\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}

\newtheorem{tm}{Teorem}
\newtheorem{lem}{Lema}

\title{Problemi s ortocentrom}
\author{Krešimir Sinković}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle\thispagestyle{empty}
\newpage

\begin{abstract}
Ovo je neznatno proširena verzija dvaju članaka iz Matematičko-fizičkog lista istog naslova. U tim člancima prikazuju se tri teorema o ortocentru iz knjige "Trokut i kružnica" profesora Dominika Palmana \cite{8}, koji vrijede samo za šiljastokutne trokute. Pokazuje se da za tupokutne trokute treba izmijeniti jedan predznak u danim formulama da bi one postale točne i u ovom slučaju. Slične pogreške otkrivene su u poznatoj Johnsonovoj knjizi "Advanced Euclidean Geometry" \cite{6} i u talijanskoj knjizi "Il Problema Geometrico - Dal compasso al Cabri" autora D'Ignazio i Suppa \cite{5}. Nadopunjuje se i rješenje profesora Marića \cite{7} problema o površini trokuta kome su poznate duljine stranica njegovog ortičkog trokuta. Završava se poboljšanjem nekih tvrdnji o ortocentru iz nekih dokumenata na Internetu. Ova verzija na mreži omogućava provjeru svih tvrdnji u priloženim Mathematica i Maple V bilježnicama (eng. notebooks), a slike su u boji i dinamičke jer su nacrtane u programu The Geometer's Sketchpad.
\end{abstract}
\newpage

\tableofcontents
\newpage

\section{Prvi problem o ortocentru}
U knjizi "Trokut i kružnica" na 92. stranici u teoremu 11.10 tvrdi se sljedeće:
\begin{tm}(teorem 11.10 u \cite{8}). \\
Neka su $D$, $E$ i $F$ ortogonalne projekcije vrhova trokuta $ABC$ na pravce njegovih stranica $BC$, $CA$ i $AB$ . Neka je $R$ radijus opisane kružnice tog trokuta. Udaljenost $\arrowvert OH\arrowvert$ između njegovog središta opisane kružnice $O$ i ortocentra $H$ dana je s
\begin{equation} \arrowvert OH \arrowvert ^2=R^2-2\cdot\arrowvert AH\arrowvert\cdot\arrowvert HD\arrowvert ,  \\ \end{equation}
\begin{equation} \arrowvert OH \arrowvert ^2=R^2-2\cdot\arrowvert BH\arrowvert\cdot\arrowvert HE\arrowvert , \\ \end{equation}
\begin{equation} \arrowvert OH \arrowvert ^2=R^2-2\cdot\arrowvert CH\arrowvert\cdot\arrowvert HF\arrowvert . \\ \end{equation}
ili s
\begin{equation}  \arrowvert OH \arrowvert ^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2), \end{equation}
\end{tm}
Očito je da formule (1), (2) i (3) nisu ispravne jer bi iz njih slijedilo da udaljenost  $\arrowvert  OH\arrowvert $ ne može biti veća od $R$ (tj. da ortocentar trokuta uvijek leži unutar njemu opisane kružnice), što za tupokutne trokute ne vrijedi. U to se možemo uvjeriti i tako da na računalu u programu The Geometer's Sketchpad (ili kratko GSP) nacrtamo trokut $ABC$, točke $D$, $E$, $F$ nožišta visina), središte opisane kružnice $O$, ortocentar $H$, oodredimo sve dužine koje se pojavljuju u gornjim formulama i izračunamo razlike (npr. $\arrowvert OH\arrowvert 2 + 2 \arrowvert AH\arrowvert  \arrowvert HD\arrowvert - R2$). Kada mičemo točke, nije točno da su razlike uvijek jednake nuli. Čim je trokut $ABC$ tupokutan, dobivamo isti pozitivan broj za sve tri razlike (vidi sliku\ref{slika1}).

