_0(x) = \left\{
  428. \begin{aligned}
  429. & 1 , \qquad x\le0\\
  430. &0, \qquad x>0\\
  431. \end{aligned}\right. \end{equation*}
  432.  
  433. Расчет по неявным схемам реализуется следующим образом. Точки на $n+1$ слое образуют вектор $\hat v = (v^{n+1}_1, v^{n+1}_2, \dots ,v^{n+1}_m)^T$, и он находится как решение следующей системы.
  434.  
  435.  
  436. \begin{equation*}\label{lag}\left\{
  437. \begin{aligned}
  438. &v^{n+1}_2-v^n_2-\frac{\tau}{4h}(v^{n+1}_{3}-v^{n+1}_{1}) = 0\\
  439. &v^{n+1}_3-v^n_3-\frac{\tau}{4h}(v^{n+1}_{4}-v^{n+1}_{2}) = 0\\
  440. &\vdots\\
  441. &v^{n+1}_{m-1}-v^n_{m-1}-\frac{\tau}{4h}(v^{n+1}_{m}-v^{n+1}_{m-2}) = 0\\
  442. \end{aligned}\right. \end{equation*}
  443.  
  444. Или, учитывая граничные условия $v^n_1 = 1$ и $v^n_m = 0$ $\forall n$,
  445.  
  446. \begin{equation*}\begin{pmatrix}
  447. 1 &-\frac{\tau}{4h}& 0 &0 &\ldots & 0\\
  448. \frac{\tau}{4h}& 1 &-\frac{\tau}{4h}&0 &\ldots & 0\\
  449. \vdots & \vdots &\ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\
  450. 0 & \ldots &0 &\frac{\tau}{4h} &1 &-\frac{\tau}{4h}\\
  451. 0 & \ldots &0 &0 &\frac{\tau}{4h} &1
  452. \end{pmatrix}
  453. \begin{pmatrix}
  454. v^{n+1}_2\\
  455. v^{n+1}_3\\
  456. \vdots\\
  457. v^{n+1}_{m-2}\\
  458. v^{n+1}_{m-1}
  459. \end{pmatrix}
  460. =
  461. \begin{pmatrix}
  462. v^n_2 - \frac{\tau}{4h}\\
  463. v^n_3\\
  464. \vdots\\
  465. v^n_{m-2}\\
  466. v^n_{m-1}
  467. \end{pmatrix}
  468. \end{equation*}
  469.  
  470. ~\
  471. Аналогично, выпишем систему для неявной схемы при значении параметра $\omega = 1$.
  472.  
  473. \begin{equation*}\begin{pmatrix}
  474. 1 &-\cfrac{\tau}{4h}& 0 &0 &\ldots & 0\\
  475. \cfrac{\tau}{4h}& 1 &-\cfrac{\tau}{4h}&0 &\ldots & 0\\
  476. 0& \cfrac{\tau}{4h}& 1 &-\cfrac{\tau}{4h}& \ldots & 0\\
  477. \vdots & \vdots &\ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\
  478. 0 & \ldots &0 &\cfrac{\tau}{4h} &1 &-\cfrac{\tau}{4h}\\
  479. 0 & \ldots &0 &0 &\cfrac{\tau}{4h} &1
  480. \end{pmatrix}
  481. \begin{pmatrix}
  482. v^{n+1}_2\\
  483. ~\ \\
  484. v^{n+1}_3\\
  485. \\
  486. v^{n+1}_4\\
  487. \cfrac{\vdots}{}\\
  488.  
  489.  
