alati5_text1

\documentclass{beamer} %article}
\usetheme{Berkeley}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
%%%%
%%%%
%\numberwithin{equation}{section}
\title {Matematički alati - Vježbe 5}
\author {Matej Veselovac}
\date {9.11.2018.}

\institute {Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku}
\AtBeginSection[]
{
\begin{frame}
\frametitle {Sadržaj}
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}
}
%%%%
%%%%
\begin{document}
%%
%%
\begin{frame}
\titlepage %\maketitle
\end{frame}
%%
%%
\section {Što se može dogoditi u stacionarnoj točki?}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {Uobičajene pretpostavke}
Možete pomisliti da ako $f'(0)=0$ (i $f$ nije konstantna funkcija) tada u $x=0, f$ ima
\pause
\begin{itemize}
\item lokalni minimum ili \pause
\item lokalni maksimum ili \pause
\item točku infleksije \pause
\end{itemize}
Ako to mislite, onda $\dots$ \pause ste u krivu.
\end{frame}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {Kontraprimjer}
Promotrimo funkciju
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2\sin(1/x), & \text{ako je } x\ne0 \\
0,            & \text{ako je } x=0
\end{cases}
\]
i odredimo $f'(0)$.
\end{frame}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {Određivanje $f'(0)$}
Po definiciji derivacije,
%\begin{equation*}
%\begin{split}
%%\begin{align*}
\begin{eqnarray*}
f'(0) &=& \pause \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} \pause \\
      &=& \lim_{h\to0}\frac{h^2\sin(1/h)-0}{h} \pause \\
      &=& \lim_{h\to0}h\sin(1/h)
\end{eqnarray*}
%%\end{align*}
%\end{split}
%\end{equation*}
Kako je $-h\le h\sin(1/h)\le h$ \pause i $ \displaystyle \lim_{h\to0}(-h)= \lim_{h\to0}(h)=0,$ \pause teorem o sendviču daje \pause $f'(0)=0.$
\end{frame}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {Što se zaista događa u $x=0$?}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
$f(x)$ oscilira kako $x\to0$, pa iako je $f'(0)=0$, $f$ nema niti minimum, niti maksimum niti točku infleksije u $x=0$.
\end{column}
\pause
\begin{column}{0.5\textwidth}
%\begin{figure}
\includegraphics[width=\textwidth]{graph1.png}
%\caption{\color{orange}{$y=f(x)$}, \color{red}{$y=x^2$}, \color{green}{$y=-x^2$}}
%\end{figure}
\\
\begin{center}
{\color{orange}{$y=f(x)$}, \color{red}{$y=x^2$}, \color{green}{$y=-x^2$}}
\end{center}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
%%
%%
\section {Što znači $g'(c)>0$?}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {Kako definirati "rastuća u točki"?}
Prirodno je misliti da ako je $g'(x)>0$ tada je $g$ rastuća funkcija u točki $x=c$. \pause \\
Ali što "rastuća u točki $x=c$" zaista znači? \pause
\begin{definition}
Funkcija $g$ je \textit{rastuća u točki } $x=c$ ako postoji otvoreni
interval $I=(c-\delta, c+\delta)$ takav da \pause ako $x_1, x_2 \in I$, \pause tada
$x_1<x_2\implies$\pause$g(x_1)<g(x_2)$.
\end{definition}
\end{frame}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {Mala modifikacija naše funkcije}
Modificirajmo našu funkciju
\begin{equation} \label{eq1}
g(x)=
\begin{cases}
0.5x+x\textstyle2\sin(1/x), & \text{ako je } x\ne0 \\
0,                          & \text{ako je } x=0
\end{cases}
\end{equation}
Koristeći definiciju derivacije, iz \eqref{eq1} dobivamo da je $g'(0)=0.5$.
\end{frame}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {Što se zaista događa u $x=0?$}
$g(x)$ i dalje oscilira dovoljno za $x\to0$ da nema otvorenog intervala koji sadrži $x = 0$ koji zadovoljava našu definiciju da $g$ raste u $x = 0$ iako je $g'(0)>0$.
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{graph2.png}
\\ \color{orange}{$y=g(x)$}, \color{red}{$y=x^2+0.5x$}, \color{green}{$y=x^2-0.5x$}
\end{center}
\end{frame}
%%
%%
\section {Budući rad}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {}
Funkcija $f(x)$ uvedena ranije ima zanimljiva svojstva, od kojih
je jedno činjenica da iako $f'(0)$ postoji, $f'(x)$ ima prekid u
$x = 0.$ \\[0.5cm]

Prepuštamo slušateljima da sami prouče dublje ovu zanimljivu
funkciju. \pause \\[1cm]

\begin{center}
\textbf{Hvala na pažnji!}
\end{center}
\end{frame}
%%
%%
\begin{frame}
\frametitle {}
\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{ref1} D.Jukić, R. Scitovski, Matekatika I, Osijek, 1998.
\bibitem{ref2} Š.Ungar, Ne baš tako kratak uvod u \LaTeX, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek, 2002.
\end{thebibliography}
\end{frame}
\end{document}