\documentclass{article}
\usepackage{blindtext}
\usepackage[a4paper, total={6in, 9.4in}]{geometry}

\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{mathtext}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{siunitx} % Required for alignment
\usepackage{subfigure}
\usepackage{multirow}
\usepackage{rotating}
\usepackage{afterpage}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{caption}
\usepackage[arrowdel]{physics}
\usepackage{booktabs}

\graphicspath{{pictures/}}

% \title{\begin{center}Лабораторная работа №3.7.1\end{center}
% Скин-эффект в полом цилиндре}
% \author{Гёлецян А.Г.}
% \date{\today}

% \begin{document}

% \pagenumbering{gobble}
% \maketitle
\begin{document}

\begin{titlepage}
    \centering
    \vspace{5cm}
    {\scshape\LARGE Московский физико-технический институт \par}
    \vspace{4cm}
    {\scshape\Large Лабораторная работа \par}
    \vspace{1cm}
    {\huge\bfseries Скин-эффект в полом цилиндре \par}
    \vspace{1cm}
    \vfill
\begin{flushright}
    {\large Б05-111}\par
    \vspace{0.3cm}
    {\LARGE Саушкин Денис \\ Коновалов Валентин}
\end{flushright}


    \vfill

% Bottom of the page
    Долгопрудный, 2022 г.
\end{titlepage}
\newpage
\pagenumbering{arabic}

\textbf{Цель работы:} Исследование проникновения переменного магнитного поля в медный полый цилиндр

\section{Теоретическая часть}
\subsection{Скин-эффект для полупрастранства}
\vspace{1cm}
\begin{wrapfigure}{l}{0.3\textwidth}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=0.28\textwidth]{poluprostranstvo}
  \end{center}
  \caption{Скин-эффект в полупространстве}\label{fig:poluprostranstvo}
\end{wrapfigure}

Рассмотрим квазистационарное поле внутри проводящей среды в простейшем плоском случае.
Пусть вектор $\vb*{E}$ направлен всюду вдоль оси $y$ (рис.\ref{fig:poluprostranstvo})
и зависит только от координаты $x$, т. е. ${E_x} = {E_z} \equiv 0$, $E_y=E_y(x,t)$.
В квазистационарном приближении
\begin{equation*}
    \grad \times \vb*{H} = \sigma \vb*{E}
\end{equation*}
Берем ротор обоих частей
\begin{equation*}
    \grad \times (\grad \times \vb*{H}) = \grad(\grad \cdot \vb*{H}) - \grad^2\vb*{H} = \sigma \grad \times \vb*{E}
\end{equation*}
Испоьзуя ур-е Максвелла для ротора $\vb*{E}$ и для дивергенчии $\vb*{H}$ получаем
\begin{equation}
    \grad^2 \vb*{H} = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial\vb*{H}}{\partial t}
                      + \grad(\grad \cdot \vb*{H}) = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial\vb*{H}}{\partial t}
    \label{eq:laplacian_H}
\end{equation}
Берем ротор еще раз
\begin{equation*}
    \grad \times (\grad^2\vb*{H}) = \grad^2 (\grad \times \vb*{H}) =
    \sigma\mu\mu_0 \frac{\partial (\grad \times \vb*{H})}{\partial t}
\end{equation*}
Осталось подставить первое ур-е, и воспользоватся уравнением Максвелла
\begin{equation}
    \grad^2\vb*{E}=\sigma\mu\mu_0 \frac{\partial \vb*{E}}{\partial t}\label{eq:diffusion}
\end{equation}

Подставляем в (\ref{eq:diffusion}) наше электрическое поле $E_y=E_y(x,t)$
\begin{equation}
    \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \sigma\mu\mu_0\frac{\partial E_y}{\partial t}
    \label{eq:diffusion_chastni}
\end{equation}
Если $E_y(0,t)=E_0 e^{i\omega t}$ то решением (\ref{eq:diffusion_chastni}) будет функция вида
\begin{equation}
    E_y(x,t)=E_0 e^{-x/\delta} e^{i(\omega t - x/\delta)}
    \label{eq:skin_effect_poluprostranstvo}
\end{equation}
где
\begin{equation}
    \delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\sigma\mu\mu_0}}
    \label{eq:delta}
\end{equation}

\newpage
\subsection{Скин-эффект в тонокм полом цилиндре}


Перейдем теперь к описанию теории в нашей работе. Из соображении симметрии и
непрерывности соответствующих компонет векторов $\vb*{E}$ и $\vb*{H}$ можем сказать что
\begin{equation*}
    H_z = H(r)e^{i\omega t} \text{, } E_\varphi = E(r)e^{i\omega t}
\end{equation*}
и при этом функции $H(r)$ и $E(r)$ непрерывны.

