matlab_3

clear
clc
% Часть 1. Критерии согласия
% Критерий согласия — это статистическое правило,
% по которому принимается или отвергается статистическая
% гипотеза о том, что исследуемая случайная величина
% подчиняется заданному эмпирическому закону распределения.

%1. Критерий согласия хи квадрат- Пирсона
% позволяет проверить значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых)
% и теоретических (ожидаемых) частот

%Равномерное a=-3, b=5
N=10000;
a = -3;
b = 5;

%1.1 генерируем выборку
X=random('Uniform', a, b, N, 1);

%1.2 Рассчитать значение статистики для критерия
X_max=max(X);
X_min=min(X);
r=floor(log2(N))+1; %кол-во инт-лов группировки
h=(X_max-X_min)/r; %длина каждого инт-ла группировки

for i = 0:r
    z(i+1) = X_min+i*h; %массив границ z инт-лов группировки
end

for i=1:r
    z1(i) = z(i+1)-h/2; %середины инт-лов полученные из границ инт-лов
end

U=hist(X,z1); %кол-во элементов в каждом интервале

%рассчитываем вер-ть попадания в i-тый интервал разбиения
for i = 1:r
    p(i) = cdf('Uniform', z(i+1), a, b) - cdf('Uniform', z(i), a, b);
end

G = 0;
for i=1:r
    %U(i) кол-во выбор. знач., попавших в i-тый интервал разбиения
    %p(i) вер-ть попадания выб.знач. в i-тый интервал разбиения
    G = G + (((U(i)-N*p(i)).^2))/(N*p(i)); % критерий согласия Пирсона
end

%1.3. Определить при уровнях значимости 0,1, 0,05, 0,01 критические значения

% Уровень значимости — это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой
% гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза

% число степеней свободы
k = r-1 % формула r-n-1 (r-кол-во интервалов, n-число параметров распределения, подбираемых параметров нет)
p1 = 0.1;
p2 = 0.05;
p3 = 0.01;

% критические значения с помощью обратной кумулятивной функции хи квадрат,
% при различных уровнях значимости
G1=chi2inv(1-p1, k);
G2=chi2inv(1-p2, k);
G3=chi2inv(1-p3, k);

% критические значения по таблице
G_t1=19.8; % для 0.1
G_t2=22.4; % для 0.05
G_t3=27.7;% для 0.01

%2. Критерий Колмогорова (только для непрерывных СВ)
% распределение супремума разности между теор и эмп ф-ями одинаково

%2.1. Рассчитать значение статистики для критерия Колмогорова(значения эмпирической и теоретической функциями распределения).
x = [X_min:0.001:X_max];
F_teor=cdf('Uniform', x, a, b);
for i=1:length(x)
    F_emp(i)=0;
    for j=1:N
        if (X(j) < x(i))
            F_emp(i)=F_emp(i)+1;
        end
    end
    F_emp(i)=F_emp(i)/N;
end

%ищем супремум
Max_d=0;
for i=1:length(x)
    if(abs(F_teor(i)-F_emp(i))>Max_d)
        Max_d=abs(F_teor(i)-F_emp(i));
    end
end

D=sqrt(N)*Max_d; %значение статистики

%2.2. Определить при уровнях значимости 0,1, 0,05, 0,01 критические значения
D_cr1=1.23; %0.1
D_cr2=1.36; %0.05
D_cr3=1.63; %0.01


% Часть 2. Проверка гипотезы о коэффициенте корреляции

% Коэффициент корреляции - показатель, характеризующий статистическую
% связь между двумя или несколькими случайными величинами

% коэф-т корреляции не значим, т.е. равен 0


% 3.1
X = random('Uniform', a, b, N, 1);

% 3.2
Y = random('Uniform', a, b, N, 1);

% 3.3
p = mean((X-mean(X)).*(Y-mean(Y)))/(sqrt(var(X)*var(Y))); % коэффициент корреляции

% Вывод:
% Т.к. коэф-т корреляции близок к 0, то между СВ слабая корреляция,
% т.е. поведение СВ X почти совсем не влияет на поведение Y (и наоборот)

% 3.4
T = p*sqrt(N-2)/sqrt(1-p^2); % значение статистики Т

% 3.5 критические значения (по таблицам распределения Стьюдента)
T_1 = 1.64; %0.1
T_2 = 1.96; %0.05
T_3 = 2.58; %0.01

%Y=2*X+b b -выборка из нормального распределения с мат ожиданием 0 и
% среднеквадратическим отклонением σ=0.001, 100, 1000

% для 0.001
b1 = random("Normal", 0, 0.001, N, 1);
Y1 = 2*X + b1;
p1 = mean((X-mean(X)).*(Y1-mean(Y1)))/(sqrt(var(X)*var(Y1)));
T1 = p1*sqrt(N-2)/sqrt(1-p1^2);

% Вывод:
% Т.к. коэф-т корреляции близок к 1, то между СВ положительная корреляция,
% т.е. высокая степень связи и, если зн-я X будут возрастать, то и зн-я Y1
% также будут увеличиваться

% для 100
b2 = random("Normal", 0, 100, N, 1);
Y2= 2*X + b2;
p2 = mean((X-mean(X)).*(Y2-mean(Y2)))/(sqrt(var(X)*var(Y2)));
T2 = p2*sqrt(N-2)/sqrt(1-p2^2);

% для 1000
b3 = random("Normal", 0, 1000, N,1);
Y3 = 2*X + b3;
p3 = mean((X-mean(X)).*(Y3-mean(Y3)))/(sqrt(var(X)*var(Y3)));
T3 = p3*sqrt(N-2)/sqrt(1-p3^2);