\begin{center}
\includegraphics[width=130mm]{slika1}\\
Za tupokutan trokut $ABC$ formule (1) - (3) ne vrijede.
\label{slika1}
\end{center}
Kako se izvući iz ovih poteškoća? Moramo koristiti relativne mjerne brojeve dužina umjesto njihovih duljina (vidi stranicu 3 u \cite{8}). Ako je $[AB]_l$ oznaka za relativni mjerni broj dužine $AB$ na orijentiranom pravcu $l$, onda ispravljeni prvi dio teorema 11.10 iz \cite{8} glasi ovako:
\begin{tm}(Popravljeni prvi dio teorema 11.10).\\
Za udaljenost $\arrowvert OH\arrowvert$ između središta opisane kružnice $O$ i ortocentra $H$ trokuta $ABC$ vrijedi
\begin{equation} \arrowvert OH \arrowvert ^2=R^2-2\cdot\arrowvert AH\arrowvert _{AH}\cdot\arrowvert HD\arrowvert _{AH} ,  \\ \end{equation}
\begin{equation} \arrowvert OH \arrowvert ^2=R^2-2\cdot\arrowvert BH\arrowvert _{BH}\cdot\arrowvert HE\arrowvert _{BH} ,  \\ \end{equation}
\begin{equation} \arrowvert OH \arrowvert ^2=R^2-2\cdot\arrowvert CH\arrowvert _{CH}\cdot\arrowvert HF\arrowvert _{CH} ,  \\ \end{equation}
\end{tm}
Da dokažemo teorem 2, prvo ćemo dokazati sljedeću lemu.
\begin{lem}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Kut pri vrhu $C$ veći je od $90^{\circ}$ onda i samo onda ako je točka $F$između točaka $A$ i $B$ i ortocentar $H$ je izvan dužine $\overline{CF}$
\item Ako je kut pri vrhu $C$ veći od $90^{\circ}$, onda toÄŤka $D$ leži između točaka $A$ i $H$ i točka $E$ leži između točaka $B$ i $H$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{lem}
\emph{Dokaz.} Odaberimo pravokutni koordinatni sustav tako da je . Parametri $f$ i $g$ su kotangensi polovica kutova $A$ i $B$, a $r$ je radijus upisane kružnice trokuta $ABC$. Primijetimo da su$ f, g$ i $r$ povezani s duljinama stranica $a, b$ i $c$ ovako:
$$f=\frac{(a+ b+c)(b+c-a)}{4 S},$$
$$g=\frac{(a + b + c) (a - b + c)}{4 S},$$
$$r=\frac{2 S}{a+b+c},$$
gdje je
$$S=\frac{\sqrt{(a + b + c) (b + c - a) (c + a - b) (a + b - c)}}{4},$$
Obrnuto,
$$ a=\frac{r f (g^2+1)}{f g -1}, b=\frac{r g (f^2+1)}{f g-1}, c=r(f+g).$$
Ovakav odabir koordinata točaka i način dokazivanja uz pomoć računala, koji ćemo stalno koristiti, detaljno su objašnjeni u sljedećim člancima: \cite{2}, \cite{3}, \cite{4} i \cite{1}. \\
(a)Koordinate toÄŤaka $D, E, F, H$ i $O$ su:
$$\left( \frac{4 g^2 r(f+g)}{g^2+1)^2}, \frac{2 g r(f+g)(g^2-1)}{(g^2+1)^2}\right),$$
$$\left( \frac{r(f+g)(f^2-1)^2}{(f^2+1)^2}, \frac{2 f r(f+g)(f^2-1)}{(f^2+1)^2}\right),$$
$$\left( \frac{g r(f^2-1)}{f g-1},0\right) ,$$
$$\left( \frac{g r(f^2-1)}{f g-1}, \frac{r(f^2-1)(g^2-1)}{2(f g-1)}\right) ,$$
$$\left( \frac{r(f+g)}{2}, \frac{r(f+g+f g-1)(f+g-f g +1)}{4(f g-1)}\right), $$
Odredimo realni broj w u kojem točka $F$ dijeli duĹľinu $\overline{AB}$. Drugačije rečeno, treba odrediti broj $w$ tako da je $(x_A+q x_B)/(1+w)=x_F$ i $(y_A+q y_B)/(1+w)=y_F$, gdje su $x_P$ i $y_P$ prva i druga koordinata točke $P$. Dobije se $w = (b^2 + c^2 - a^2) / (a^2 + c^2 - b^2)$. Slično se pokazuje da ortocentar $H$ dijeli duĹľinu $\overline{CF}$ u omjeru
$$v= \frac{2 c^2(a^2 + b^2 - c^2)}{(b^2 + c^2 - a^2) (a^2 + c^2 - b^2)}.$$
Ako je kut pri vrhu $C$ veći od $90^{\circ}$, onda je broj $a^2 + b^2 - c^2$ negativan, a brojevi $b^2 + c^2 - a^2$ i $a^2 + c^2 - b^2$ su pozitivni. Dakle, broj $w$ je pozitivan i točka $F$ leĹľi izmeÄ‘u $A$ i $B$. S druge strane, broj $v$ je negativan pa je ortocentar $H$ izvan duĹľine $\overline{CF}$.\\
Obrnuto, ako točka $F$ leži izmeÄ‘u točaka $A$ i $B$ i ortocentar $H$ je izvan dužine $\overline{CF}$, onda je $w>0$ i $v<0$, što vodi do zaključka da je $a^2 + b^2 - c^2<0$ pa je kut pri vrhu $C$ veći od $90^{\circ}$.\\