  490. v^{n+1}_{m-2}\\
  491. \\
  492. v^{n+1}_{m-1}
  493. \end{pmatrix}
  494. =
  495. \begin{pmatrix}
  496. v^n_2 - \cfrac{\tau}{4h} + \cfrac{\tau}{8}(v^{n}_{3}-4v^{n}_{2}+6v^{n}_{1}-3)\\
  497. v^n_3+ \cfrac{\tau}{8}(v^{n}_{4}-4v^{n}_{3}+6v^{n}_{2}-4v^{n}_{1}+1)\\
  498. v^n_4+\cfrac{\tau}{8}(v^{n}_{6}-4v^{n}_{5}+6v^{n}_{4}-4v^{n}_{3}+v^{n}_{2})\\
  499. \vdots\\
  500. v^n_{m-2}+\cfrac{\tau}{8}(-4v^{n}_{m-1}+6v^{n}_{m-2}-4v^{n}_{m-3}+v^{n}_{m-4})\\
  501. v^n_{m-1}+\cfrac{\tau}{8}(6v^{n}_{m-1}-4v^{n}_{m-2}+v^{n}_{m-3})
  502. \end{pmatrix}
  503. \end{equation*}
  504.  
  505.  
  506. Далее используем обозначения $||v||_{C_h} = \max\limits_{x_i\in\omega_h} {|v_i|}$, $||v||_{L_{1,h}} = h \sum\limits_{x_i \in\omega_h} |v_i|$ \qquad (здесь $\omega_h$ - сетка),
  507.  
  508. $\Delta (v)_\alpha = ||v - u||_\alpha$, $\delta (v)_\alpha = \cfrac{||v-u||_\alpha}{||v||_\alpha}$ (здесь $u$ - точное решение)
  509.  
  510.  
  511. \newpage
  512. \begin{center}
  513. \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|}
  514. \hline
  515. $\tau$ &$h$ & $\Delta (v)_{C_h}$ & $\Delta (v)_{L_{1,h}}$& $\delta (v)_{C_h}$ & $\delta (v)_{L_{1,h}}$ \\
  516. \hline
  517. 0.1 & 0.1 & 2.375000e-001 & 4.730469e-001 & 2.375000e-001 & 4.320063e-002\\
  518. \hline
  519. 0.01 & 0.1 & 3.068273e-001 & 6.972739e+000 & 3.068273e-001 & 6.502012e-002 \\
  520. \hline
  521. 0.001 & 0.1 & 3.121874e-001 & 7.151915e+001 & 3.121874e-001 & 6.683354e-002\\
  522. \hline
  523. 0.1 & 0.01 & 9.312502e+006 & 7.845286e+005 & 9.999999e-001 & 9.999895e-001\\
  524. \hline
  525. 0.01 & 0.01 & 7.958923e-002 & 4.996756e-001 & 7.958923e-002 & 4.451453e-003\\
  526. \hline
  527. 0.001 & 0.01 & 1.097955e-001 & 9.369601e+000 & 1.097955e-001 & 8.363848e-003\\
  528. \hline
  529. 0.1 & 0.001 & 2.471298e+016 & 1.827221e+014 & 1.000000e+000 & 1.000000e+000\\
  530. \hline
  531. 0.01 & 0.001 & 2.142381e+091 & 5.976315e+089 & 1.000000e+000 & 1.000000e+000\\
  532. \hline
  533. 0.001 & 0.001 & 2.522502e-002 & 5.000000e-001 & 2.522502e-002 & 4.445432e-004\\
  534. \hline
  535. \end{tabular}%\end{center}
  536. {\center Нормы погрешности расчетов: явная схема}
  537. %\end{table}
  538.  
  539. ~\
  540.  
