private class myAdapter extends ArrayAdapter<String>
{
    ArrayList<String> arrayList;

    public myAdapter(@NonNull Context context, int resource, ArrayList objects)
    {
        super(context, resource, objects);
        arrayList = objects;
    }

    public boolean isContains (String text)
    {
        return arrayList.contains(text);
    }
}

adapter_2 = new myAdapter(getActivity(),
                            R.layout.spinner_closed, spinner_2_data);
spinner_2.setAdapter(adapter_2);

if (adapter_2.isContains("some_text")) // если в данных для построения листа спиннера есть нужная строка
{
    //some code
}