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TRABALHO

FelipeNeto2 Jul 29th, 2019 185 Never
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  1. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  2. %   taisesantiago@gmail.com
  3. %   Modelo para artigos em Português
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  6. \documentclass[12pt]{article}
  7.  
  8. \usepackage{geometry}
  9. \usepackage{chngpage}
  10. \usepackage{graphicx}
  11. \usepackage{amsmath}
  12. \usepackage{amsfonts}
  13. \usepackage{amssymb}
  14. \usepackage{latexsym}
  15. \usepackage[brazil]{varioref}
  16. \usepackage[english,brazil]{babel}
  17. \geometry{a4paper,left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm}
  18. \usepackage[dvips]{color}
  19. \usepackage[brazilian]{babel}
  20. \usepackage[utf8]{inputenc}
  21. \usepackage[T1]{fontenc}
  22. \usepackage{lipsum}
  23. \usepackage{indentfirst}
  24.  
  25. %%%%%%%%%%Definições Teoremas %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  26.  
  27.  \newtheorem{teo}{Teorema}%[subsection]
  28.  \newtheorem{cor}[teo]{Corolário}
  29. \newtheorem{lem}[teo]{Lema}
  30. \newtheorem{prop}[teo]{Proposição}
  31. \newtheorem{defn}[teo]{Definição}
  32. \newtheorem{nota}[teo]{Notação}
  33. \newtheorem{obs}[teo]{Observação}
  34. \numberwithin{equation}{subsection}
  35. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  36.  
  37. \hoffset-1cm \voffset-1.5cm \textwidth6in \textheight9.5in
  38.  
  39. \pagestyle{empty}
  40.  
  41. \title{O conjunto de Cantor}
  42.  
  43. \author{
  44. \text{Fernando Ângelo da Silva Bastos} \\
  45. Departamento de Matem\'atica \\ Universidade Federal do Rio Grande do Norte \\ Natal, Brasil
  46. }
  47.  
  48.  
  49. \begin{document}
  50.  
  51. \maketitle \abstract{Art art art art art art art art art art art art art art art art
  52. art art art art art art art art art art art art art art art art
  53. art art art art art art art art art art art art art art art art
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  58. art art art art art art art art art art art art art art art art
  59. art art art art art art art art art art art art art.
  60.  
  61. \medskip
  62.  
  63. }
  64.  
  65. \section*{Introdução}
  66.  
  67. Art art art art art art art art art art art art art art art art
  68. art art art art art art art art art art art art art art art art
  69. art art art art art art art art art art art art art art art art
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  71. art art art art art art art art art art art art art art art art
  72. art art art art art art art art art art art art art art art art
  73. art art art art art art art art art art art art art art art art
  74. art art art art art art art art art art art art art art art art
  75. art art art art art art art art art art art art art.
  76.  
  77. \section{Conceitos preliminares}
  78. Segue abaixo alguns conceitos fundamentais para entendermos as propriedades do conjunto de Cantor.
  79.  
  80. \subsection{Conjuntos e Números Reais}
  81.  
  82. \begin{defn}
  83. Um conjunto X é dito enumerável se existe uma bijeção f : $\mathbb{N} \rightarrow X$.
  84. \end{defn}
  85.  
  86. \begin{defn}
  87.    Sejam $a,b \in \mathbb{R}$ com a<b. Então:
  88.    \newline
  89.    \newline
  90.    $[a,b] := \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\} $
  91.    \newline
  92.    $(a,b] := \{ x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$
  93.    \newline
  94.    $[a,b) := \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$
  95.    \newline
  96.    $(a,b) := \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$
  97.    \newline
  98.    $(-\infty,b] := \{ x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
  99.    \newline
  100.    $(-\infty,b) := \{ x \in \mathbb{R} : x < b\}$
  101.    \newline
  102.    $[a,+\infty) := \{ x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
  103.    \newline
  104.    $(a,+\infty) := \{ x \in \mathbb{R} : x > a\}$
  105.    \newline
  106.    $[a,a]$ é denominado intervalo degenerado
  107.    
  108. \end{defn}
  109.  