  541. %\begin{table}[h!]\begin{center}
  542. \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|}
  543. \hline
  544. $\tau$ &$h$ & $\Delta (v)_{C_h}$ & $\Delta (v)_{L_{1,h}}$& $\delta (v)_{C_h}$ & $\delta (v)_{L_{1,h}}$ \\
  545. \hline
  546. 0.1 & 0.1 & 4.394995e-001 & 2.014531e-001 & 4.213793e-001 & 1.724507e-001\\
  547. \hline
  548. 0.01 & 0.1 & 4.996988e-001 & 1.838241e-001 & 4.352544e-001 & 1.513776e-001 \\
  549. \hline
  550. 0.001 & 0.1 & 5.102556e-001 & 1.876195e-001 & 4.359180e-001 & 1.539161e-001\\
  551. \hline
  552. 0.1 & 0.01 & 2.669414e-001 & 1.277566e-001 & 2.669190e-001 & 9.753321e-002\\
  553. \hline
  554. 0.01 & 0.01 & 1.029742e-001 & 2.142223e-002 & 1.028922e-001 & 1.580977e-002\\
  555. \hline
  556. 0.001 & 0.01 & 6.186953e-002 & 1.436181e-002 & 6.065315e-002 & 1.056404e-002\\
  557. \hline
  558. 0.1 & 0.001 & 2.479751e-001 & 1.258892e-001 & 2.479748e-001 & 9.512731e-002\\
  559. \hline
  560. 0.01 & 0.001 & 8.178958e-002 & 1.524753e-002 & 8.178893e-002 & 1.114178e-002\\
  561. \hline
  562. 0.001 & 0.001 & 2.733776e-002 & 2.311549e-003 & 2.733707e-002 & 1.683575e-003\\
  563. \hline
  564. \end{tabular}
  565. {\center Нормы погрешности расчетов: неявная схема, параметр $\omega = 0$}%\end{center}
  566. %\end{table}
  567.  
  568. ~\
  569.  
  570. %\begin{table}[h!]\begin{center}
  571. \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|}
  572. \hline
  573. $\tau$ &$h$ & $\Delta (v)_{C_h}$ & $\Delta (v)_{L_{1,h}}$& $\delta (v)_{C_h}$ & $\delta (v)_{L_{1,h}}$ \\
  574. \hline
  575. 0.1 & 0.1 & 5.971631e-001 & 3.870527e-001 & 4.286385e-001 & 3.284659e-001\\
  576. \hline
  577. 0.01 & 0.1 & 8.353191e-001 & 5.177420e-001 & 4.551356e-001 & 4.186652e-001\\
  578. \hline
  579. 0.001 & 0.1 & 8.990383e-001 & 5.451273e-001 & 4.734177e-001 & 4.386622e-001\\
  580. \hline
  581. 0.1 & 0.01 & 2.674390e-001 & 1.286974e-001 & 2.669338e-001 & 9.834490e-002\\
  582. \hline
  583. 0.01 & 0.01 & 1.102242e-001 & 2.667720e-002 & 1.069560e-001 & 1.969491e-002\\
  584. \hline
  585. 0.001 & 0.01 & 1.390244e-001 & 3.100314e-002 & 1.228700e-001 & 2.281165e-002\\
  586. \hline
  587. 0.1 & 0.001 & 2.479783e-001 & 1.259626e-001 & 2.479781e-001 & 9.518849e-002\\
  588. \hline
  589. 0.01 & 0.001 & 8.178958e-002 & 1.525727e-002 & 8.178484e-002 & 1.114899e-002\\
  590. \hline
  591. 0.001 & 0.001 & 2.733772e-002 & 2.316349e-003 & 2.733265e-002 & 1.687077e-003\\
  592. \hline
  593. \end{tabular}
  594. {\center Нормы погрешности расчетов: неявная схема, параметр $\omega = 1$}%\end{center}
  595. %\end{table}
  596.  
  597. \end{center}
  598.  
  599. \subsection{Измельчение сетки, линейный случай.}
  600.  
  601. Пусть $\tau_k = \frac{\tau}{2^k}$, $h_k = \frac{h}{2^k}$, где $ k = 1, 2, 3, 4$. Нормы погрешности становятся меньше при измельчении сетки, что согласуется с теорией.
  602. \begin{center}
  603. \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|}
  604. \hline
  605. $\tau_k$ &$h_k$ & $\Delta (v)_{C_h}$ & $\Delta (v)_{L_{1,h}}$& $\delta (v)_{C_h}$ & $\delta (v)_{L_{1,h}}$ \\
  606. \hline
  607. 0.05 & 0.05 & 1.747131e-001 & 4.507751e-002 & 1.747131e-001 & 3.339075e-002\\
  608. \hline
  609. 0.025 & 0.025 & 1.253250e-001 & 2.411326e-002 & 1.253250e-001 & 1.769780e-002 \\
  610. \hline
  611. 0.0125 & 0.0125 & 8.892778e-002 & 1.243342e-002 & 8.892778e-002 & 9.083777e-003\\
  612. \hline
  613. 0.00625 & 0.00625 & 6.297983e-002 & 6.248743e-003 & 6.297983e-002 & 4.554892e-003\\
  614. \hline
  615. \end{tabular}%\явный случай
  616. {\center Нормы погрешности при измельчении сетки $\tau = 0.1, h = 0.1$. Явная схема.}
  617.  