Внутри цилиндра токов нет, следовательно $H(r)=H_1=\text{const}$ внутри цилиндра.
По теореме об электромагнитной индукции
\begin{equation*}
    E(r) = -\frac{1}{2}\mu_0 r \cdot i \omega H_1
\end{equation*}
откуда мы получаем граничное условие
\begin{equation}
    E_1=E(a)= -\frac{1}{2}\mu_0 a \cdot i \omega H_1
    \label{eq:granichnoe_uslovie_E}
\end{equation}

В прближении $h \ll a$ можем пренебречь кривизной стенки и смоделировать
его бесконечной полосой. Тогда, надо решить уравнение (\ref{eq:laplacian_H})
с граничными условиями. Решая уравнение получим связь полей $H_1$
(поле внутри цилиндра которое мы будем измерять) и $H_2$, которое колебается с частотой
$\omega$

\begin{equation}
    H_1 = \frac{H_0}{\ch(\alpha h) + \frac{1}{2} \alpha a \sh(\alpha h)}
    \text{\ \ \ }
    \alpha = \sqrt{i\omega \sigma \mu_0} = \frac{\sqrt{2}}{\delta}e^{i\pi/4}
    \label{eq:svyaz_poley}
\end{equation}

из этой формулы получим сколько по фазе отстает поле $H_1$ от $H_0$. При $\delta \ll h$
(высокачастотная область)

\begin{equation}
    \psi \approx \frac{\pi}{4} + \frac{h}{\delta} =
    \frac{\pi}{4} + h \sqrt{\frac{\omega \sigma \mu_0}{2}}
    \label{eq:faza_high_freq}
\end{equation}

При $\delta \gg h$ (низкочастотная область)

\begin{equation}
    \tan \psi \approx \frac{ah}{\delta^2} = \pi a h \sigma \mu \mu_0 \nu
    \label{eq:faza_low_freq}
\end{equation}
\newpage
Мангнитное поле внутри цилиндра измеряется катушкой 3. Напряжение на катушке
пропорционалньна производной $\dot{B_1}(t)$
\subsection{Процесс измерения}


При измерениях разности фаз нужно учесть, что первый сигнал на осциллографе
пропорционален магнитному полю снаружи, а второй пропорционален производному
поля внутри цилиндра по времени. Вследствии этого набегает дополнительная фаза $\pi/2$,
которую надо вычесть при измерениях.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{ustanovka.png}
\end{center}
\newpage
\section{Ход работы}

Параметры нашей установки $2a = 45мм$, $h=1.5мм$. Проводимость порядка
$\sigma \sim 5\cdot 10^7 См/м$. Получаем оценку для частоты, при которой
глубина проникновения равна толщине стенок цилиндра $\nu_h = 2200 Гц$.

 \begin{table}[h]
        \begin{center}
            \begin{tabular}{|c|r|r|r|r|}
                \hline
                {$\nu, Гц$} &   {$I, мА$} & {$U, мВ$} & {$\dfrac{1}{\xi} \cdot 10^{-5}$} & {$\nu^2 \cdot 10^{-5}, Гц^2$}\\
                \hline
                20 &   470 &    148  & 0,04 & 0,39\\\hline
                30 &   467,3 &    220 & 0, 09 & 0,40\\\hline
                40 &   462,8 &    290 & 0,16 & 0,41\\\hline
                50 &   457 &   357 & 0,25 & 0,42\\\hline
                60 &  450 &   408 & 0,36 & 0,43\\\hline
                80 & 440 & 441 & 0,64 & 0,48\\\hline
                100 & 426 & 508 & 1,00 & 0,54\\\hline
                130 &   405,8 &   671 & 1,69 & 0,63\\\hline
                165 &   388,7 &    726  & 2,6 & 0,74\\\hline
                180 &   381,9 &    750  & 3,24 & 0,84\\\hline
                200 &   375,2 &    775  & 4,00 & 0,95\\\hline
            \end{tabular}
        \end{center}
        \caption{Данные измерений}
    \end{table}