(b) Ako  je kut pri vrhu $C$ veći od $90^{\circ}$, onda je broj  $a^2 + b^2 - c^2$ negativan, a brojevi $b^2 + c^2 - a^2$ i $a^2 + c^2 - b^2$ su pozitivni. Budući da točke $D$ i $E$ dijele dužine $\overline{AH}$ i $\overline{BH}$ u pozitivnim omjerima
$$\frac{16 S^2}{c^2+a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)}$$
zaključujemo da točka $D$ leži izmeÄ‘u $A$ i $H$ i da točka $E$ leži izmeÄ‘u $B$ i $H$.
\begin{lem} Ortocentar $H$ je unutar kružnice opisane trokutu $ABC$, na njoj ili izvan nje, već prema tome je li taj trokut šiljastokutan, pravokutan ili tupokutan.
\end{lem}
\emph{Dokaz.} Izračunamo li $R^2-\arrowvert OH\arrowvert ^2$, dobivamo
$$\frac{(b^2 + c^2 - a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{16 S^2}$$
Dakle, ako je $H$ unutar opisane kružnice, onda je $R >\arrowvert OH\arrowvert$ pa je gornja razlika pozitivna, što je moguće jedino ako su sve tri zagrade u brojniku pozitivne, tj. ako je $ABC$ šiljastokutan. Obrat očito također vrijedi. \\
Ako je $H$ na opisanoj kružnici (tj. $R =\arrowvert OH\arrowvert$), onda jedna od zagrada u brojniku mora biti nula, što znači da je trokut pravokutan. To zaključivanje očigledno se može i obrnuti.\\
I na kraju, ako je ortocentar $H$ izvan opisane kružnice, onda je $\arrowvert OH\arrowvert > R$. Tada brojnik gornjeg izraza mora biti negativan, što je moguće jedino ako je jedna od njegovih zagrada negativna, a ostale dvije su pozitivne. Dakle, tada je trokut tupokutan. \\
Obrnuto, ako je trokut $ABC$ tupokutan, samo jedna od zagrada je negativna, a preostale dvije su pozitivne. Tada je $\arrowvert OH\arrowvert > R$ pa ortocentar $H$ leži izvan opisane kružnice.\\
\emph{Dokaz teorema 2}. Neka pravac visine $AH$ siječe opisanu kružnicu, osim u točki $A$, još i u točki $D_0$. \\
Ako je trokut $ABC$ šiljastokutan, onda njegov ortocentar $H$ leži unutar opisane kružnice. Potencija točke $H$ s obzirom na tu opisanu kružnicu iznosi $\arrowvert AH\arrowvert \cdot \arrowvert HD_0\arrowvert = R^2 - \arrowvert OH\arrowvert ^2$. Kako prema teoremu 11.1 u \cite{8} vrijedi $\arrowvert HD_0\arrowvert = 2 \cdot \arrowvert HD\arrowvert $, gornja jednakost postaje
$$ \arrowvert AH\arrowvert \cdot 2 \cdot \arrowvert HD\arrowvert = R^2 - \arrowvert OH\arrowvert ^2.$$
Stoga što u šiljastokutnom trokutu ortocentar$ H$ leži na dužini $\overline{AD}$, sada vrijedi $\arrowvert AH\arrowvert = [AH]_{AH}$ i $\arrowvert HD\arrowvert = [HD]_{AH}$, što odmah povlači relaciju (5).\\
Ako je trokut $ABC$ pravokutan, onda se ortocentar nalazi u jednom od vrhova i dvije od točaka$ D, E$ i $F$ također su u tom vrhu, a središte opisane kružnice je u polovištu nasuprotne stranice i vrijedi $\arrowvert OH\arrowvert = R$. Zbog toga su produkti $2 \cdot [AH]_{AH} \cdot [HD]_{AH}, 2 \cdot [BH]_{BH} \cdot [HE]_{BH}$ i $2 \cdot [CH]_{CH} \cdot [HF]_{CH}$ jednaki nuli i formule (5) - (7) vrijede. \\
Ako je trokut $ABC$ tupokutan, onda je ortocentar $H$ izvan opisane kružnice. Dakle, njegova potencija s obzirom na opisanu kružnicu iznosi $\arrowvert AH\arrowvert \cdot \arrowvert HD_0\arrowvert  = \arrowvert OH\arrowvert ^2 - R^2$. Kao i malo prije za šiljastokutne trokute, lijeva strana je $2 \cdot \arrowvert AH\arrowvert  \cdot \arrowvert HD\arrowvert$ . S druge strane, prema lemi 1, $[AH]_{AH} = \arrowvert AH\arrowvert$  i $[HD]_{AH} = -\arrowvert HD\arrowvert$  pa opet dobivamo formulu (5). Formule (6) i (7) dobivaju se slično.
\begin{center}
\includegraphics[width=130mm]{slika2}\\
Modificirana potencija točke u odnosu na kružnicu.\\
\label{slika2}
\end{center}