  618. ~\
  619.  
  620. \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|}
  621. \hline
  622. $\tau_k$ &$h_k$ & $\Delta (v)_{C_h}$ & $\Delta (v)_{L_{1,h}}$& $\delta (v)_{C_h}$ & $\delta (v)_{L_{1,h}}$ \\
  623. \hline
  624. 0.05 & 0.05 & 3.232995e-001 & 1.034413e-001 & 3.178564e-001 & 8.114104e-002\\
  625. \hline
  626. 0.025 & 0.025 & 1.869422e-001 & 5.235464e-002 & 1.856677e-001 & 3.951274e-002\\
  627. \hline
  628. 0.0125 & 0.0125 & 1.185948e-001 & 2.661411e-002 & 1.184491e-001 & 1.971416e-002\\
  629. \hline
  630. 0.00625 & 0.00625 & 7.718552e-002 & 1.359971e-002 & 7.715506e-002 & 9.981435e-003\\
  631. \hline
  632. \end{tabular}%\неявный случай, омега 0
  633. {\center Нормы погрешности при измельчении сетки $\tau = 0.1, h = 0.1$. Неявная схема, параметр $\omega = 0$.}
  634.  
  635. ~\
  636.  
  637. \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|}
  638. \hline
  639. $\tau_k$ &$h_k$ & $\Delta (v)_{C_h}$ & $\Delta (v)_{L_{1,h}}$& $\delta (v)_{C_h}$ & $\delta (v)_{L_{1,h}}$ \\
  640. \hline
  641. 0.05 & 0.05 & 6.953890e-001 & 3.088180e-001 & 4.521346e-001 & 2.451652e-001\\
  642. \hline
  643. 0.025 & 0.025 & 3.134525e-001 & 9.455170e-002 & 2.640357e-001 & 7.151918e-002\\
  644. \hline
  645. 0.0125 & 0.0125 & 1.410937e-001 & 3.576457e-002 & 1.341519e-001 & 2.650691e-002\\
  646. \hline
  647. 0.00625 & 0.00625 & 7.718227e-002 & 1.459929e-002 & 7.667829e-002 & 1.071654e-002\\
  648. \hline
  649. \end{tabular}
  650. {\center Нормы погрешности при измельчении сетки $\tau = 0.1, h = 0.1$. Неявная схема, параметр $\omega = 1$.}%\неявный случай, омега 1
  651. \end{center}
  652. \subsection{Графики, линейный случай.}
  653.  
  654. \begin{figure}[h!]
  655. \center{\includegraphics[height=60mm]{yav.png} \\График численного решения для $\tau = h = 0.001$. Явная схема.}
  656. \end{figure}
  657.  
  658. \begin{figure}[h!]
  659. \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}\center{\includegraphics[height=55mm]{del_yav_0.png} \\График модуля разности точного и численного решений для $\tau = h = 0.001$. Явная схема.}
  660. \end{minipage}
  661. \hfill
  662. \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}\center{\includegraphics[height=55mm]{del_yav_1.png} \\Деталь графика модуля разности точного и численного решений для $\tau = h = 0.001$. Явная схема.}
  663. \end{minipage}
  664. \end{figure}
  665. \newpage
  666. \begin{figure}[h!]
  667. \center{\includegraphics[height=60mm]{w0.png} \\График численного решения для $\tau = h = 0.001$. Неявная схема, параметр $\omega = 0$.}
  668. %\end{figure}
  669.  
  670. %\begin{figure}[h!]