  110. \begin{defn}
  111.    Seja X um conjunto tal que X $\subset \mathbb{R}$. Dizemos que X é limitado superiormente quando existe b $\in \mathbb{R}$ tal que $x \leq b, \forall x \in X$. Analogamente, dizemos que X $\subset \mathbb{R}$ é limitado inferiormente quando existe a $\in \mathbb{R}$ tal que a $\leq x, \forall x \in X$. O número b chama-se cota superior de X e o número a chama-se cota inferior de X. Se X é limitado superior e inferiormente, dizemos que X é limitado. Isto significa que existe k>0 tal que $|x| \leq k, \forall x \in X$.
  112. \end{defn}
  113.  
  114.  
  115. \begin{teo}
  116.    (Intervalos Encaixados) Dada uma sequência decrescente:
  117.    \newline
  118.    $I_1\supset I_2 \supset I_3 \supset ... $
  119.    \newline
  120.     de intervalos não-vazios, limitados e fechados: $I_n = [a_n,b_n]$ , existe pelo menos um número c tal que c $\in I_n, \forall n \in \mathbb{N}$.
  121. \end{teo}
  122.  
  123. \subsection{Noções topológicas em $\mathbb{R}$}
  124.  
  125. \begin{defn}
  126.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um ponto a $\in$ X é um ponto interior de X se existe $\delta$>0 tal que $(a-\delta, a+\delta)\subset$ X.
  127. \end{defn}
  128.  
  129. \textbf{Notação:}
  130.    O conjunto dos pontos interiores de X será denotado por int(X).
  131.  
  132.  
  133. \begin{defn}
  134.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. O conjunto X é aberto quando todos os pontos de X são pontos interiores de X, ou seja, X = int(X).
  135. \end{defn}
  136.  
  137. \begin{prop}
  138.    Uma união qualquer de abertos é um conjunto aberto, ou seja, se $\{A_\lambda\}_\lambda_\in_L$ é uma família de conjuntos abertos, então $\underset{\lambda\in L}{\bigcup} A_\lambda$ é um conjunto aberto.
  139. \end{prop}
  140.  
  141. \begin{prop}
  142.    Sejam $A_1, A_2,...,A_N$ subconjuntos abertos de $\mathbb{R}$. Então $\bigcap\limits^N_{i=1}A_i$ é um conjunto aberto.
  143. \end{prop}
  144.  
  145. \begin{defn}
  146.    Um conjunto F $\subset \mathbb{R}$ é fechado se, e somente, $F^{C}$ é um conjunto aberto.
  147. \end{defn}
  148.  
  149. \begin{defn}
  150.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um ponto a $\in \mathbb{R}$ é um ponto de acumulação de X se para todo $\delta$ > 0, temos $(a-\delta, a+\delta) \cap (X-\{a\})\ne \varnothing$.    
  151. \end{defn}
  152.  
  153. \textbf{Notação:}
  154.    O conjunto dos pontos de acumulação de X  será denotado por X'.
  155.  
  156. \begin{defn}
  157.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. O fecho de X é o conjunto $\overline{X} = X$ $\cup$ X'.
  158. \end{defn}
  159.  
  160. \begin{defn}
  161.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um conjunto A $\subset$ X é dito denso em X se $\overline{A} = X$.
  162. \end{defn}
  163.  
  164. \begin{prop}
  165.    Seja X $\subset \mathbb{R}$. Um subconjunto A $\subset$ X é denso em X se, e somente se, para todo a $\in$ X e para todo $\epsilon > 0$, $(a-\epsilon, a+\epsilon) \cap A \ne \varnothing.$
  166. \end{prop}
  167.  
  168. \begin{defn}
  169.    Um conjunto compacto em $\mathbb{R}$ é um conjunto fechado e limitado.
  170. \end{defn}
  171.  
  172. \begin{defn}
  173.    Chama-se cobertura de um conjunto $X \subset \mathbb{R}$ a uma família C de conjuntos $C_\lambda$ cuja reunião contém X.
  174. \end{defn}
  175.  
  176. \begin{defn}
  177. Seja $X \subset \mathbb{R}$. Dizemos que um conjunto X tem medida nula se para qualquer $\epsilon > 0$, existe uma cobertura finita ou infinita enumerável de X por intervalos abertos $I_k$, isto é, $X \subset \underset{\lambda\in L}{\bigcup} I_k$  tal que $\underset{\lambda\in L}{\sum} |I_k| < \epsilon$.  
  178. \end{defn}
  179.  
  180.  
  181. \subsection{Base ternária (base 3)}
  182.  
