#Calcula solução exata --------------------------------------------------------
def solucaoExata(x):
    return np.sin(2*mt.pi*x)

#Calcula derivada da solução exata --------------------------------------------
def solucaoDExata(x):
    return 2 * mt.pi * np.cos(2*mt.pi*x)

#Calcula f(x) da equação -u" = f(x) -------------------------------------------
def Fx(x):
    return 4 * mt.pi**2 * (np.sin(2*mt.pi*x))

#Função utilizada para calcular o erro da aproximação -------------------------
def calcularErro(n,grau,uap,x,h,r):
    p,w = leggauss(r)            #Pontos e pesos associados a quadratura
    erro = np.float64(0.0)       #Erro total
    fi = np.zeros([grau+1,r])    #Armazena funções base de lagrange
    dfi = np.zeros([grau+1,r])   #Armazena a derivada das funções base de lagrange

    #Calcula os polinômios de lagrange nos pontos de Gauss
    #Em cada linha temos fi_i, onde cada coluna representa fi_i em um ponto de Gauss
    for g in range(r):
        fi[:,g],dfi[:,g] = shape(grau,p[g])

    #Faz o cálculo do erro
    for el in range(n):
        aux = grau*el
        for g in range(r): #loop em pontos de gauss
            uu = 0.0
            xx = 0.0
            for j in range(grau+1):
                uu = uu + uap[aux] * fi[j,g]
                xx = xx + x[aux] * fi[j,g]
                aux = aux + 1
            aux = grau*el
            erro = erro + (uu - solucaoExata(xx))**2 * w[g] * h/2.0

    return np.float64(mt.sqrt(erro))

#Função utilizada para calcular o erro da derivada da aproximação -------------
def calcularDErro(n,grau,uap,x,h,r):
    p,w = leggauss(r)            #Pontos e pesos associados a quadratura
    erro = np.float64(0.0)       #Erro total
    fi = np.zeros([grau+1,r])    #Armazena funções base de lagrange
    dfi = np.zeros([grau+1,r])   #Armazena a derivada das funções base de lagrange

    #Calcula os polinômios de lagrange nos pontos de Gauss
    #Em cada linha temos fi_i, onde cada coluna representa fi_i em um ponto de Gauss
    for g in range(r):
        fi[:,g],dfi[:,g] = shape(grau,p[g])

    #Faz o cálculo do erro
    for el in range(n):
        aux = grau*el
        erdu = 0.0
        for g in range(r): #loop em pontos de gauss
            uu = 0.0
            xx = 0.0
            for j in range(grau+1):
                uu = uu + uap[aux] * dfi[j,g] * 2.0/h
                xx = xx + x[aux] * fi[j,g]
                aux = aux + 1
            aux = grau*el
            erdu = erdu + ((uu - solucaoDExata(xx))**2) * w[g] * h/2.0
        erro = erro + erdu

    return np.float64(mt.sqrt(erro))