EDC 05/06/2012

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  # Gastão                  #
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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

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  Hoje vamos aplicar a equação do calor ao problema da Corda vibrante.

  A corda tem comprimento L e está fixada em ambas as extremidades.
  Inicialmente ela está deslocada verticamente em u(x,0) ou seja:

    u(x,t) = deslocamento vertical.

    (1) u´´t = a² u´´x

  Com as variáveis x e t contida em:

    x = [0,L]
    t = [0,inf[

  E digamos que:

    u(x,0) = f(x)

  e vamos denotar a velocidade no ponto 0 como:

    u´t(x,0) = g(x);

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  O estudo desse problema nós vamos fazer em várias etapas. Vamos começar com o caso mais simples onde:

    g(x) = 0.

  Vamos partir da idéia inicial de que u(x,t) deve ser um produto de funções em função de x e de t ou seja:
  // Notem que é a mesma coisa que fizemos para a equação do calor.

    u(x,t) = X(t)T(t)

  Partindo dessa equação e substituindo em (1) podemos chegar na igualdade:

    T''/(a²T) = X''/X

  E para isso ser verdade para todo t X'' deve ser proporcional a X e o mesmo para T''e T.
  Assim vamos chamar essa constante de proporção de "-<lambda>"

    T''/(a²T) = X''/X = -<lambda>

  Vou resumir <lambda> para <l>

  Com isso geramos duas equações:

    T'' + a² <l> T = 0

  e

    (2) X'' +    <l> X = 0

  Vamos voltar agora para as condições de contorno.
  Sabemos que X(x) deve fazer u(x,0) = 0, portanto:

    X(0) = 0

  E sabemos que u(x,L) também deve ser 0 portanto:

    X(0) = X(L) = 0

  Assim temos as soluções:

    { <l>n = n² pi²/L², n=1,2,3...
    { Xn = sen(n pi x/L)

  O professor chamou (2) de um problema de auto-valor e auto-vetor.

  A solução de (2) nos dá um valor para <lambda>

    <l> = n² pi²/L²

  Voltando para a equação:

    T'' + a² <l> T = 0

  E substituindo o novo valor de <lambda>:

    T'' + a² n² pi²/L² T = 0

  Solucionando temos que:

    Tn = bn cos((a n pi/L) t) + cn sin ((a n pi/L) t)

  Voltando aos valores de contorno, sabemos que como u´t(x,0) = 0.
  T'(0) deve ser igual à 0.

  assim podemos isolar Cn:

    Tn'(0) = 0 + a n pi/L Cn cos ((a n pi/L) 0)

  ou

    Tn'(0) = a n pi/L Cn

  Isolando Cn temos:

    Cn = 0.

  E portanto T não é função de cosseno.
  Ou seja:

    Tn(t) = bn cos(a n pi t / L)

  E portanto:

    un(x,t) = Xn(x) Tn(t)

  ou

    un(x,t) = bn sen(n pi x/L) cos ( a n pi t/L)

  Mas e se essa equação não expressar corretamente o valor que queremos?
  Sabendo que a equação é linear podemos tentar achar outras soluções através de somas lineares com outras soluções.

  Assim vamos considerar uma solução na forma de um somatório:

    u(x,t) = sum(n=1,inf) bn sen (n pi x/L) cos(a n pi t/L)

  O que falta agora é saber se a nossa última condição inicial será satisfeita ou não.

  A condição restante é:

    f(x) = un(x,0) = sum(n=1,inf) bn sen(n pi x/L) * cos(a n pi 0/L)

  ou

    f(x) = sum(n=1,inf) bn sen(n pi x/L)

  Para essa igualdade ser verdadeira, nós precisamos extender f(x) para +-infinito, mas isso já fizemos em outras aulas.

  Após fazer isso nós encontramos que bn deve ser o bn da série de fourrier:

    bn = 2/L int(0,L) f(x) sen(n pi x/L) dx, para todo n

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  Agora vamos estudar novamente o problema das cordas, porém dessa vez considerando que a velocidade inicial não é 0.
  Porém a posição inicial será exatamente 0, ou seja:

    u(x,0) = f(x) = 0
    u´t(x,0) = g(x) != 0

  Fazendo a substituição pela igualdade u = X T

  Obtemos:

    T'' + <lambda> a²T = 0

    T(0)=0

  Daqui pra frente o processo segue quase exatamente igual ao problema acima, o professor preferiu não repetir tudo

  A nova solução vamos chamar de uII.
  A antiga vamos chamar de uI.

  A solução geral para o problema será simplesmente a combinação das duas soluções anteriores:

    u = uI + uII

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  Exercicios:
    Sessão 10.7
    pg 493: 1, 4, 5, 8, 12, 13.

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  // Fim da aula.