  183. Art art art art art art art art art art art art art art art art
  184. art art art art art art art art art art art art art art art art
  185. art art art art art art art art art art art art art art art art
  186. art art art art art art art art art art art art art art art art
  187. art art art art art art art art art art art art art art art art
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  190. art art art art art art art art art art art art art art art art
  191. art art art art art art art art art art art art art.
  192.  
  193.  
  194.  
  195.  
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  197.  
  198.  
  199.  
  200.  
  201.  
  202.  
  203.  
  204.  
  205.  
  206.  
  207.  
  208.  
  209.  
  210.  
  211.  
  212.  
  213.  
  214.  
  215.  
  216.  
  217.  
  218.  
  219.  
  220.  
  221.  
  222.  
  223.  
  224.  
  225.  
  226.  
  227.  
  228.  
  229.  
  230.  
  231.  
  232.  
  233.  
  234. \section{A construção do conjunto de Cantor}
  235. Consideremos o segmento que representa o intervalo fechado $\textit{I}$ = [0,1]. No primeiro passo, dividimos $\textit{I}$ em três partes iguais e, em seguida, removemos o intervalo aberto $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$, a qual chamaremos de terço médio de $\textit{I}$. Chamemos de C1 o conjunto dos pontos restantes de $\textit{I}$. Assim, $C_1 = [0,\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},1]$.
  236. \newline
  237.  
  238. No segundo passo, dividimos em três partes iguais os dois intervalos fechados de C1 e, em seguida, removemos os intervalos abertos $(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$ e $(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$. Chamemos então de $C_2$ o conjunto dos pontos restantes de $C_1$. Ou seja, $C_2 = [0,\frac{1}{9}]\cup[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup[\frac{8}{9},1]$.
  239. \newline
  240.  
  241. Então prosseguindo indutivamente dessa maneira, de tal forma que $C_n$ é constituído dos pontos de $C_{n-1}$ retirando o terço médio aberto de $C_n$, obtemos uma sequência de conjuntos: $C_1, C_2,..., C_n,...$ tais que $\textit{I}\supset C_1 \supset C_2 \supset ... \supset C_{n-1}\supset C_n \supset$ ...
  242. \newline
  243.  
  244. Observe que $C_n$ consiste em $2^{n}$ intervalos fechados e disjuntos dois a dois.
  245.  
  246. \begin{defn}
  247.    O conjunto de Cantor $\textit{C}$ é a interseção dos conjuntos $\textit{C}_n$, obtidos através da remoção sucessiva dos terços médios abertos do intervalo $\textit{C} = [0,1]$, ou seja, $C = \bigcap\limits^\infty_{n=1}C_n$.
  248.  
  249. \end{defn}
  250.  
  251. \begin{teo}
  252.     Os elementos do conjunto de Cantor possuem expansão ternária (base 3) usando apenas os dígitos 0 e 2, ou seja,
  253.     \newline
  254.     $\textit{C} = \{x \in [0,1]: x = \sum \frac{i_n}{3^{n}}$ para $i_n = 0$ ou $i_n = 2\}$.
  255. \end{teo}
  256.  
  257. \section{Propriedades do conjunto de Cantor}
  258.  
  259. \begin{prop}
  260.    O conjunto $\textit{C}$ não é vazio.
  261. \end{prop}
  262.  
  263. \textbf{Demonstração:} Pelo Teorema 18, vimos que se um número pertencente a $\textit{I} = [0,1]$ cuja expansão ternária possui somente os dígitos 0 e 2, então esse número pertence ao conjunto de Cantor. Como $\frac{1}{4} = (0,0202...)_3$, então $\frac{1}{4} \in \textit{C}$.
  264. \newline
  265. Portanto, $\textit{C} \ne \varnothing$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\Box$
  266.  
  267. \begin{prop}
  268.    $\textit{C}$ é um conjunto fechado.
  269. \end{prop}
  270.  
  271. \textbf{Demonstração:} Sejam $(T_\lambda)_{\lambda \in \mathbb{N}}$ os intervalos retirados durante a construção de $\textit{C}$. Pela Proposição 7, $\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda$ é um conjunto aberto. Então, ${(\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda)}^{C}$ é um conjunto fechado Definição 9. Mas, $\textit{C} = {(\underset{\lambda\in \mathbb{N}}{\bigcup} T_\lambda)}^{C} \cap [0,1]$ e [0,1] é um conjunto fechado, assim pela Proposição 8 $\textit{C}$ é um conjunto fechado.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  272.  
  273. \begin{prop}
  274.    $\textit{C}$ é um conjunto compacto.
