% _____________________________________________________________
\documentclass{article}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage[finnish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\newcommand{\LAT}{{\color{red} \bf \LaTeX}}
\newcommand{\PYT}{{\color{red} \bf python}}
\newcommand{\OCT}{{\color{red} \bf octave}}
\newcommand{\TMC}{{\color{red} \bf TMC}}
\pagestyle{empty}
\hoffset=-4.0cm
\textwidth=20.0cm
\voffset=-3.5cm
\textheight=26.0cm
\begin{document}
\normalsize
\twocolumn
\begin{center}
{\bf Tehospektri}
\end{center}

Tiedostossa Scargledata.dat on kaksi saraketta: Aikapisteet $t=t_i(i= 1,2,3,...,100)$ ja havainnot $y=y_i=y(t_i).$ \\


Siirrä tiedosto Scargledata.dat kotisivulta samaan hakemistoon kuin tämä \LaTeX\  dokumentti Scarglevalmis.tex Tuo ``tiedost'' sisään tähän dokumenttiin Scarglevalmis.tex komentoriveillä

\begin{verbatim}

\begin{center}
\begin{scriptsize}
\begin{table}[!b]
\caption[]{Havaintoaika $(t_{\mathrm{i}})$
 ja havainto $(y_{\mathrm{i}})$}
\begin{tabular}{rrrrrrrrrr}
\hline
 $t_{\mathrm{i}}$ \& $y_{\mathrm{i}}$ \&
 $t_{\mathrm{i}}$ \& $y_{\mathrm{i}}$ \&
 $t_{\mathrm{i}}$ \& $y_{\mathrm{i}}$ \&
 $t_{\mathrm{i}}$ \& $y_{\mathrm{i}}$ \&
\hline
\input{Scargledata.dat}
\hline
\end{tabular}
\label{data}
\end{table}
\end{scriptsize}
\end{center}

\end{verbatim}


\begin{center}
\begin{scriptsize}
\begin{table}[!b]
\caption[]{Havaintoaika $(t_{\mathrm{i}})$ ja havainto $(y_{\mathrm{i}})$}
\begin{tabular}{rrrrrrrrrr}
\hline
 $t_{\mathrm{i}}$ &  $y_{\mathrm{i}}$ &
 $t_{\mathrm{i}}$ &  $y_{\mathrm{i}}$ &
 $t_{\mathrm{i}}$ &  $y_{\mathrm{i}}$ &
 $t_{\mathrm{i}}$ &  $y_{\mathrm{i}}$ \\
\hline
\input{Scargledata.dat}
\hline
\end{tabular}
\label{data}
\end{table}
\end{scriptsize}
\end{center}


Siirrä kuva Scargleohjelma.jpg kotisivulta samaan hakemistoon kuin tämä \LaTeX\ dokumentti Scarglevalmis.tex. Kuvan yläosassa esitetään havainnot ajan funktona. Kuva ``on tuotu sisään'' tähän \LaTeX\ dokumenttiin Scarglevalmis.tex komennoilla

\begin{figure}[!t]
\includegraphics[width=10.0cm,height=6.0cm]{Scargleohjelma.jpg}
\caption[]{Yläosa; Havainnot, Alaosa; Tehospektri}
\label{kuvayksi}
\end{figure}


\begin{verbatim}
\begin{figure}[!t]
\includegraphics[width=10.0cm,height=6.0cm]{Scargleohjelma.jpg}
\caption[]{Yläosa; Havainnot, Alaosa; Tehospektri}
\label{kuvayksi}
\end{figure}
\end{verbatim}

Tämän tehtävän päätavoitteena on selvittää, onko havainnoissa periodisuutta välillä $P_{min}=1$ ja $P_{max}=10.$ Tämä ratkaistaan laskemalla Taulukon \ref{data} havainnoille tehospektri. Ensin lasketaan havaintojen keskiarvo $m_y=[\sum y_i]/n.$ Se vähennetään havainnoista eli saadaan $y'_i=y_i-m_y.$ Tehospektrin arvo testattavalla frekvenssillä $f_j$ on
$$z(f_j)=\frac{{\sum_{i=1}^n y'_i cos[2 \pi f_j(t_i-\tau)]}^2}{2 \sum_{i=1}^n{cos[2 \pi f_j(t_i-\tau)]}^2} + \frac{{\sum_{i=1}^n y'_i sin[2 \pi f_j(t_i-\tau)]}^2}{2 \sum_{i=1}^n{sin[2 \pi f_j(t_i-\tau)]}^2}$$

missä $\tau$ toteuttaa

$$tan(4 \pi f_j \tau)=[\sum\limits_{i=1}^n sin(4 \pi f_j \tau] [\sum\limits_{i=1}^n cos(4 \pi f_j \tau]^{-1}$$