  671. \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}\center{\includegraphics[height=55mm]{delw0_0.png} \\График модуля разности точного и численного решений для $\tau = h = 0.001$. Неявная схема, параметр $\omega = 0$.}
  672. \end{minipage}
  673. \hfill
  674. \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}\center{\includegraphics[height=55mm]{delw0_1.png} \\Деталь графика модуля разности точного и численного решений для $\tau = h = 0.001$. Неявная схема, параметр $\omega = 0$.}
  675. \end{minipage}
  676. \end{figure}
  677.  
  678. \newpage
  679.  
  680. \begin{figure}[h!]
  681. \center{\includegraphics[height=60mm]{w1.png} \\График численного решения для $\tau = h = 0.001$. Неявная схема, параметр $\omega = 1$.}
  682. %\end{figure}
  683. %\begin{figure}[h!]
  684. \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}\center{\includegraphics[height=55mm]{delw1_0.png} \\График модуля разности точного и численного решений для $\tau = h = 0.001$. Неявная схема, параметр $\omega = 1$.}
  685. \end{minipage}
  686. \hfill
  687. \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}\center{\includegraphics[height=55mm]{delw1_1.png} \\Деталь графика модуля разности точного и численного решений для $\tau = h = 0.001$. Неявная схема, параметр $\omega = 1$.}
  688. \end{minipage}
  689. \end{figure}
  690.  
  691. \newpage
  692.  
  693. \subsection{Нелинейный случай: численное решение.}
  694. %\begin{table}
  695. Решаем уравнение
  696. $\frac{\partial u}{\partial t}-u\frac{\partial u}{\partial x }=0$ в области $Q_T = \{(t,x) | 0 \le t \le
  697. 1; -1\le x \le 1\}$
  698. при помощи явной схемы
  699.  
  700. $$\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau} -\frac{(v^{n}_{m+1})^2-(v^{n}_m)^2}{2h}=0$$
  701. и двух неявных схем
  702.  
  703. $$\frac{v^{n+1}_m-v^n_m}{\tau}
  704. -\frac{(v^{n+1}_{m+1})^2-(v^{n+1}_{m-1})^2}{4h}=\frac{\omega}{8}(v^{n}_{m+2}-4v^{n}_{m+1}+6v^{n}_{m}-4v^{n}_{m-1}+v^{n}_{m-2}), \qquad \omega = 0, 1$$.
  705.  
  706.  
  707.  
  708.  
  709. Начальные и граничные условия: $$u(0,x) = u_0 \qquad u(t, -1) = 0 \qquad u(t, 1) = 1$$
  710.  
  711. \begin{equation*} u_0(x) = \left\{
  712. \begin{aligned}
  713. & 1 , \qquad x\le0\\
  714. &0, \qquad x>0\\
  715. \end{aligned}\right. \end{equation*}
  716.  
  717. Расчет по явным схемам реализуется аналогично линейному случаю, а именно: каждая точка на следующем слое явно выражается через некоторую комбинацию точек на предыдущем слое.
  718.  
  719. Расчет по неявным схемам реализуется следующим образом. Точки на $n+1$ слое образуют вектор $\hat v = (v^{n+1}_0, v{n+1}_2, \dots , v{n+1}_m)^T$, и он находится как решение следующей системы.
  720.  
  721. \begin{equation*} \left\{
  722. \begin{aligned}
  723. &G_1(\hat v) = \hat v_1 - v_1 - a((\hat v_2)^2 - (\hat v_0)^2) = 0,\\
  724. &G_2(\hat v) = \hat v_2 - v_2 - a((\hat v_3)^2 - (\hat v_2)^2) = 0,\\
  725. &\vdots\\
  726. &G_{m-1}(\hat v) = \hat v_{m-1} - v_{m-1} - a((\hat v_{m})^2 - (\hat v_{m-2})^2) = 0,\\ \end{aligned}\right.
  727. \end{equation*}
  728. Здесь $v_i$ - точки на предыдущем слое, $a = \frac{\tau}{2h}$.
  729.  
  730. Используем метод Ньютона для решения этой системы.
  731. Обозначим как $J(\hat v)$ матрицу Якоби оператора $G$.
