\documentclass[bachelor, och, pract, times]{SCWorks}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper, top=2cm, bottom=2cm, left=25mm, right=15mm}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{{pictures/}}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}
\usepackage[sort,compress]{cite}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{upgreek}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{longtable}
\usepackage{array}
\usepackage[english,russian]{babel}

% выделение ссылок цветом. чтобы включить- true
\usepackage[colorlinks=false]{hyperref}

\renewcommand{\rmdefault}{cmr} % курсив и полужирный включаются здесь.
\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}

\newtheorem{lem}{Лемма}

\begin{document}

\begin{titlepage}
\newpage

\begin{center}
МИНОБРНАУКИ РОССИИ \\
\vspace{0.5cm}
ФГБОУ ВО
«СГУ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» \\*
\end{center}
\center{Кафедра теории функций и стохастического анализа}\\
%\footnotesize {наименование кафедры}}

\vspace{2em}

\begin{center}
\Large
\textbf{ОТЧЕТ ПО УЧЕБНОЙ (ОЗНАКОМИТЕЛЬНОЙ) ПРАКТИКЕ} \\
\vspace{1em}
%\normalsize {Повторные и двойные ряды }
\end{center}

\vspace {2em}

%\begin{center}
%\textsc{КУРСОВАЯ РАБОТА}
%\end{center}

\begin{flushleft}
Студента \quad 2 курса \quad 251 группы \\
направления \quad 38.03.05 Бизнес-информатика \\
\end{flushleft}

\vspace{1em}

\begin{center}
механико-математического факультета \\
Ревзина Леонида Владимировича \\
\end{center}
\vspace{1em}
\begin{flushleft}
Место прохождения практики: \qquad \underline {кафедра теории функций} \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \underline {и стохастического анализа}\\
\vspace{1em}
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
Сроки прохождения практики: \qquad \underline {29.06.2019-12.07.2019}\\
\vspace{1em}
\end{flushleft}
Оценка: \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \hrulefill \\
\vspace{3em}
\begin{flushleft}
Руководитель практики \\
ст. преподаватель \hrulefill { {Сергеева Н.В.}}
\end{flushleft}
\begin{center} \footnotesize {подпись, дата} \end{center}

\vspace{1em}

%\begin{flushleft}
%Зав. кафедрой \\
%д. ф.-м. н., доцент \hrulefill \underline {Сидоров С.П.}
%\begin{center} \footnotesize {подпись, дата} \end{center}
%\end{flushleft}

\vspace*{2em}

\begin{center}
\textbf {Саратов 2019}
\end{center}
\newpage

\end{titlepage}
%\setcounter{page}{2}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}

\intro
Гамма функция находит очень широкое применение в прикладном анализе. С гамма-функцией связана функции Бесселя используемые при синтезе фильтров и спектральном анализе, а также другие специальные функции: бета-функция, К-функции, G-функции. В статистике широко используется гамма-распределение, частными случаями которого являются экспоненциальное распределение и распределение хи-квадрат. В данной статье введено понятие гамма-функции, приведены ее основные свойства, а также показан алгоритм ее численного расчета.
\section{Определение гамма-функции}
\subsection{Интегральное определение}
Если вещественная часть комплексного числа $z$ положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл:
Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера (1730 г.)\cite{Itwo1} .
$$
\Gamma(z)=\int\limits_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt, z\in\mathbb{C}, Re(z)>0,
$$
$$
\Gamma(z)=\int\limits_{0}^{1}(-\ln(x))^{z-1}dx.
$$
Через замену переменной $x=e^{-t}$, и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$.
Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства $\Gamma (z)=\frac{\Gamma (z+1)}{z}$  и замены переменной $x=y^2$ .
$$
\Gamma(z)=\frac{2^{z+1}}{z}\int\limits_{0}^{1}y(-\ln(y))^zdy.
$$
Интеграл в этой формуле сходится при $\mathrm{Re}(z)>-1$, хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента $z>0$ подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при $y=0$ , и если доопределить её в этой точке значением $0$, она станет непрерывной на всём отрезке $[0;1]$. Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает численное интегрирование.