\emph{Napomena.} \begin{enumerate}
\item[(a)] Ovo je zapravo dokaz iz Palmanove knjige, malo modificiran. No, ako primijetimo da je uvijek
$$[AH]_{AH} \cdot [HD_0]_{AH}=R^2-\arrowvert OH\arrowvert ^2,$$
(tj. da za "modificiranu" potenciju točke $X$ u odnosu na kružnicu radijusa $R$ sa središtem u točki $O$ na slici 2 uvijek vrijedi $[NX]_{MN} \cdot [XM]_{MN} = R^2 - \arrowvert OX\arrowvert ^2$), onda se Palmanov dokaz može doslovno prepisati ovako:
$$[AH]_{AH} \cdot [HD_0]_{AH}=R^2-\arrowvert OH\arrowvert ^2,$$
i $$[HD_0]_{AH}=2 \cdot [HD]_{AH}$$
zajedno daju relaciju (5) i to vrijedi bez obzira na kutove trokuta $ABC$. Dakle, lema 1 nam nije potrebna!

\item[(b)] Drugi način popravka prvog dijela teorema 1 je da stavimo
$$\frac{\arrowvert \arrowvert HO\arrowvert ^2 - R^2\arrowvert}{2}=\arrowvert AH\arrowvert \cdot \arrowvert HD\arrowvert= \arrowvert BH\arrowvert \cdot \arrowvert HE\arrowvert=\arrowvert CH\arrowvert \cdot \arrowvert HF\arrowvert .$$
Mana tog oblika je to što s njime nemamo eksplicitni izraz za udaljenost $\arrowvert HO\arrowvert$ ortocentra od središta opisane kružnice.