  732. Из разложения в ряд Тейлора находим $G(\hat v^k) + J(\hat v) (\hat v^{k+1} - \hat v_{k}) = 0$, за начальное приближение $\hat v^0$ берем $v$.
  733.  
  734.  
  735. \begin{multline*}\begin{pmatrix}
  736. \hat v_1 - v_1 - a((\hat v_2)^2 - (\hat v_0)^2)\\
  737. \hat v_2 - v_2 - a((\hat v_3)^2 - (\hat v_2)^2) = 0\\
  738. \vdots\\
  739. \hat v_{m-2} - v_{m-2} - a((\hat v_{m-1})^2 - (\hat v_{m-3})^2)\\
  740. \hat v_{m-1} - v_{m-1} - a((\hat v_{m})^2 - (\hat v_{m-2})^2)
  741. \end{pmatrix}+\\
  742. +\begin{pmatrix}
  743. 1 &-2 a \hat v^k_2& 0 &0 &\ldots & 0\\
  744. 2 a \hat v^k_1& 1 &-2 a \hat v^k_3&0 &\ldots & 0\\
  745. \vdots & \vdots &\ddots &\ddots&\ddots &\vdots\\
  746. 0 & \ldots &0 &2 a \hat v^k_{m-3} &1 &-2 a \hat v^k_{m-1}\\
  747. 0 & \ldots &0 &0 &2 a \hat v^k_{m-2} &1
  748. \end{pmatrix}
  749. \begin{pmatrix}
  750. \hat v^{k+1}_1 - \hat v^k_1\\
  751. \hat v^{k+1}_2 - \hat v^k_2\\
  752. \vdots\\
  753. \hat v^{k+1}_{m-2} - \hat v^k_{m-2}\\
  754. \hat v^{k+1}_{m-1} - \hat v^k_{m-1}
  755. \end{pmatrix}
  756. = 0
  757. \end{multline*}
  758.  
  759.  
  760. При расчетах учитываем граничные условия $v_0 = 1$ и $v_m = 0$.
  761.  
  762. ~\
  763. Аналогично, выпишем систему для неявной схемы при значении параметра $\omega = 1$.
  764.  
  765. \begin{equation*} \left\{
  766. \begin{aligned}
  767. &G_1(\hat v) = \hat v_1 - v_1 - a((\hat v_2)^2 - (\hat v_0)^2) - v_1 + \cfrac{\tau}{8}(v_{3}-4v_{2}+6v_{1}-4v_{0}+1) = 0,\\
  768. &G_2(\hat v) = \hat v_2 - v_2 - a((\hat v_3)^2 - (\hat v_2)^2) - v_2 + \cfrac{\tau}{8}(v_{4}-4v_{3}+6v_{2}-4v_{1}+v_0)= 0,\\
  769. &\vdots\\
  770. &G_{m-2}(\hat v) = \hat v_{m-2} - v_{m-2} - a((\hat v_{m-1})^2 - (\hat v_{m-3})^2) - v_{m-2} + \cfrac{\tau}{8}(v_{m}-4v_{m-1}+6v_{m-2}-4v_{m-3}+v_{m-4})= 0,\\
  771. &G_{m-1}(\hat v) = \hat v_{m-1} - v_{m-1} - a((\hat v_{m})^2 - (\hat v_{m-2})^2) - v_{m-1} + \cfrac{\tau}{8}(-4v_{m}+6v_{m-1}-4v_{m-2}+v_{m-3})= 0.\\ \end{aligned}\right.
  772. \end{equation*}
  773.  
  774. И решаем ее методом Ньютона.
  775.  
  776. Далее используем обозначения $||v||_{C_h} = \max\limits_{x_i\in\omega_h} {|v_i|}$, $||v||_{L_{1,h}} = h \sum\limits_{x_i \in\omega_h} |v_i|$ \qquad (здесь $\omega_h$ - сетка),
  777.  
  778. $\Delta (v)_\alpha = ||v - u||_\alpha$, $\delta (v)_\alpha = \cfrac{||v-u||_\alpha}{||v||_\alpha}$ (здесь $u$ - точное решение)
  779.  
