EDC 10/05/2012

   # # # # # # # # # # # # #
  # EDC                     #
  # Gastão                  #
  # notasdogarcia.blog.com  #
   # # # # # # # # # # # # #

  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - v>> indica que v é uma matriz de duas dimensões =].
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Tabela de Transformadas Notáveis de Laplace:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
5)    sen(at)      | a/(s²+a²)
6)    cos(at)      | s/(s²+a²)
7)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
8)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
11)   e^(ct)f(t)   | L(f(s-c))
12)   f(ct)? - sei não =P
16)   f(t)**g(t)   | L(f(t)) L(g(t))
17)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)
19)   y'           | s L(y) - y(0)
19)   y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
(a regra 19 no livro do professor é uma regra generica para qualquer número de derivações)

// Ajustei a tabela com a numeração da tabela do professor.
// Os números faltando é porque omiti o que não foi dito em aula.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Falamos na aula passada de sistemas de primeira ordem,

  Onde tinhamos:

  Um vetor X>(t) com n entradas dependentes do tempo.
  Uma matriz A>> nxn.

  1 - Se A tem n autovalores distintos reais então:

  Há um autovetor distinto para cada autovalor.

  chamamos os autovalores de r, e os autovetores de ZETA>

  E conhecendo n autovetores, a solução para um problema do tipo:

    X>' = A>> X>

  Seria uma combinação linear, desses autovetores, multiplicados por e^(rt).

  (esse e^(rt) é o valor que supomos solução, veja a ultima aula para entender melhor, quando eu passar a limpo eu explico isso aqui)

  No fim da aula discutimos sobre a projeção da combinação destas soluções em um plano cartesiano.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Hoje vamos falar sobre casos em que o autovalor r é complexo.

  Então vamos considerar que:

    r = c + s i

    i = raiz(-1)

  Com isso em mente o professor nos pediu para considerar a equação:

    A>> ZETA> = r ZETA>

  E então considerar o complexo conjulgado dessa equação.

    conj(A>> ZETA>) = conj(r ZETA>)

  que é o mesmo que:

    conj(A>>) conj(ZETA>) = conj(r) conj(ZETA>)

  consideramos então que zeta pode ser escrito como uma soma de um vetor real com um imaginário:

    ZETA> = a> + b> i

  Seguindo essa idéia e o que aprendemos na aula passada a solução X>(t) fica:

    X>(t) = ZETA> e^(rt) = (a> + b> i) e^((c+is)t)

  pela identidade:

    e^(i t) = cos(t) + i sen(t)

  A equação fica:

    X>(t) = (a> + b> i) e^(ct)(cos(st) + i sen(st))

  Vamos juntar as duas equações complexas multiplicando uma pela outra:

  E antes ainda, vou chamar cos(st) C maiusculo, e sen(st) de S maiusculo.

  multiplicando vamos ter:

    X>(t) = e^(ct) ( (C a> - S b>) + i(S a> + C b>) )

  Seguindo a mesma idéia que utilizamos para equações homogeneas de 2° ordem vamos sumir com a parte complexa dessa equação.

  Ou seja, (não vou explicar de novo como fazer, mas pode-se provar que as soluções abaixo são soluções da equação)

    X1> = e^(ct) cos(st) a> - e^(ct) sen(st) b>

    X2> = e^(ct) sen(st) a> + e^(ct) cos(st) b>

  =], para quem lembra como se descobre o x1 e o x2 em eq. homogeneas de 2° ordem, o processo usado foi o mesmo.
  pode ser que eu explique melhor quando eu passar a limpo, básicamente a idéia é usar a fórmula:

    X> = c1 X1> + c2 X2>

  E escolher valores de c1 e c2 que façam a parte complexa sumir, e sobrar só a parte real de um deles, e depois fazer só sobrar a parte imaginária.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Exercicio:

  Determine a solução geral:

    X>' = | -1/2    1 | X>
          | -1   -1/2 |

  Primeiro verificamos que o sistema é linear e tem coeficientes constantes, aí buscamos soluções na forma exponencial da forma:

    X> = ZETA> e^(rt)

  Certo?

  Agora temos de descobrir os autovalores (como a matriz A é de 2x2 temos 2 autovalores) r1 e r2.

  Para fazer isso temos de colocar a equação naquele formato:

    (A>> - rI>>) ZETA> = 0

  e supor ZETA> != 0, e portanto o determinante do restante deve ser 0, vejamos:

    det(A>> - rI>>) = 0

  A equação vai ficar tal que os valore de r1 e r2 são:

    r1 = -1/2+i

    r2 = -1/2-i

  Devemos descobrir agora os autovetores, para isso basta substituir os autovalores na eq:

    (A>> - rI>>) ZETA> = 0

  E descobrir os valores de ZETA> que satisfazem a equação.