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, кроме целых чисел, называемое интегралом Римана-Ханкеля:
$$
\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i2\pi z}-1}\int\limits_{L}^{}t^{z-1}e^{-t}dt, z\in\mathbb{C} \backslash \mathbb{Z},
$$
здесь контур  $L$  — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку $t=0$ против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями гамма-функции.
\subsection{Определение по Гауссу}
Оно верно для всех комплексных $z$ , за исключением $0$ и отрицательных целых чисел .
$$
\Gamma(z)=\lim_{n\to \infty}\frac{(n-1)!n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)},  z\in\mathbb{C}\ \{0, -1, -2, \ldots \}.
$$
\subsection{Определение по Эйлеру}
$$
\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^z}{1+\frac{z}{n}},  z\in\mathbb{C}\ \{0, -1, -2, \ldots \}.
$$
\subsection{Определение по Вейерштрассу}
$$
\Gamma(z)=\frac{e^{-\upgamma z}}{z}\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{z}{n})^{-1}e^{\frac{z}{n}}, z\in\mathbb{C}\ \{0, -1, -2, \ldots \},
$$
где:
$$
\upgamma=\lim_{n\to \infty} (\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n))\approx0,57722
$$
постоянная Эйлера-Маскерони. \\
Примечание: иногда используется альтернативная, так называемая \\ пи-функция, которая является обобщением факториала и связана с гамма-функцией соотношением $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ . Именно этой функцией (а не Г-функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX века.

\section{Свойства гамма-функции}
Если $z$ — целое неотрицательное число, $\Gamma (z+1)=z!$.Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$, которое при фиксированном начальном условии единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию (теорема о единственности)\cite{Itwo2}.

Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера:
$$
\Gamma (1-z)\Gamma (z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}.
$$
Также справедлива и формула умножения Гаусса:
$$
\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),
$$
Частный случай этой формулы при n=2 был получен Лежандром:
$$
\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).
$$

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. $\Gamma (z)$ является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюсы в точках $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$.

Гамма-функция имеет полюс первого порядка в $z=-n$ для любого натурального $n$ и нуля; вычет в этой точке задаётся так:
$$
Res_{z=-n}\,\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.
$$

Полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:
$$
\overline {\Gamma (z)}=\Gamma (\overline {z}).
$$

Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и \\ $ \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x)$, где $\psi (x)$ , часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением: \\
$B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$.

\section{Логарифм гамма-функции}
По целому ряду причин наряду с гамма-функцией часто рассматривают и логарифм гамма-функции — первообразную дигамма-функции. Для него справедливы следующие интегральные представления:
$$
\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{-xz}}{x}}\,dx\,, \; \operatorname {Re} {z}>0,
$$
и
$$
\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,\operatorname {arctg} (x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}}\,dx\,, \; \operatorname {Re} {z}>0.
$$

Данные Жаком Бине в 1839-м году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции). Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах Мальмстена, Лерха и некоторых других. Так, Мальмстен получил формулу, схожую с первой формулой Бине:
$$
\ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[z-1-{\frac {1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}}}\right]{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0.
$$

Лерх показывает, что все интегралы вида
$$
\int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,e^{2\pi x}\!\cos \varphi -1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos \varphi +1}}\operatorname {arctg} {\frac {u}{x}}\;dx\,,\qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u,
$$
также сводятся к логарифмам гамма-функции. В частности, формула, аналогичная второй формуле Бине с «сопряжённым» знаменателем, имеет следующий вид:
$$
\ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\!\right\}+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -\,2\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\operatorname {arctg} {\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\big ]}}{e^{2\pi x}+1}}\,dx,\;
$$
где $\operatorname {Re} {z}>{\frac {1}{2}}.$


Кроме того, Мальмстен также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции, содержащих гиперболические функции с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,
$$
\ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\,
$$
где $0<\operatorname {Re} z<1.$

Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе $z=k/n$ , где $k$ и $n$ целые положительные числа, такие, что $k$ не превосходит $n$, справедливо следующее представление:
\begin{eqnarray*}
&\ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+ & \\
& + {\frac {1}{\pi }}\!\sum\limits_{r=1}^{n-1}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\,e^{-nx}\cdot \ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\; k\neq \frac {n}{2}. \notag
\end{eqnarray*}

Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и её производным, в том числе и комплексного аргумента.

Логарифм гамма-функции также тесно связан с аналитическим продолжением обобщённой дзета-функции:
$$
\ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi.
$$
Это важнейшее взаимоотношение, выведенное Лерхом, позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма \\ гамма-функции через известные формулы для обобщённой дзета-функции.