\item[(c)] Uz pomoć računala lako se može dokazati sljedeći djelomični obrat formule iz (b). Za točku $P$ ravnine različitu od vrhova $A, B$ i $C$ trokuta $ABC$, presjeke pravaca $AP$, $BP$ i $CP$ redom s pravcima $BC, CA$ i$ AB$ označavamo s $aP, bP$ i $cP$.
\begin{tm} Neka trokut ABC nije pravokutan. Njegov ortocentar H je jedina točka P ravnine različita od vrhova A, B i C za koju vrijedi
$$\frac{\arrowvert \arrowvert PO\arrowvert ^2 - R^2\arrowvert}{2}=\arrowvert AP\arrowvert \cdot \arrowvert P aP\arrowvert= \arrowvert BP\arrowvert \cdot \arrowvert P bP\arrowvert=\arrowvert CP\arrowvert \cdot \arrowvert P cP\arrowvert .$$
\end{tm}
U prethodnom teoremu nije dovoljno tražiti samo da je
$$\arrowvert AP\arrowvert \cdot \arrowvert P aP\arrowvert= \arrowvert BP\arrowvert \cdot \arrowvert P bP\arrowvert=\arrowvert CP\arrowvert \cdot \arrowvert P cP\arrowvert$$
jer za trokut u kojem je $f = 2, g = 5, r = 1$ postoje čak tri točke različite od ortocentra $H(5/3, 4)$ za koje vrijedi gornja dvostruka jednakost. Najjednostavnija takva točka je
$$\left(\frac{256 + 20 m + 18 m^2}{33},m\right) ,$$
za $m = k/54 - 2129/(18k)$ i $k = (388800 + 3\sqrt{45746138067})^{1/3}$
\end{enumerate}
\newpage

