Aqui está um exemplo de um programa em PHP que implementa o método de Heun para integrar a equação diferencial que você mencionamos anteriormente e cria um gráfico dos resultados usando a biblioteca GD:

<?php

// Constantes
$m = 2.6;  // Massa em g
$L = 1.0;  // Comprimento em m
$R = 0.03; // Raio em m

// Valores iniciais
$theta0 = 0.05;  // Ângulo inicial em rad
$w0 = 0.0;       // Velocidade angular inicial em rad/s
$t0 = 0.0;       // Tempo inicial em s
$h = 0.1;        // Passo de tempo em s

// Arrays para armazenar os resultados
$t = [$t0];
$theta = [$theta0];
$w = [$w0];

// Loop de tempo
while ($t[count($t) - 1] < 100.0) {
    // Cálculo dos valores intermediários
    $k1x = $h * $w[count($w) - 1];
    $k1v = $h * ($w[count($w) - 1] < 0.0 ? -1.0 : 1.0);
    $k2x = $h * ($w[count($w) - 1] + $k1v);
    $k2v = $h * (($w[count($w) - 1] + $k1v) < 0.0 ? -1.0 : 1.0);

    // Atualização dos valores de θ e w
    array_push($theta, $theta[count($theta) - 1] + ($k1x + $k2x) / 2.0);
    array_push($w, $w[count($w) - 1] + ($k1v + $k2v) / 2.0);

    // Atualização do tempo
    array_push($t, $t[count($t) - 1] + $h);
}

// Cria o gráfico usando a GD
$width = 800;
$height = 600;
$image = imagecreate($width, $height);
$background = imagecolorallocate($image, 255, 255, 255);
$color1 = imagecolorallocate($image, 255, 0, 0);
$color2 = imagecolorallocate($image, 0, 0, 255);

// Desenha os eixos
imageline($image, 50, $height - 50, $width - 50, $height - 50, 0);
imageline($image, 50, $height - 50, 50, 50, 0);

// Desenha os gráficos
for ($i = 0; $i < count($t) - 1; $i++) {
    $x1 = 50 + ($t[$i] - $t0) / (100.0 - $t0)
($width - 100);
$y1 = $height - 50 - $theta[$i] / 0.2 * ($height - 100);
$x2 = 50 + ($t[$i + 1] - $t0) / (100.0 - $t0) * ($width - 100);
$y2 = $height - 50 - $theta[$i + 1] / 0.2 * ($height - 100);
imageline($image, $x1, $y1, $x2, $y2, $color1);
}
for ($i = 0; $i < count($t) - 1; $i++) {
$x1 = 50 + ($t[$i] - $t0) / (100.0 - $t0) * ($width - 100);
$y1 = $height - 50 - $w[$i] / 20.0 * ($height - 100);
$x2 = 50 + ($t[$i + 1] - $t0) / (100.0 - $t0) * ($width - 100);
$y2 = $height - 50 - $w[$i + 1] / 20.0 * ($height - 100);
imageline($image, $x1, $y1, $x2, $y2, $color2);
}
// Salva o gráfico em um arquivo
imagepng($image, "plot.png");

// Limpa a memória
imagedestroy($image);

?>