Testattava frekvenssiväli on $f_{min} =1/P_{max} ja f_{max} = 1/P_{min}.$ Etäisyys kahden riippumattoman testattavan frekvenssin välillä on $f_0=1/ \Delta T,$ missä $\Delta T=t_n-t_1$ eli havaintovälin koko pituus. Testattavien frekvenssien välisestä etäisyydestä tehdään kymmenen kertaa tiheämpi eli $f_{step}= f_0/OFAC,$ missä $ OFAC=10$ (engl. Overfilling Factor). Testattavia frekvenssejä sopii testattavaan frekvenssiväliin

$$M=INT[(f_{max}-f_{min})/f_{step}]$$

kappaletta, missä INT poistaa argumentin desimaaliosan (Esim:
INT$[21.23]=21$). Tehospektri $z(f_j)$ lasketaan siis kaikki seuraaville frekvenssien arvoille

$$f_j=f_{min}+j f_{step},$$
missä $j=0,1,2,3,...,M.$ \\
\\


Havaintojen tehospektri $z(f_j)$ esitetään Kuvan \ref{kuvayksi} alaosassa. Tehospektrin $z(f_j)$ korkein piikki on kohdassa $1/f_{best}=P_{best}=1.91.$ Tämä on paras periodi näille havainnoille.
Havaintojen vaiheet frekvenssillä $f_{best}$ ovat

$$\phi_i=FRAC[(t_i-t_0)f_{best}],$$

missä $t_0=0$ ja $FRAC[x]$ poistaa argumentin x kokonaislukuosan (Esim:$FRAC[21.34]=0.34$).

Siirrä kuvatiedosto Sovitusohjelma.jpg kotisivulta samaan hakemistoon kuin tämä \LaTeX\ dokumentti Scarglevalmis.tex. Tässä kuvatiedostossa esitetään havainnot vaiheen $\phi_i$ funktiona. Siinä on sovitettu havaintoihin malli

$$g(t,\overline{\beta})= F + A cos(2 \pi \phi_i) + B sin( 2 \pi \phi_i),$$

missä vapaat parametrit ovat $\overline{\beta}=[M,A,B].$ Tämä pienimmän neliösumman sovituksen antama malli esitetään kuvassa \ref{kuvakaksi} jatkuvana vihreänä käyränä. Samassa kuvassa \ref{kuvakaksi} annetaan myös vapaille parametreille M, A ja B saadut arvot. Kuva \ref{kuvakaksi} on "tuotu sisään" tähän \LaTeX\ dokumenttiin Scarglevalmis.tex komennoilla

\begin{verbatim}
\begin{figure}[!t]
\includegraphics[width=10.0cm,height=6.0cm]
{Sovitusohjelma.jpg}
\caption[]{Havainnot vaiheen
$\phi_{\mathrm{i}}$ funktiona (siniset ympyrät),
sekä niihin sovitettu malli (jatkuva vihreä viiva).}
\label{kuvakaksi}
\end{figure}
\end{verbatim}


\begin{figure}[!t]
\includegraphics[width=10.0cm,height=6.0cm]{Sovitusohjelma.jpg}
\caption[]{Havainnot vaiheen $\phi_{\mathrm{i}}$ funktiona  (siniset ympyrät), sekä niihin sovitettu malli (jatkuva vihreä viiva).}
\label{kuvakaksi}
\end{figure}

Tässä dokumentissa Scarglevalmis.tex näytetyt kuvat Scargleohjelma.jpg ja Sovitusohjelma.jpg laaditaan viimeisissä python laskuharjoituksissa ``Scargleohjelma'' ja ``Sovitusohjelma''.


\end{document}