\section{Drugi problem o ortocentru}
U sljedećem teoremu 11.11 iz knjige \cite{8} piše:
\begin{tm}(teorem 11.11 u \cite{8})\\
Neka su $D, E$ i $F$ ortogonalne projekcije vrhova trokuta $ABC$ na pravce njegovih stranica $BC, CA$ i $AB$. Neka je $R$ radijus opisane kružnice tog trokuta, a $r$ radijus njemu upisane kružnice. Udaljenost $\arrowvert IH\arrowvert$ između njegovog središta upisane kružnice $I$ i ortocentra $H$ dana je s
\begin{equation} \arrowvert IH\arrowvert ^2= 2 r^2 - \arrowvert AH\arrowvert \cdot \arrowvert HD\arrowvert ,\end{equation}
\begin{equation} \arrowvert IH\arrowvert ^2= 2 r^2 - \arrowvert BH\arrowvert \cdot \arrowvert HE\arrowvert ,\end{equation}
\begin{equation} \arrowvert IH\arrowvert ^2= 2 r^2 - \arrowvert CH\arrowvert \cdot \arrowvert HF\arrowvert ,\end{equation}
ili s
\begin{equation} \arrowvert IH\arrowvert ^2= 2 (r^2+ 2 R^2)- 1/2(a^2+b^2+c^2)\end{equation}
\end{tm}
Očito je da formule (8), (9) i (11) nisu ispravne jer bi iz njih slijedilo da udaljenost $\arrowvert IH\arrowvert $ ne može biti veća od $r\sqrt{2}$, što za tupokutne jednakokračne trokute kod kojih je ortocentar udaljen od vrha tupog kuta za više od $r\sqrt{2}$ ne vrijedi. U to se možemo uvjeriti i tako da na računalu u \emph{Geometer's Sketchpadu} nacrtamo trokut $ABC$, točke $D, E, F$, zatim središte upisane kružnice $I$ i ortocentar $H$, a onda odredimo sve dužine koje se pojavljuju u gornjim formulama i izračunamo razlike (npr. $\arrowvert IH\arrowvert ^2 + \arrowvert AH\arrowvert \cdot \arrowvert HD\arrowvert - 2 r^2$). Kada pomičemo točke, nije točno da su te razlike uvijek jednake nuli. Čim je trokut $ABC$ tupokutan, gornje razlike nisu nula, već su sve tri jednake istom pozitivnom broju (vidi sliku \ref{slika3}).
\begin{center}
\includegraphics[width=130mm]{slika3}\\
Ako je kut $A$ tup, formule (8) - (11) ne vrijede.\\
\label{slika3}
\end{center}
Ako se prisjetimo načina kako smo se izvukli iz problema u prvom teoremu, dolazimo na ideju da ispravak prvog dijela formuliramo ovako:
\begin{tm}(Popravljeni prvi dio teorema 11.11 iz \cite{8}). \\
Udaljenost $\arrowvert IH\arrowvert$ između središta upisane kružnice $I$ i ortocentra $H$ trokuta $ABC$ dana je s
\begin{equation}\arrowvert IH \arrowvert ^2= 2 r^2 -[AH]_{AH}\cdot [HD]_{AH} \end{equation}
\begin{equation}\arrowvert IH \arrowvert ^2= 2 r^2 -[BH]_{BH}\cdot [HE]_{BH} \end{equation}
\begin{equation}\arrowvert IH \arrowvert ^2= 2 r^2 -[CH]_{CH}\cdot [HF]_{CH} \end{equation}
\end{tm}
\emph{Dokaz teorema 5.} Po teoremu 2 imamo
$$[AH]_{AH}\cdot [HD]_{AH}=[BH]_{BH}\cdot [HE]_{BH}=$$
$$[CH]_{CH}\cdot [HF]_{CH}=\frac{R^2-\arrowvert OH\arrowvert ^2}{2}$$
Dakle, dovoljno je pokazati
$$2\arrowvert IH\arrowvert ^2 -\arrowvert OH\arrowvert ^2+ R^2= 4 r^2 (*)$$
Budući da (uz oznake kao u lemi 1) središte upisane kružnice $I$ ima koordinate ($fr, r$), a koordinate središta opisane kružnice $O$ i ortocentra $H$ znamo iz dokaza prvog dijela leme 1, lako izračunamo, "pješke" ili uz pomoć računala, da je
$$\arrowvert IH\arrowvert ^2=\frac{r^2 M_1}{4(f g -1)^2}$$
$$\arrowvert OH\arrowvert ^2=\frac{r^2 M_2}{16(f g -1)^2}$$
i
$$R^2=\frac{r^2 M_3}{16(f g-1)^2},$$
gdje su $M1, M2$ i $M3$ polinomi $f^4 g^4 - 2f^4 g^2 - 4f^3 g^3 - 2f^2 g^4 + f^4 + 4f^3g + 12f^2 g^2 + 4f g^3 + g^4 - 2f^2 - 20f g - 2g^2 + 9, 9 + 9f^4 g^4 - 14f^4 g^2 - 32f^3 g^3 + 9f^4 - 14f^2 g^4 + 32f^3 g + 36f^2 g^2 + 32f g^3 + 9g^4 - 14f^2 - 32f g - 14g^2$ i $(f^2 + 1)^2(g^2 + 1)^2$. Jednakost (*) je posljedica relacije
$$8 M_1 - M_2 + M_3 = 64 (f g - 1)^2$$
koju lako dokazujemo jer se radi o jednostavnim operacijama s polinomima.\\
\emph{Napomena.}\begin{enumerate}
\item[(a)] Drugi način popravka prvog dijela teorema 4 je da stavimo $\arrowvert \arrowvert HI\arrowvert 2 - 2r^2\arrowvert = \arrowvert AH\arrowvert \cdot \arrowvert HD\arrowvert = \arrowvert BH\arrowvert \cdot \arrowvert HE\arrowvert = \arrowvert CH\arrowvert \cdot \arrowvert HF\arrowvert$. Loša strana tog oblika je to što nemamo eksplicitni izraz za udaljenost $\arrowvert HI\arrowvert$ ortocentra od središta upisane kružnice.
\item[(b)] Na računalu se lako dokazuje ovaj obrat formule iz (a). Za pojašnjenje oznaka aP, bP i cP vidi napomenu iza dokaza teorema 2.
\begin{tm}Ortocentar H je jedina točka P ravnine trokuta ABC za koju vrijedi trostruka jednakost $arrowvert  \arrowvert PI\arrowvert 2 - 2r2\arrowvert  = \arrowvert AP\arrowvert  \cdot \arrowvert P aP\arrowvert  = \arrowvert BP\arrowvert  \cdot \arrowvert P bP\arrowvert  = \arrowvert CP\arrowvert  \cdot \arrowvert P cP\arrowvert $.
\end{tm}
\end{enumerate}
\newpage

