f1 = 1 - z[2, 3]^2 + z[1, 4]^2 (-1 + z[2, 3]^2) - z[2, 4]^2 +
  z[1, 3]^2 (-1 + z[2, 4]^2) - 2 z[2, 3] z[2, 4] z[3, 4] - z[3, 4]^2
  - 2 z[1, 3] z[1, 4] (z[2, 3] z[2, 4] + z[3, 4]) +
  z[1, 2]^2 (-1 + z[3, 4]^2) +
  2 z[1, 2] (z[1, 4] (z[2, 4] + z[2, 3] z[3, 4]) +
  z[1, 3] (z[2, 3] + z[2, 4] z[3, 4]))

f2 = 1 - z[1, 2]^2 - z[1, 3]^2 + 2 z[1, 2] z[1, 3] z[2, 3] - z[2, 3]^2

f3 = 1 - z[1, 2]^2

Integrate[Boole[f1 > 0 && f2 > 0 && f3 > 0], {z[1, 2], -1, 1}, {z[1, 3], -1, 1},
 {z[1, 4], -1, 1}, {z[2, 3], -1, 1}, {z[2, 4], -1, 1}, {z[3, 4], -1, 1}]

J6 = GenericCylindricalDecomposition[
   f1 > 0 && f2 > 0 && f3 > 0, {z[1, 2], z[1, 2], z[1, 3], z[1, 4],
z[2, 3], z[2, 4], z[3, 4]}];

Integrate[
 Boole[J6], {y[1, 2], -1, 1}, {z[1, 2], -1, 1}, {z[1, 3], -1,  1},
 {z[1, 4], -1, 1}, {z[2, 3], -1, 1}, {z[2, 4], -1, 1}, {z[3, 4], -1, 1}]

f4 = -u^4 z[1, 4]^2 - z[2, 3]^2 +
  2 u z[2, 3] (z[1, 2] z[2, 4] - z[1, 3] z[3, 4])
+ 2 u^3 z[1, 4] (z[1, 2] z[1, 3] - z[2, 4] z[3, 4])
- u^2 (-1 - z[1, 4]^2 z[2, 3]^2 + 2 z[1, 3] z[1, 4] z[2, 3] z[2, 4] +
    z[2, 4]^2 - z[1, 3]^2 (-1 + z[2, 4]^2) -
    2 z[1, 2] (z[1, 4] z[2, 3] + z[1, 3] z[2, 4]) z[3, 4] +
    z[3, 4]^2 - z[1, 2]^2 (-1 + z[3, 4]^2))

f5 = 1 - z[1, 2]^2 - z[1, 3]^2 + 2 u z[1, 2] z[1, 3] z[1, 4] - u^2 z[1, 4]^2,

f6 = u^2 - u^2 z[1, 2]^2 - z[2, 3]^2 + 2 u z[1, 2] z[2, 3] z[2, 4] - u^2 z[2, 4]^2

f7 = u^2 - u^2 z[1, 3]^2 - z[2, 3]^2 + 2 u z[1, 3] z[2, 3] z[3, 4] - u^2 z[3, 4]^2

f8 = 1 - u^2 z[1, 4]^2 - z[2, 4]^2 + 2 u z[1, 4] z[2, 4] z[3, 4] - z[3, 4]^2