\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{ucs}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[OT1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{physics}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{gensymb}

\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm,includefoot,footskip=1.5cm]{geometry}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}

\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage{indentfirst}
%% Sets page size and margins
\usepackage[dvips]{graphicx}
\graphicspath{{noiseimages/}}
\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
\usepackage[colorlinks=true, allcolors=blue]{hyperref}

\rhead{\small Д.\,Павлов, МФТИ}
\lhead{Вопрос по выбору, зимняя сессия, 2019}

\author{Дмитрий Павлов, 790}
\title {\textbf{Трехфазный ток.}}

\begin{document}
\maketitle
\newpage
\tableofcontents

\newpage

\section{Трехфазный ток.}
    \subsection{Генератор трехфазного тока.}
        Практически все генераторы, которые установлены на электростанциях – это генераторы трехфазного тока. В конструкции соединены в одном агрегате три генератора переменного тока. Электродвижущие силы, индуцированные в них, как сказано ранее, сдвинуты на одну треть периода относительно друг друга. Рассмотрим один генератор переменного тока.
        \begin{wrapfigure}{l}{0.4\linewidth}
            \includegraphics[width=\linewidth]{img1.png}
            \hspace{44pt}{Рис 1. В прямоугольном контуре вращается постоянный магнит.}
        \end{wrapfigure}
        Принцип действия генератора основан на законе электромагнитной индукции — появлении электродвижущей силы (ЭДС) в прямоугольном контуре, находящемся в однородном вращающемся магнитном поле. Допустим, что однородное магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом, вращается вокруг своей оси в проводящем контуре (проволочной рамке) с равномерной угловой скоростью $\omega$. В каждой из боковых сторон контура индуктируется ЭДС, величина которой определяется по формуле:
        \[
        e_1 = Bl\sin{\omega t}, e_2 = Bl\sin{\omega t + \pi} = -Blv\sin{\omega t},
        \]
        где $e1, e2$ -- мгновенные значения ЭДС, индуктированных на боковых сторонах контура. $B$ -- магнитная индукция магнитного поля. $l$ --  длина каждой из боковых сторон контура. $v$ -- линейная скорость, с которой вращаются боковые стороны контура. $t$ -- время. $\omega t, \omega t + \pi$ -- углы, под которыми магнитные линии пересекают боковые стороны контура.

        Так как ЭДС, индуктированные на боковых сторонах контура, действуют сонаправленно, то результирующая ЭДС, индуктируемая в контуре, будет равна
        \[
        e = 2Blv\sin{\omega t}.
        \]
        То есть индуктированная ЭДС в контуре изменяется по синусоидальному закону.

        Скорость $v$ запишем как произведение радиуса $a/2$ и угловой скорости $\omega$, тогда
        \[
        e = 2Bl\frac{a}{2}\omega\sin{\omega t}.
        \]

        С учётом того, что контур состоит из многих витков провода, ЭДС пропорциональна количеству витков $n$, то формула будет выглядеть так:
        \[
        e = n2Bl\frac{a}{2}\omega\sin{\omega t}.
        \]

        В генераторе трехфазного тока находятся три контура, повернутых друг относительно друга на $120\degree$. Моменты прохождения этих ЭДС через нуль в каждом из этих контуров оказываются сдвинуты на 1/3 периода, так как индуктор проходит возле каждого контура на 1/3 периода позднее, чем предыдущего.

        \begin{wrapfigure}{r}{0.49\linewidth}
            \includegraphics[width=\linewidth]{img4.png}
            \hspace{44pt}{Рис 2. Фазные токи.}

            \includegraphics[width=\linewidth]{img5.png}
            \hspace{44pt}{Рис 3. Схема разводки трёхфазной сети в многоквартирных жилых домах.}
        \end{wrapfigure}

    \newpage
    \subsection{Преимущества трехфазного тока.}
        Все обмотки являются самостоятельными генераторами тока и источниками электроэнергии. Если присоединить провода к концам каждой обмотки, то получаются три независимые цепи. В данном случае, чтобы передать всю электроэнергию потребуется шесть проводов. Однако при других соединениях обмоток между собой вполне можно обойтись 3-4 проводами, что дает большую экономию провода. Провода и кабели имеют большое сопротивление. Это означает, что часть энергии будет потеряна, рассеиваясь в виде тепла. Уменьшив токи, передаваемые по ЛЭП, можно значительно снизить потери.

        В многоквартирных домах нагрузка примерно одинаковая, что означает уравновешенность системы. Это свойство является одним из важнейших, так как в неуравновешенной системе возникает неравномерная механическая нагрузка на энергогенерирующую установку, что значительно снижает срок её службы. К тому же возможно уменьшить мерцание светильников на люминесцентных лампах путём размещения в одном светильнике трёх ламп, питающихся от разных фаз.