\section{Treći problem o ortocentru}
I naredni Teorem 11.12 knjige \cite{8} ima slične poteškoće. U njemu se tvrdi sljedeće:
\begin{tm}(teorem 11.12 u \cite{8}). \\
Zbroj udaljenosti ortocentra $H$ od vrhova danog trokuta $ABC$ jednak je dvostrukom zbroju promjera opisane i upisane kružnice toga trokuta,
$$\arrowvert HA\arrowvert +\arrowvert HB\arrowvert +\arrowvert HC\arrowvert =2(R+r) $$
Zbroj udaljenosti središta $O$ opisane kružnice od stranica danog trokuta $ABC$ (tj. do točaka $A', B'$ i $C'$ koje su polovišta stranica) jednaka je zbroju polumjera opisane i upisane kružnice,
$$\arrowvert OA'\arrowvert  + \arrowvert OB'\arrowvert  + \arrowvert OC'\arrowvert = R + r. $$
\end{tm}
Prvi dio iskaza teorema sadrži pogrešku jer je promjer kružnice jednak dvostrukom njezinom polumjeru. Dakle, trebalo bi zapravo reći: "…jednak je zbroju promjera opisane i upisane kružnice tog trokuta" (tj. treba izbaciti riječ "dvostrukom"). Pogrešna tvrdnja izražena formulom (12) dana je u knjizi \cite{8} pod nazivom Carnotov teorem već ranije na 78. stranici. \\
Ako na računalu u \emph{Geometer's Sketchpadu} nacrtamo trokut $ABC$, središta $I$ i $O$ upisane i opisane kružnice, ortocentar $H$, odredimo sve dužine koje se pojavljuju u formuli (11) i izračunamo razliku $\arrowvert HA\arrowvert  + \arrowvert HB\arrowvert  + \arrowvert HC\arrowvert - 2 (R + r)$, vidimo da ona nije uvijek jednaka nuli kada mičemo točke. Čim je trokut $ABC$ tupokutan, gornja razlika je različita od nule (vidi sliku \ref{slika4}). \\
\begin{center}
\includegraphics[width=130mm]{slika4}\\
Ako je kut $C$ tup, formula (11) ne vrijedi,
ali vrijedi jednakost $\arrowvert HA\arrowvert  + \arrowvert HB\arrowvert  + \arrowvert HC\arrowvert - 2 (R + r)$.\\
\label{slika4}
\end{center}
Promotrimo li malo pažljivije dobivene brojeve u slučaju da je neki kut tup, vidimo da gornju razliku treba smanjiti, što nas navodi na ideju da ispravak formuliramo ovako:

