Task 56

\documentclass{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{esvect}

\begin{document}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
 \pagenumbering{arabic}

  %Вопрос 56%
  \section{Докажите теоремы о производной линейной комбинации и произведения функций. Приведите примеры.}
   \begin{enumerate}
       \item\textbf{Теорема 1.} Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в $x$, а $c$ - произвольная константа, тогда: $$(cf(x))'=cf'(x)$$
       \textbf{Доказательство.} $\lim_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{cf(x+\bigtriangleup x)-cf(x)}{\bigtriangleup x}$ = $c \lim_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}$ = $cf'(x)$ $\blacksquare$
       \\\textbf{Пример.} $(5x^2)' = 5x^2'$
       \item\textbf{Теорема 2.} Пусть функция $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в $x$, тогда: $$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$$
       \textbf{Доказательство.} $\lim_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{(f(x+\bigtriangleup x)+g(x+\bigtriangleup x))-(f(x)+g(x))}{\bigtriangleup x}$ = $\lim_{\bigtriangleup x\to 0}\Big(\frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}+\frac{g(x+\bigtriangleup x)-g(x)}{\bigtriangleup x}\Big)$ = $f'(x)+g'(x)$ $\blacksquare$
       \\ \textbf{Пример.} $(x^3 + x^2)' = x^3' +x^2'$
       \item\textbf{Теорема 3.} Пусть функция $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в $x$, тогда: $$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
       \textbf{Доказательство.} $\lim_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{f(x+\bigtriangleup x)g(x+\bigtriangleup x)-f(x)g(x)}{\bigtriangleup x}$ = \\$\lim_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{f(x+\bigtriangleup x)g(x+\bigtriangleup x)-f(x)g(x+\bigtriangleup x) +f(x)g(x+\bigtriangleup x)-f(x)g(x)}{\bigtriangleup x}$ = \\$\lim_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{f(x+\bigtriangleup x)g(x+\bigtriangleup x)-f(x)g(x+\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x}+\frac{f(x)g(x+\bigtriangleup x)-f(x)g(x)}{\bigtriangleup x}$ =    \\$\lim_{\bigtriangleup x\to 0}g(x+\bigtriangleup x)\lim_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}+f(x)\lim_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{g(x+\bigtriangleup x)-g(x)}{\bigtriangleup x}$=\\$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ $\blacksquare$
       \\ \textbf{Пример.} $((x^2)(x+2))' = x^2'(x+2)+x^2(x+2)'$

   \end{enumerate}

\end{document}