  780. \begin{center}
  781. \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|}
  782. \hline
  783. $\tau$ &$h$ & $\Delta (v)_{C_h}$ & $\Delta (v)_{L_{1,h}}$& $\delta (v)_{C_h}$ & $\delta (v)_{L_{1,h}}$ \\
  784. \hline
  785. 0.1 & 0.1 & 5.000000e-001 & 5.585476e-001 & 5.000000e-001 & 7.704105e-002\\
  786. \hline
  787. 0.01 & 0.1 & 3.427265e-001 & 5.951159e+000 & 3.427265e-001 & 7.864800e-002\\
  788. \hline
  789. 0.001 & 0.1 & 3.342380e-001 & 5.999320e+001 & 3.342380e-001 & 7.893810e-002\\
  790. \hline
  791. 0.0001 & 0.1 & 3.334235e-001 & 6.004013e+002 & 3.334235e-001 & 7.896525e-002\\
  792. \hline
  793. 0.01 & 0.01 & 5.000000e-001 & 9.028638e-001 & 5.000000e-001 & 1.207845e-002\\
  794. \hline
  795. 0.001 & 0.01 & 3.427265e-001 & 1.559717e+001 & 3.427265e-001 & 2.079356e-002\\
  796. \hline
  797. 0.0001 & 0.01 & 3.342380e-001 & 1.629826e+002 & 3.342380e-001 & 2.172037e-002\\
  798. \hline
  799. 0.001 & 0.001 & 5.000000e-001 & 1.409895e+000 & 5.000000e-001 & 1.880487e-003\\
  800. \hline
  801. 0.0001 & 0.001 & 3.427265e-001 & 2.897675e+001 & 3.427265e-001 & 3.863633e-003\\
  802. \hline
  803. \end{tabular}
  804. {\center Нормы погрешности расчетов: явная схема.}
  805.  
  806. ~\
  807.  
  808. \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|}
  809. \hline
  810. $\tau$ &$h$ & $\Delta (v)_{C_h}$ & $\Delta (v)_{L_{1,h}}$& $\delta (v)_{C_h}$ & $\delta (v)_{L_{1,h}}$ \\
  811. \hline
  812. 0.1 & 0.1 & 1.170820e+000 & 2.747209e+000 & 1.170834e+000 & 4.002677e-001\\
  813. \hline
  814. 0.01 & 0.1 & 1.408035e+000 & 3.244944e+001 & 1.408035e+000 & 4.171762e-001\\
  815. \hline
  816. 0.001 & 0.1 & 1.434434e+000 & 3.320048e+002 & 1.425572e+000 & 4.200893e-001\\
  817. \hline
  818. 0.1 & 0.01 & 5.092824e-001 & 9.990538e-001 & 5.092824e-001 & 1.391219e-001\\
  819. \hline
  820. 0.01 & 0.01 & 1.170820e+000 & 4.532761e+000 & 1.170820e+000 & 6.085286e-002\\
  821. \hline
  822. 0.001 & 0.01 & 1.332313e+000 & 6.443278e+001 & 1.332313e+000 & 8.249002e-002\\
  823. \hline
  824. 0.1 & 0.001 & 6.209493e-001 & 8.908931e-001 & 6.209493e-001 & 1.229899e-001\\
  825. \hline
  826. 0.01 & 0.001 & 5.092783e-001 & 2.824843e+000 & 5.092783e-001 & 3.781270e-002\\
  827. \hline
  828. 0.001 & 0.001 & 1.170820e+000 & 1.006486e+001 & 1.170820e+000 & 1.343125e-002\\
  829. \hline
  830. \end{tabular}
  831. {\center Нормы погрешности расчетов: неявная схема, параметр $\omega = 0$}
  832. \end{center}
  833. %\end{table}
  834.  
  835. \end{document}
Advertisement
Add Comment
Please, Sign In to add comment
Advertisement
Public Pastes
Advertisement
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy.  OK, I Understand
Not a member of Pastebin yet?
Sign Up, it unlocks many cool features!