F(x)=∫f(x)dx  тогда из данного уравнения:
F(x^3)-F(x)=1  продифференцируем обе части уравнения:
3x^2*f(x^3)-f(x)=0  перенесем f(x) в правую часть и домножим на x:
3x^3*f(x^3)=x*f(x)  введем функцию g(x)=x*f(x) и перепишем уравнение в виде:
g(x)=3g(x^3) и тут у меня не хватает опыта и вообще знаний для общего решения, но вспомним что ln(x^n)=n*lnx
и заметим что 1/lnx=3/ln(x^3)  домножая на числовой коэффициент С получим:
g(x)=C/lnx
f(x)=g(x)/x=C/(x*lnx)
F(x)=C*∫dx/(x*lnx) очевидная замена  u=lnx  и:
F(x)=C*ln(lnx)  (опустим +С1 выбрав вместо него 0  т.к. определенный интеграл от него не зависит)
F(x^3)-F(x)=C*ln(3*lnx)-C*ln(lnx)=C*ln3=1
тогда C=1/ln3  и в результате одна из таких функций выглядит так:


f(x)=1/(x*lnx*ln3)
в принципе для решения можно просто сказать
можно заметить что f(x) имеет такой вид, и просто проверить это равенство