ARC102/ABC108 - C問題

a+bがKの倍数ということはa+bをKで割った余りが0
(a + b) % K = (a % K + b % K) % K = 0
このとき
a % K + b % K は 0 か K になる(※Kで割った余り２つの和がKで割り切れることから)
0 のときは a % K + b % K = 0 負数はないからa % K = b % K = 0
K のときは a % K + b % K = K つまり a % K = K - b % K

(b + c) % K = 0 についても同様に考えた場合
b % K + c % K = 0 or K
0のときは b % K = c % K = 0
Kのときは c % K = K - b % K

(c + a) % K = 0 も同様に
c % K + a % K = 0 or K
0のときは c % K = a % K = 0
Kのときは c % K = K - a % K


a % K = b % K = 0 を満たすとき c % K = 0 でもある
つまりどれかが (x % K) + (y % K) = 0 になる場合はaもbもcもKの倍数
逆にどれかが (x % K) + (y % K) = K になるときは他も全て (x % K) + (y % K) = K を満たす

a % K = K - b % K のとき
c % K = K - a % K = K - (K - b % K) = b % K
となるので
b % K + c % K = 2 * (b % K) = K
なので b % K = K / 2 となる b % K は整数なので K / 2 も整数であり K は偶数
b % K = c % K なので c % K = K / 2
そして a % K = K - b % K = K - K / 2 = K / 2となり
a % K = b % K = c % K = K / 2 が成り立ち
a,b,cは全てK/2の倍数

Kが奇数のときはa,b,cが全てKの倍数とき( (x % K) + (y % K) = 0 のとき )だけ