0.9

Omega = 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 6
A = 1, 2, 3 | 3
B = 2, 4, 6 | 3
C = 1, 3, 5 | 3

AiB = 2 | 1
AiC = 1, 3 | 2
BiC = PUSTY | 0

p(A) = 1/2
p(B) = 1/2
p(C) = 1/2

p(AiB) = 1/6
p(AiC) = 1/3
p(BiC) = 0

I SPRAWDZAMY Z WZORU:
P(AiB) = p(A)*p(B)
to zbiór niezależny i sprawdzamy po kolei:

AiB:
1/6 <> 1/2*1/2 (zależne)
AiC:
1/3 <> 1/2*1/2 (zależne)
BiC:
0 <> 1/2*1/2 (zależne)

0.8
p(A) = p(B) = 2/3
P(A|B) >= 1/2 ??

P(A|B) = P(AiB)/P(B)

P(A|B) = P(AiB)/(2/3)
i musimy udowodnić, że
P(AiB)/(2/3) >= 1/2 czyli
P(AiB) >= 1/2*3/2
P(AiB) >= 1/3
Aby wyliczyć P(AiB) skorzystamy ze wzoru: P(AuB) = P(A) + P(B) - P(AiB)
przemieniamy i podstawiamy:
P(AiB) = P(A) + P(B) - P(AuB) = 2/3 + 2/3 - P(AuB) = 4/3 - P(AuB)
czyli:
P(AiB) = 4/3 - P(AuB)
czyli w naszym zadaniu
4/3 - P(AuB) >= 1/3

-P(AuB) >= 1/3 - 4/3
P(AuB) <= 4/3 - 1/3
P(AuB) <= 1 CO JEST ZAWSZE PRAWDĄ, BO P(x) ZAWSZE jest max = 1

0.7
-
Wzór na P(AuB) to P(AuB) = P(A) + P(B) - P(AiB)

i podstawiamy
P(AuB) = 0.3 + 0.6 - 0.2 = 0.7
-
P(A\B) to po prostu odejmujemy część wspólną czyli 0.9 - 0.3 = 0.7
-
Zdarzenia wyklujaczająće oznacza, że nie mogą wystąpić oba naraz więc P(AiB) = 0
dalej:
P(A\B) to po prostu P(A), czyli 3/8, bo P(AiB) = 0
P(AuB) to po prostu suma z tych zdarzeń, bo nie ma części wspólnej = 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8

0.6
Kombinacji jest mało, więc je rozpiszmy:
Jeżeli nie mogą się cyfry powtarzać:
Omega =
{
205
250
502
520
}

- Nieparzysta:
5 na końcu, więc 1/4 (tylko 205)
- Podzielna przez 3:
0 szans, żadna nie dzieli się przez 3
- większa niż 300
1/2 szans
ALE TO JAK SIĘ NIE MOGA POWTARZAĆ, NIE JSET POWIEDZIANE TO W ZADANIU SENSOWNIE.

0.5
W urnie mamy 10 kul
Interesuje nas przy losowaniu szanse na wylosowanie zielonej:
Taktyka ze zwracaniem, czyli wkładamy kule spowrotem po wylosowaniu:
Pierwsze wyciągnięcie mamy 3/10 szans na wylosowanie zielonej, następnie wkładamy kule do środka i mamy znowu 3/10 na wylosowanie zielonej,
czyli 3/10*3/10 mamy, więc mamy 9% szans na dwie zielone kule.
Teraz nie zwracamy kulki spowrotem
Za pierwszym razem mamy 3/10 szans na zieloną, następnie wyciągamy tą zieloną kule i mamy tylko 9 kul w tym dwie zielone, więc 2/9 szans na zieloną
3/10*2/9 = 6.(6)%, czyli BEZ ZWRACANIA mamy mniejsze szanse

0.4:
Losujemy ze zwracaniem:
- dwie białe ze zwracaniem:
15 kul, 4 białe
4/15*4/15 = .... policz sobie
-
15 kul, 11 czarnych
11/15*11/15 = ... policz sobie
- 11/15*4/15 = ... policz sobie
0.3:
Bez zwracania
11 kul
- 11 kul, 3 białe:
najpierw 3/11 potem 2/10 czyli 3/11*2/10 = ...
- 11 kul, 8 czarnych
najpierw 8/11 potem 7/10 czyli 8/11*7/10 = ...
- Tuta jest ciekawie
losujemy czarną czyli 8/11, a potem białą gdzie białych cały czas jest 3, ale kul liczba zmalała więc 3/10, więc 8/11*3/10 = ...
0.2:
-
Omega:
{
OOO
OOR
ORR

RRR
ROR
ROO

RRO
ORO
}
-
A =
{
OOR
ORO
ROO
}
P(A) = 3/8
B =
{
RRR
}
P(B) = 1/8
- AuB to:
{
OOR
ORO
ROO
RRR
}

P(AuB) to 1/2

AiB = PUSTY
P(AiB) = 0

A' to wszsytkie kombinacje oprócz OOR ORO ROO, czyli P(A') to 5/8
B' to wszystkie kombinacje oprócz RRR, czyli P(B') to 7/8
A\B jest tym samym co A, bo nie ma częsci wspólnej tych zbiorów więc P(A\B) = 3/8
-
Prawdopodobieństwa liczyłem od razu w poprzednim punkcie podawałem P(...)
-
P(A|B), jeżeli zajdzie A to nie może zajść B, więc P(A|B) = 0