    \newpage
    \section{Соединение звездой.}
         Соединение звездой -- такое соединение, при котором концы всех обмоток соединяются в одной точке генератора, так называемой нулевой точке. Затем производится соединение с потребителями, используя четыре провода: три – линейные провода, которые идут от начала обмоток 1, 2, 3, один – нулевой (нейтральный) провод, идущий от нулевой точки генератора. Такую систему называют еще четырехпроводной. Если нейтрального провода нет то систему называют трёхпроводной. Если сопротивления $Z_a, Z_b, Z_c$ потребителя равны между собой, то такую нагрузку называют симметричной.

        \begin{figure}[h]
            \includegraphics[width=\linewidth]{img2.png}
            \hspace{44pt}{Рис 4. Соединение по схеме звезда.}
        \end{figure}

        Напряжение между фазным проводом и нейтралью ($U_a, U_b, U_c$) называется фазным.
        \begin{wrapfigure}{r}{0.42\linewidth}
            \includegraphics[width=\linewidth]{img6.jpg}
            \hspace{44pt}{Рис 5. Векторная диаграмма при симметричной нагрузке фаз.}
        \end{wrapfigure}
        Напряжение между двумя фазными проводами ($U_{AB}, U_{BC}, U_{CA}$) называется линейным. Векторные построения дают представления о сдвиге между согласующимися фазным и межфазным напряжением – $30\degree$.

        \subsection{Соотношение между линейными и фазными токами и напряжениями.}
            \textit{Для соединения обмоток звездой, при симметричной нагрузке, справедливо соотношение между линейными и фазными токами и напряжениями:}
            \[
            I_L = I_F, U_L = \sqrt{3}\cdot U_F.
            \]
            Для тока равенство очевидно. Выведем равенство для напряжений.

            Сначала заметим, что
            \begin{align*}
                & U_{AB} = U_A - U_B;\\
                & U_{BC} = U_B - U_C;\\
                & U_{CA} = U_C - U_A;\\
            \end{align*}
            а также, $\angle NCB = \frac{1}{2} \angle ACB = 30\degree$. Откуда $U_{AB}~=~2U_A \cdot \cos{30\degree} = 2 U_A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} U_A$.

        \subsection{Суммарное линейное и фазное напряжение.}
            \textit{Линейное и фазное напряжение, если суммировать векторные величины всех фаз, равны нулю:}
            \begin{align*}
                & U_{A} + U_B + U_C = 0;\\
                & U_{AB} + U_{BC} + U_{CA} = 0.\\
            \end{align*}

        \subsection{Ток через нейтральный проводник.}
            Если сопротивления на каждой фазе одинаковые: $Z_A = Z_B = Z_C$, то можно произвести расчет фазных токов:
            \begin{align*}
                & I_{A} = U_A / Z_A;\\
                & I_{B} = U_B / Z_B;\\
                & I_{C} = U_C / Z_C;\\
            \end{align*}

            Поскольку сумма токов равна нулю, то в случае четырехпроводной системы \textit{в нейтральном проводнике ток не течет}. Система будет вести себя одинаково, независимо, существует нейтральный проводник или нет.

        \subsection{Мощность трехфазного приемника.}
             \textit{Для активной мощности трехфазного приемника справедлива формула:}
             \[
             P = \sqrt3 U_F I \cdot\cos{\varphi}.
             \]

    \newpage
    \section{Соединение треугольником.}
        В этом случае конец предыдущей обмотки соединяется с началом последующей, образуя, тем самым треугольник. Линейные провода соединяются с вершинами треугольника – точками 1, 2, 3. При таком подключении фазное и линейное напряжения совпадают. Оно допускается лишь при условии одинаковой нагрузки фаз, иначе сила тока в обмотках может увеличиться, что представляет опасность для генератора.
        \begin{figure}[h]
            \includegraphics[width=\linewidth]{img3.png}
            \hspace{44pt}{Рис 6. Соединение по схеме треугольник.}
        \end{figure}

        Межфазовые токи для соединения треугольником – $I_A, I_B, I_C$. Фазные – $I_{AB}, I_{BC}, I_{CA}$.

        \begin{figure}[h]
            \includegraphics[width=\linewidth]{img7.png}
            \hspace{44pt}{Рис 7. Векторная диаграмма при симметричной нагрузке фаз.}
        \end{figure}

        \subsection{Соотношение между линейными и фазными токами и напряжениями.}
            \textit{ Для соединения обмоток треугольником, при симметричной нагрузке, справедливо соотношение между линейными и фазными токами и напряжениями:}
            \[
            I_L = \sqrt{3}I_F, U_L = U_F.
            \]
            Равенство для напряжение очевидно. Докажем для токов.

            Линейные токи находятся из векторных построений:
            \begin{align*}
                & I_{A} = I_{AB} - I_{CA};\\
                & I_{B} = I_{BC} - I_{AB};\\
                & I_{C} = I_{CA} - I_{BC}.\\
            \end{align*}

            Суммирующая токовая величина в симметричной системе соответствует нулю. Среднеквадратичные величины фазных токов: $I_{AB} = I_{BC} = I_{CA} = U/Z$.

            Поскольку фазовый сдвиг между $U$ и $I$ равен $30\degree$, линейный ток в данной конфигурации будет равен:
            \[
            I_A = I_{AB} - I_{CA} = 2I_{AB}\cdot\cos{30\degree} = 2I_F\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}I_F.
            \]

        \subsection{Мощность трёхфазного тока при соединении треугольником.}
            Для соединения обмоток треугольником, при симметричной нагрузке, мощность трёхфазного тока равна:
            \[
            P = 3U_FI_F\cos{\varphi} = 3U_L \dfrac{I_L}{\sqrt{3}}\cos{\varphi} = \sqrt{3}U_LI_L\cos{\varphi}.
            \]

    \section{Источники.}
    Трехфазный ток

    \url{https://elquanta.ru/teoriya/trekhfaznyjj-tok.html}

    Что такое трехфазный ток

    \url{https://electric-220.ru/news/chto_takoe_trekhfaznyj_tok/2012-04-11-109}
\end{document}