$(function () {
    $("button.like").click(function(){ // хэндл на клик по тегу button с классом "like"
        $.ajax({
            url: "new-like?id="+myId, // тут желательно id передать, чтоб на сервере разобрать кому лайк и от кого
            success: function(result){ // поле success будет вызванo, когда будет получен ответ с сервера.
                                    // в result то, что ты вернёшь с сервера
                $("#like-counter").html(result); // в элемент "id=like-counter" запишется результат,
                                            // который пришёл с сервера
                $("button.like").css("baground-color", "red"); // меняет цвет фона на красный
        }});
    });
});