% \subsection{Измерение проводимости через отношение амплитуд}
В области частот $\nu \ll \nu_h$ $\alpha h \ll 1$, и из (\ref{eq:svyaz_poley}) получаем
\begin{equation*}
    {(c\xi)}^2 \approx \frac{1}{1+A\nu^2}
\end{equation*}
или, эквивалентно
\begin{equation*}
    \frac{1}{\xi^2}=B\nu^2 + c^2 \text{ где } B=\pi a h \sigma \mu_0 c
    \label{eq:liniya_dlya_c}
\end{equation*}

\begin{figure}[h]
    \center{\includegraphics[width=\textwidth]{image2.png}}
    \caption{График зависимости $1/\xi^2(\nu^2)$}\label{fig:xi_nu_low_freq_linearized}
    \newpage
\end{figure}

Из графика получаем значение $c$, а так же проводимость меди $\sigma$
\begin{equation}
    c=(71.2 \pm 0.03) \text{, } \sigma = (4.412 \pm 0.0061) \cdot 10^7 См/м
\end{equation}

\newpage

\subsection{Измерение проводимости через разность фаз в низкочастотном диапазоне}
 \begin{table}[h]
        \begin{center}
            \begin{tabular}{|c|r|r|r|}
                \hline
                {$\tan(\psi)$} &   {$\nu,кГц$} & {$\sqrt{\nu}$} & {$\psi, рад$} \\
                \hline
                0 &   0,5 &    22,3 & 0\\\hline
                0,151 &   1 &    31,6 & 0,15\\\hline
                0,572 &   2,5 &    50 & 0,52\\\hline
                0,744 &   3 &   54,8 & 0,64\\\hline
                1,14 &  5 &   70,7 & 0,85\\\hline
                1,63 & 7,5 & 86,7 & 1,02\\\hline
                3,11 & 10 & 100 & 1,26\\\hline
                7,60 &   12,5 &   112 & 1,44\\\hline
                8,98 &   15 &    122,5 & 1,46\\\hline
                1,34 &   20 &    141 & 0,93\\\hline
                0,95 &   25 &    150 & 0,76\\\hline
                0,223 & 30 & 173 & 0,22\\\hline
                0,12 & 32 & 178,9 & 0,12\\\hline
                0,06 & 34 & 184,5 & 0,06\\\hline
            \end{tabular}
        \end{center}
        \caption{Данные измерений}
    \end{table}
При $\delta \gg h$
\begin{equation*}
    \tan \psi = k \cdot \nu \ \text{; }\\ k = \pi a h \sigma \mu_0 \ \
\end{equation*}

\begin{figure}[h]
    \center{\includegraphics[width=\textwidth]{image1.png}}
    \caption{График зависимости $\psi (\nu)$ (линейная часть)}\label{fig:tg_psi_nu_line}
    \newpage
\end{figure}

\vspace{1cm}
Из коэффициента наклона прямой находим проводимость при больших частотах
\begin{equation}
    \sigma = (4.64 \pm 0.19) \cdot 10^7 См/м
\end{equation}

А при меньших частотах также из наклона получим
\begin{equation}
    \sigma = (4.28 \pm 0.33) \cdot 10^7 См/м
\end{equation}

\subsection{Отношение магнитных полей}
Отношение $\abs{H_1}/\abs{H_0}$ можем посчитать следующим образом. Первый - через
формулу,использовав значение $c$ из пункта (2.1).
Второй способ - через теоретическую формулу (\ref{eq:svyaz_poley}), использовав значение
$\sigma$ из пункта (2.1). Посмотрим на их отношение на графике
$\abs{H_1}/\abs{H_0} (\nu)$

\begin{table}[!ht]
    \centering
    \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
    \hline
        H_1 / H_0 & 83,03 & 67,4 & 54,9 & 39,3 & 33,5 & 30,1 & 26,7 & 13,4 & 8,6 & 5,2 & 3,3 & 2 & 0,93 & 0,8 & 0,7 \\ \hline
        \nu, кГц & 0,11 & 0,189 & 0,26 & 0,40 & 0,476 & 0,54 & 0,61 & 1 & 2 & 3 & 5,1 & 7,5 & 12,6 & 17,3 & 21 \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}[h]
    \center{\includegraphics[width=0.9\textwidth]{image.png}}
    \caption{График зависимости $\dfrac{H_1}{H_0}(\nu)$}
    \newpage
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{логарифм.jpg}
\caption{$\dfrac{H_1}{H_0}$ от $\ln \nu$}
\end{figure}

\section{Выводы}
В данной работе мы исследовали скин-эффект, то есть проникновение электрического поля вглубь проводника, на примере медного цилиндра. В ходе эксперимента мы получили значение для проводимости меди, которая оказалась близка к истинному значению. Также мы понаблюдали за прочими зависимостями, в частности $\dfrac{H_1}{H_0}(\nu)$ и убедились, что они совпадают с тем, что следовало ожидать теоретически.
\end{document}