\begin{tm}(Popravljeni teorem 11.12 iz \cite{8}). \\
\begin{enumerate}
    \item[(a)] Trokut $ABC$ nije tupokutan onda i samo onda ako je zbroj udaljenosti ortocentra $H$ od vrhova jednak zbroju promjera opisane i upisane kružnice tog trokuta,
\begin{equation}\arrowvert HA\arrowvert  + \arrowvert HB\arrowvert  + \arrowvert HC\arrowvert = 2 (R + r)\end{equation}
    \item[(b)] Trokut $ABC$ nije tupokutan onda i samo onda ako je zbroj udaljenosti središta opisane kružnice O od polovišta stranica jednak zbroju polumjera opisane i upisane kružnice tog trokuta,
\begin{equation}\arrowvert OA'\arrowvert  + \arrowvert OB'\arrowvert  + \arrowvert OC'\arrowvert = R + r\end{equation}
    \item[(c)] Trokut ABC nema šiljasti kut u vrhu C onda i samo onda ako je
\begin{equation}\arrowvert HA\arrowvert  + \arrowvert HB\arrowvert  - \arrowvert HC\arrowvert = 2 (R + r)\end{equation}
    \item[(d)] Trokut ABC nema šiljasti kut u vrhu C onda i samo onda ako je
\begin{equation}\arrowvert OA'\arrowvert  + \arrowvert OB'\arrowvert  - \arrowvert OC'\arrowvert = R + r\end{equation}
\end{enumerate}
\end{tm}
\emph{Dokaz teorema 8.} Kako u trokutu najviše jedan kut može biti veći ili jednak kutu od $90^{\circ}$, možemo pretpostaviti da su kutovi $A$ i $B$ šiljasti. Zato u odabiru koordinata pomoću veličina $f, g$ i $r$ (kotangensi kuteva $A/2$ i $B/2$ i polumjer upisane kružnice) možemo uzeti da je $f > 1$ i $g > 1$. Lako se izračuna da je
$$\arrowvert HA\arrowvert=\frac{r(f^2-1)(g^2+1)}{2(f g-1)},$$
$$\arrowvert HB\arrowvert=\frac{r(f^2+1)(g^2-1)}{2(f g-1)},$$
$$\arrowvert HC\arrowvert=\frac{r(f g+f+g-1)\arrowvert f g-f-g-1\arrowvert}{2(f g-1)}$$
i
$$R=\frac{r(f^2+1)(g^2+1)}{4(f g-1)}$$
\begin{enumerate}
    \item[(a)] Ako trokut $ABC$ nije tupokutan, onda je prema dolje dokazanoj lemi 3 udaljenost $\arrowvert HC\arrowvert$ jednaka
\end{enumerate}
\newpage

\section{Završne napomene}
Poteškoće u teoremima 11.10, 11.11 i 11.12 iz \cite{8} otkrivene su na predavanjima autora u sklopu kolegija "Matematika računalom" na studiju matematike na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, gdje studenti uče kako koristiti računala u rješavanju matematičkih problema. Poteškoće iz Johnsonove knjige otkrivene su jednostavnom provjerom što o sličnim temama pišu drugi jer sam pretpostavljao da su pogreške naslijeđene. Primjeri profesora Marića i Wilsona pokazuju da tupokutni trokuti ipak nisu zanemareni, iako su malo problematičniji od šiljastokutnih i pravokutnih trokuta.\\

Dakle, knjige i članke iz matematike (a pogotovo iz geometrije) treba pažljivo čitati i svaku tvrdnju detaljno analizirati i po mogućnosti za svaku nacrtati slike u nekom od programa za dinamičku geometriju da se vidi kako se tvrdnja ponaša za različite položaje promatranih objekata.\\

Isto tako, knjige i članke pišu samo ljudi pa je prirodno očekivati da ponekad imaju grešaka.
\newpage

\input{literatura.tex}
\end{document}

\begin{thebibliography}{100}
\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{Literatura}}
\bibitem[1]{1} M. Bator, Z. Čerin, M. Čulav, Analitička geometrija ravnine računalom, Matematičko-fizički list (Zagreb), 54 (2003./2004.), br. 1, 23-31.
\bibitem[2]{2} Z. Čerin, S. Vlah, Rješavanje zadataka računalom, Matka (Zagreb), 10 (2001./2002.), br. 39, 198-202.
\bibitem[3]{3} Z. Čerin, S. Vlah, Primjeri upotrebe računala kod rješavanja zadataka, Matematičko-fizički list (Zagreb), 52 (2001./2002.), br. 4, 254-261
\bibitem[4]{4} Z. Čerin, S. Vlah, Još jedno rješenje drugog zadatka na 42. MMO 2001 g., Matematičko-fizički list (Zagreb), 53 (2002./2003.), br. 1, 55-56.
\bibitem[5]{5} I. D'Ignazio, E. Suppa, Il Problema Geometrico - Dal compasso al Cabri, Interlinea Editrice, Teramo, 2001.
\bibitem[6]{6} R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, New York, 1960.
\bibitem[7]{7} Anđelko Marić, Analiza jednog geometrijskog problema, Bilten seminara iz matematike za nastavnike-mentore, 13. državni susret, Trogir 5.- 8. svibnja 2004., HMD, 86 - 95.
\bibitem[8]{8} Dominik Palman, Trokut i kružnica, Element, Zagreb 1994.
\end{thebibliography}