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- NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
- - y´t = dy/dt
- - y´´t = d²y/dt²
- - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
- - y´n´t = d^ny/d t^n
- - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
- - int f(x) = integral de f(x)
- - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
- - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
- - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
- - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
- - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.
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- Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:
- f ( t ) | L ( f )
- 1) 1 | 1/s, s>0
- 2) e^(at) | 1/(s-a), s>a
- 5) sen(at) | a/(s²+a²)
- 6) cos(at) | s/(s²+a²)
- 7) cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
- 8) senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
- 9) Uc(t) | e^(-sc)/s
- 10) Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
- 11) e^(ct)f(t) | L(f(s-c))
- 12) f(ct)? - sei não =P
- 16) f(t)**g(t) | L(f(t)) L(g(t))
- 17) ð(t-t0) | e^(-s t0)
- 19) y' | s L(y) - y(0)
- 19) y'' | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
- (a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)
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- // Continuamos nessa aula falando do exercicio da última aula, sobre uma barra de comprimento L com uma distribuição de calor.
- // Ambos os extremos da barra tem temperatura constante = 0.
- Estamos falando na última aula do método de separação de variáveis para a EDP:
- u´t = <delta>² u´´x
- Para o método de separação de variáveis supomos que:
- u(x,t) = X(x)*T(t)
- Chegamos então na equação:
- T'/(<delta>² T) = X''/X = -<l>
- Onde -<l> ou -<lambda> é a constante de proporcionalidade das funções e suas derivadas.
- Vamos então isolar:
- T'/(<delta>² T) = -<l>
- e
- X''/X = -<l>
- Agora vamos conferir caso a caso os valores possíveis de <lambda>
- Para <l> = 0:
- X(x) = ax + b (porque a segunda derivada é 0)
- X(0) = b = 0 => X = ax
- X(L) aL ....
- mostrou que só tem soluções triviais.
- O professor então supôs <lambda> < 0
- ... e mostrou que também deu errado ...
- Restou então <lambda> > 0
- Resolvendo a equação característica:
- r² + <lambda> = 0
- logo:
- r = +- raiz(<l>) i
- // Acabei de alcançar o professor, a aula deve ficar melhor a partir de agora.
- X(x) = c1 sen(raiz(<l>) x) + c2 cos (raiz(<l>) x)
- Agora usando os valores de contorno:
- X(0) = 0 = c1 sen (raiz(<l>) 0) + c2 cos(raiz(<l>) 0) = c1 * 0 + c2 * 1 ==> c2 = 0
- Então X(x) = c1 sen(raiz(<l>) x)
- X(L) = 0 = c1 sen(raiz(<l> L))
- Logo para obtermos uma solução não trivial o seno deve ser 0.
- Assim raiz(<l>) L = n pi com n != 0. n inteiro.
- Ou seja é igual à um multiplo qualquer de pi.
- Assim:
- <l> = (n pi / L)²
- Dessa forma nossa resposta para X irá depender de n e ficará assim:
- Xn(x) = Cn sen(n pi/L x)
- Agora vamos descobrir o valor de T(t)?
- Como T também depende de lambda pela equação:
- T'/(<delta>² T) = -<l>
- Então T também devera ser função de n:
- Vamos supor uma solução da forma:
- Tn(t) = An e^(-n²pi²/L² <delta>² t)
- Un(x,t) = Xn(x) Tn(t)
- Un = bn e^(-n²pi²/L² <delta>² t) sen(n pi/L x)
- Agora temos de descobrir essa constante bn
- Vamos lembrar o valor de u(x,0)?
- u(x,0) = sen(n pi x / L) = f(x)
- Lembrando que f(x) descreve a distribuição do calor na barra.
- É dificil essa igualdade ser verdade não é? ____
- Afinal o seno fica oscilando enquanto o calor se parece um chapeuzinho / \
- / \
- Quando ela é verdadeira?
- Bem o professor decidiu usar a idéia de que
- já que a EDP original é linear, então combinações lineares das soluções também serão soluções =].
- ou seja:
- u(x,t) = sum(i=1,n) Un(x,t) = sum(i=1,n) bn e^(-(n pi <delta> / L)² t) sen(n pi x / L)
- A questão que resta então é a igualdade:
- u(x,0) = f(x) = sum(i=1,n) Un(x,0) = sum(i=1,n) bn e^(-(n pi <delta> / L)² 0) sen(n pi x / L)
- ou simplificando:
- f(x) = sum(i=1,n) bn sen(n pi x / L)
- O questionamento atual do professor é sobre qual é a interpretação dessa igualdade.
- Ou seja, f(x) é um chapeuzinho, porém isso só é dessa forma por causa do que descrevemos na aula passada (que as fontes de calor ficam no meio)
- E se f(x) fosse descontinua, ou tivesse algum outro formato estranho?
- Também seriam possibilidades possíveis se eu juntasse alguns gelos com alguma fontes de calor.
- O foco dessa introdução é: Isso é uma motivação para o estudo das séries de fourrier.
- Então agora vamos verdadeiramente falar de séries de fourrier, futuramente iremos adentrar mais afundo em problemas como esse que descrevemos agora.
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- CONCEITO:
- Séries de Fourrier (SF):
- para os valores: a0, a1, a2, ... an e b0, b1, b2, .... bn, números reais.
- a série infinita:
- a0/2 + sum (n=1,inf)( an cos(n pi x / L) + bn sen (n pi x / L) )
- é uma série de fourrier.
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- Pergunta:
- Para que funções f(x), nós podemos definir uma SF?
- ou seja, para que valores a equação abaixo é verdade?
- f(x) = a0/2 + sum (n=1,inf)( an cos(n pi x / L) + bn sen (n pi x / L) )
- Interrompendo para um conceito:
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- CONCEITO:
- Dizemos que uma função é periodica de periodo T se:
- f(x+T) = f(x) para todo x
- O professor desenhou uma função estranha para a qual isso é verdade. De fato é fácil imaginar uma função assim.
- Depois ele mostrou uma outra função periodica, porém essa segunda função é totalmente descontinua, vou até desenha-la:
- 1 ------ |------ ------
- 0 ------| ------ -------
- -2 -1 0 1 2 3 4
- Uma informação adicional, é que o periodo é o menor valor para o qual a função se repete.
- Note que a função se repete de 2 em 2, de 4 em 4, e assim por diante para qualquer multiplo de 2.
- Portanto vamos dizer que o periodo é 2, porque ele é o menor para o qual isso é verdade.
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- Voltando ao assunto.
- f(x) é uma função representável pela soma de senos e cossenos que são periodicos
- Logo podemos afirmar que f(x) também é periódica.
- Agora qual o periodo?
- O professor adiantou que o perioto é 2L.
- ou seja:
- f( x + 2L ) = f(x) para todo x
- O professor demonstrou isso com a equação:
- cos(n pi / L (x+2L)) = cos(n pi x / L + 2 n pi) = cos (n pi x / L)
- Tava copiando nào consegui interpretar a equação, quando passar a limpo eu intepreto.
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- Na próxima aula falaremos mais sobre funções de período = 2L.
- // Fim da aula!
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