  Como ZETA tem dimensão 2 (já que a solução X é de duas dimensões)

  Temos duas constantes que formam o valor de ZETA>:

    ZETA> = | ZETA1 |
            | ZETA2 |

  O professor calculou o sistema:

    | -1/2-(-1/2+i)        1            | | ZETA1 | = | 0 |
    | -1                  -1/2-(-1/2+i) | | ZETA2 |   | 0 |

  O resultado ficou:

    ZETA1 = | 1 |
            | i |

  E portanto X1>(t) fica:

    X1> = | 1 | e^((-1/2+i) t)
          | i |

  Expandindo ZETA para dois vetores um real e um imaginário temos:

    ZETA> = | 1 | + | 0 |
            | 0 |   | i |

  E vamos expandir e^((-1/2+i) t) pela equação:

    e^(i t) = cos(t) + i sen(t)

  Assim nossa equação fica:

    X1> = ( | 1 | + | 0 | ) e^(-t/2) ( cos(t) + i sen(t) )
          ( | 0 |   | i | )

  Multiplicando as duas expressões entre parentesis uma pela outra teremos:

    X1> = e^(-t/2) ( |  cos(t) | + i | sen(t) | )
                   ( | -sen(t) |     | cos(t) | )

  Sabendo disso nós conseguimos encontrar duas soluções X3> e X4> reais fácilmente,
  basta isolar a parte real e a parte imaginaria:


    X2> = e^(-t/2) |  cos(t) |
                   | -sen(t) |


    X3> = e^(-t/2) | sen(t) |
                   | cos(t) |

  Fácil não?

  Assim a solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções ou seja:

    X> = e^(-t/2)

    X> = e^(-t/2) ( c1 |  cos(t) | + c2 | sen(t) | )
                  (    | -sen(t) |      | cos(t) | )

  E pronto! eis nossa solução geral =]. Exercicio resolvido.

  O professor pediu para os alunos imaginarem como terminar de resolver esse problema se ele fosse um PVI com o valor:

    X>(0) = | 1 |
            | 0 |

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  O professor começou agora uma análise da projeção da combinação linear das soluções sobre um plano cartesiano, como fizemos no final da última aula.
  Ou seja é mais uma continuação do exercicio para entendermos como as soluçòes se comportam.

  // O grafico cartesiano que ele construiu considera:

    X> = | componente em x1 |
         | componente em x2 |

  e os eixos do grafico construido ficam assim:

    ^ x1
    |
    |
    |
    |
    |
    |
    |______________\ x2
                   /

  Outra forma de pensar nisso é pensar que x1 = y e x2 = x.

  Após desenhar esse grafico o professor desenha o caminho que cada solução faz por esse plano.

  Ele mostrou que ambas as soluções:

    X2> = e^(-t/2) |  cos(t) |
                   | -sen(t) |


    X3> = e^(-t/2) | sen(t) |
                   | cos(t) |

  Se comportam como uma espiral decrescente a medida que o tempo aumenta.

  E tendem a origem quando t tende a infinito.

  Sabendo que ambas as soluções X2> e X3> se comportam como uma espiral horária decrescente,
  obviamente qualquer combinação linear delas também se comportara assim.
  e portanto a solução geral seria uma espiral decendente no sentido horário.

  Nesse caso a origem é uma "Espiral"
  Se a parte imaginaria de ZETA fosse 0, o formato seria circular e não espiral.
  Assim chamariamos o retrato de fase de "Centro"

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Agora vamos falar do último caso que pode acontecer com os auto-valores e auto-vetores:

  E se r1 == r2?

  Ou seja o delta daquela equação que usamos para cálcular r2 e r2 for 0?

  AUTO-VALORES REPETIDOS:

  Seja o problema:

    (1) X>' = | 1 -1 | X>
              | 1  3 |

  Porém o professor já calculou o r1 e o r2 desse problema e eles são:

    r1 = r2 = 2, e ZETA> = |  1 |
                           | -1 |

  Agora como obter então uma segunda solução?

  A primeira nós obtivemos chutando que:

    X> = ZETA> e^(rt)

  Agora queremos uma segunda solução.

  Fazendo uma analogia com a mesma situação de quanddo resolvemos equações de 2° ordem homogeneas, nosso novo chute seria:

    X2> = t ZETA> e^(2t)

  Certo? Porém nesse caso isso não funcionaria =/.

  Então para vetores a solução seria um pouco diferente.

  Vamos tentar outro chute então:

    X2> = (t ZETA> + META>) e^(2t)

  Agora, vamos tentar substituir isso em (1) para descobrirmos os valores válidos de ZETA> E META>?

  Para isso precisamos calcular a derivada de X2>:

    X2>' = ZETA> e^(2t) + 2 t ZETA> e^(2t) + 2 META> e^(2t)

  Simplificando:

    X2>' = A>>(t ZETA> + META>) e^(2t)
      - Onde A>> é aquela matriz de (1)

  Ou:

    t e^(2t) A>> ZETA> + e^(2t) A>> META>

  Então de alguma forma, (vou copiar antes de entender senão a aula acaba) chegamos em:

    ZETA> e^(2t) = t e^(2t) (A>> ZETA>  - 2 ZETA>) + e^(2t)(A>> META> -2 META>)

  E professor supôs:

    (A>> ZETA>  - 2 ZETA>) = 0

  E para isso basta que ZETA> tenha a mesma solução que tinhamos para X1> = ZETA> e^(2t)

  A partir dessa suposição consegue-se encontrar uma solução.

  Apareceu a matriz:

    | 1-2    -1 | | META1 | = |  1 |
    | 1     3-2 | | META2 |   | -1 |

  Vou ter que decifrar isso que eu copiei quando chegar em casa =P, mas a aula ta acabando.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Exercicios:

  pg 319 - 1, 3, 9.
    - Nestes 3 exercicios o professor sugeriu que fizessemos o retrato de fase para entendermos melhor as soluções.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  // Fim da aula.