  275. \end{prop}
  276.  
  277. \textbf{Demonstração:} Temos que $\textit{I}$ é um conjunto limitado e $\textit{C} \subset \textit{I}$, então $\textit{C}$ também é limitado. Pela Proposição 20, vimos que $\textit{C}$ é fechado, e como $\textit{C}$ também é limitado, logo pela Definição 14 C é um conjunto compacto.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  278.  
  279. \begin{prop}
  280.    $\textit{C}$ é um conjunto não enumerável.
  281. \end{prop}
  282.  
  283. \textbf{Demonstração:}
  284.  
  285. Art art art art art art art art art art art art art art art art
  286. art art art art art art art art art art art art art art art art
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  290. art art art art art art art art art art art art art art art art
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  292. art art art art art art art art art art art art art art art art
  293. art art art art art art art art art art art art art.
  294.  
  295.  
  296. \begin{prop}
  297.    O conjunto de Cantor possui interior vazio, ou seja, int($\textit{C}) = \varnothing$.
  298. \end{prop}
  299.  
  300. \textbf{Demonstração:} Suponha, por absurdo, que $int(\textit{C}) \ne \varnothing$ e seja x $\in int(\textit{C})$. Então, $\exists \delta$ > 0 tal que (x-$\delta$,x+$\delta) \subset \textit{C}$ pela Definição 5.
  301. \newline
  302.  
  303. Assim, (x-$\delta$, x+$\delta) \subset C_n , \forall n \in \mathbb{N}$. Como $C_n$ é a união de $2^{n}$ intervalos disjuntos de comprimento $\frac{1}{3^{n}}$, o intervalo (x-$\delta,x+\delta$) deverá estar contido em um desses subintervalos de $C_n$. Como   $\frac{1}{3^{n}}\rightarrow 0$, então $\exists m \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{3^{n}} < \delta$. Mas, o intervalo (x-$\delta,x+\delta$) tem comprimento $2\delta > \delta>\frac{1}{3^{n}}$.
  304. \newline
  305.  
  306. Desta forma, (x-$\delta,x+\delta)$ não está contido em nenhum dos subintervalos de $C_m$, ou seja, (x-$\delta,x+\delta)\nsubseteq C_m$, o que é um absurdo.
  307. \newline
  308.  
  309. Portanto, $int(\textit{C}) = \varnothing$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $\Box$
  310.  
  311. \begin{prop}
  312.    O conjunto $\textit{C}^C$ é denso em $[0,1]$.
  313. \end{prop}
  314.  
  315. \textbf{Demonstração:}
  316. Art art art art art art art art art art art art art art art art
  317. art art art art art art art art art art art art art art art art
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  320. art art art art art art art art art art art art art art art art
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  322. art art art art art art art art art art art art art art art art
  323. art art art art art art art art art art art art art art art art
  324. art art art art art art art art art art art art art.
  325.  
  326. \begin{prop}
  327.    O conjunto de Cantor possui medida nula.
  328. \end{prop}
  329.  
  330. \textbf{Demonstração:}
  331.    Ao pararmos no n-ésimo passo da construção do conjunto de Cantor, garantiremos que $\textit{C}$ está contido na reunião de $2^{n}$ intervalos, cada um tendo comprimento $\frac{1}{3^{n}}$. Dado $\epsilon>0$, podemos tomar $n\in\mathbb{N}$ tal que $({\frac{2}{3}})^{n}<\epsilon.$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\Box$
  332.  
  333.  
  334.  
  335.  
  336.  
  337.  
  338.  
  339.  
  340. \section{Conclusão}
  341.  
  342. Art art art art art art art art art art art art art art art art
  343. art art art art art art art art art art art art art art art art
  344. art art art art art art art art art art art art art art art art
  345. art art art art art art art art art art art art art art art art
  346. art art art art art art art art art art art art art art art art
  347. art art art art art art art art art art art art art art art art
  348. art art art art art art art art art art art art art art art art
  349. art art art art art art art art art art art art art art art art
  350. art art art art art art art art art art art art art.
  351.  
  352. \begin{thebibliography}{99}
  353.  
  354. \bibitem{CD} SINGH, Simon.\textit{ Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical}. Anchor Books, New York, 307 pp., (1997).
  355.  
  356.  
  357.  
  358.  
  359. \end{thebibliography}
  360.  
  361.  
  362. \end{document}
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