Básico HTML com Ajax com PHP

<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
    <meta charset="UTF-8">
    <title>Usando Ajax</title>
</head>
<body>
    <form id="formulario_contato">
        <input type="text" name="nome" id="nome" required />
        <input type="email" name="email" id="email" required />
        <textarea name="message" id="message"></textarea>
        <input type="submit" name="enviar" value="Enviar" />
    </form>

    <script src="jquery.min.js"></script>
    <script>
        $(function(){
            $("#formulario_contato").on('submit', function(event){
                event.preventDefault();
                // Pegando os dados
                var nome = $("#nome").val();
                var email = $("#email").val();
                var message = $("#message").val();
                // enviando o request
                $.ajax({
                    url: 'http://meusite.com.br/phpmailer.php',
                    type: 'POST',
                    dataType: 'json',
                    data: {nome:nome, email:email, message:message},
                    success: function(data){
                        console.log(data);
                    }
                });
            });
        });
    </script>
</body>
</html>