Ряд Фурье для логарифма гамма-функции имеет следующий вид:
$$
\ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}\,,
$$
где $0<x<1.$

Эта формула обычно приписывается Эрнсту Куммеру, который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма гамма-функции). Однако недавно было открыто, что эта формула была получена ещё в 1842 г. Карлом Мальмстеном.

Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд Стирлинга:
$$
\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}+O(z^{-2N-1})\,,
$$
где $|\arg z|<{\frac {\pi }{2}}.$

В его стандартной вариации $\ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)$, где коэффициенты $B_{2n}$ означают числа Бернулли.

Из определения гамма-функции по Вейерштрассу следует ещё одно важное представление рядом:
$$
\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right].
$$
\section{Частные значения}
Гамма-функция целого аргумнета выражается через элементарные функции. В частности:
$$
\Gamma (1)=0!=1
$$
$$
\Gamma (2)=1!=1
$$
$$
\Gamma (3)=2!=2
$$
$$
\Gamma (4)=3!=6
$$
$$
\Gamma (5)=4!=24
$$
Как можно заметить, для натуральных значений аргумента гамма функция совпадает со значением факториала:
$$
\Gamma(n)=(n-1)!,\; n=1, 2, 3, 4 \dots
$$
При этом для любых комплексных значений $z$ справедливо равенство:
\begin{equation}\label{1}
\Gamma(z+1) = z\Gamma(z).
\end{equation}
Данное рекуррентное соотношение является очень важным и используется при расчете гамма-функции. Приведем также формулу дополнения:
$$
\Gamma(1-z)\Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}.
$$
Можно заметить, что при отрицательных значениях $z<0$, $1-z<0$ , при этом гамма-функция для отрицательного аргумента может быть вычислена по формуле:
\begin{equation}\label{2}
\Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)\Gamma(1-z)}.
\end{equation}
Необходимо отметить, что при целых $z\leq0$, $\sin(\pi z)=0$ и гамма-функция претерпевает разрыв. График гамма-функции для вещественного аргумента представлен на рисунке 1. \\
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics{image1}
\caption{График гамма-функции для вещественного аргумента}
\end{figure}

Рассмотрим $\Gamma(0.5)$:
$$
\Gamma(1-0.5)\Gamma(0.5)=\frac{\pi}{\sin(\frac{\pi}{2})}, \Rightarrow \Gamma(0.5)=\sqrt{\pi}.
$$
Рассмотрим $\Gamma(1.5)$, для этого воспользуемся выражением (\ref{1}):
$$
\Gamma(1.5)=\Gamma(1+0.5)=0.5\Gamma(0.5)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
$$
Рассмотрим $\Gamma(-0.5)$, для этого воспользуемся выражением (\ref{2}):
$$
\Gamma(-0.5)=\Gamma(1-1.5)=\frac{\pi}{\sin(1.5\pi)\Gamma(1.5)}=\frac{\pi}{\frac{-\sqrt{\pi}}{2}}=2\sqrt{\pi}.
$$
\section{Обобщения}
В классическом интегральном определении гамма-функции пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также неполную гамма-функцию, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:
$$
\Gamma (a,z)=\int \limits _{\mathrm {z} }^{\infty }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}.
$$
и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:
$$
\gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}.
$$
Иногда неполную гамма функцию определяют как:
$$
I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}
$$
\conclusion
\thispagestyle{empty}
Таким образом, посредством рассмотрения темы \textit{Гамма-функция} из курса математического анализа мною были изучены основные принципы работы системы \LaTeX\cite{Itwo3}. Также посредством изучения данной темы мною были получены необходимые навыки для дальнейшей работы с данной системой\cite{Itwo4}.
\begin{thebibliography}{00}
\thispagestyle{empty}
\bibitem{Itwo1} Лихтарников, Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. / Л. М. Лихтарников --- СПб.: Лань, 1997. --- 159~с.
\bibitem{Itwo2} Арсенин, В.Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я.Арсенин --- М.:Наука, 1984. --- 385~с.
\bibitem{Itwo3} Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. / А.И.Маркушевич --- М.:Наука, 1968. --- 491~c.
\bibitem{Itwo4} Столяров, А. В. Сверстай диплом красиво: \LaTeX~за 3 дня / А. В. Столяров --- М.: МАКС Пресс, 2010. --- 100~с.
\end{thebibliography}
\end{document}