\documentclass{article}


\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[14pt]{extsizes}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage[indentfirst]{titlesec}

\begin{document}
    Пусть система отсчёта $K$, связанная с Эквестрией, инерциальна, а бутылка водки, которую проверял Дискорд, в ней покоится. Также допустим, что бутылка представляет из себя цилиндр, ось которого параллельна вектору скорости Дискорда. В СО $K$ длина бутылки равна $L_0$, радиус --- $r$, объём --- $V_0 = \pi r^2 L_0$, масса водки в ней --- $m_0$, а плотность (тоже водки) --- $\rho_0$.

    В системе отсчёта Дискорда $K_D$ он сам покоится, а бутылка движется вдоль своей оси со скоростью $v$, которая равна по модулю скорости движения Дискорда в $K$ и обратна ей по знаку. Тогда в $K_D$ длина бутылки $L'$ будет равна $\frac{L_0}{\gamma}$, объём $V' = \pi r^2 L'$ (т.к. радиус в СО Дискорда не изменится), а масса  $m' = m_0 \gamma$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}$ --- Лоренц-фактор скорости Дискорда. Тогда плотность водки в СО Дискорда будет равна $\rho' = \frac{m'}{V'} = \frac{m_0 \gamma}{\pi r^2 L'} = \frac{m_0 \gamma}{\pi r^2 \frac{L_0}{\gamma}} = \frac{m_0 \gamma^2}{\pi r^2 L_0} = \rho_0 \gamma^2$. Отсюда: $\gamma^2 = \frac{\rho'}{\rho_0}$.

    При объёмной доле (надеюсь, уважаемый RePitt имел в виду не молярную концентрацию?) спирта 40\%, плотность водки будет равна $\rho_{40} = \frac{3}{5} \rho_w + \frac{2}{5} \rho_a = 915,6$ кг/м\textsuperscript{3}, где $\rho_w$ --- плотность воды ($1000$ кг/м\textsuperscript{3}), а $\rho_a$ --- плотность спирта ($789$ кг/м\textsuperscript{3}). Для 20-процентной концентрации плотность равна, соответственно, $\rho_{20} = \frac{4}{5} \rho_w + \frac{1}{5} \rho_a = 957,8$ кг/м\textsuperscript{3}.

    По условию задачи, $\rho_0 = \rho_{40}$, $\rho' = \rho_{20}$, и, таким образом, $\gamma^2 = \frac{\rho_{20}}{\rho_{40}} = \frac{957,8}{915,6} = \frac{4789}{4578}$.

    Скорость движения бутылки можно вычислить из её лоренц-фактора: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \Rightarrow \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \Rightarrow v^2 = c^2 - \frac{c^2}{\gamma^2}.$$
    Отсюда: $$v^2 = c^2 - \frac{4578}{4789} c^2 = c^2 (1 - \frac{4578}{4789}) = c^2 \frac{211}{4789},$$
    И, наконец, $v = \sqrt{\frac{211}{4789}} c \approx 6,293 \cdot 10^7$ м/с или $62927$ км/с.

    \thispagestyle{empty}
\end{document}