EM 24/10/2011

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 Notações:
   Vetores:
     V>    = vetor V.

     a>.b> = multiplicação escalar
     a>*b> = multiplicação vetorial
     a>×b> = multiplicação vetorial também.
     |d>| modulo escalar de um vetor, ou seja seu comprimento.
     se existe um vetor d>, d pode ser entendido como |d>|.

     i>, j>, k> = vetores unitários nos sentidos x,y e z respectivamente.

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Revisão de inicio de aula:

  Força Magnética:

    Fm> = q V>×B>
      - Fm> é o vetor força magnética.
      - q é a carga em movimento.
      - V> vetor velocidade.
      - B> campo magnético.

  Campo Elétrico:

    E> = k q/|d>|³ * d>
      - k = 1/4pi€
      - d> = vetor distancia entre a carga e o ponto de medição.

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  // O professor comentou sobre como nós já estudamos o efeito do campo magnetico sobre uma carga qualquer, ou mesmo sobre um fio.
  // Agora vem a questão:

  O que gera o campo magnético?

    * Cargas em Movimento *

  Essa é a única forma de se gerar Campo Magnético.
  // (Mentira! xP, mas vamos falar disso em outras aulas)

  // O professor desenhou uma carga positiva se movendo segundo uma linha no quadro, e ao redor da carga ele desenhou uma espiral
  // que era mais larga ao redor da carga e ia afinando até tocar a linha a frente e atrás da posição atual da carga.
  // Ele ainda não explicou o desenho, deve explicar assim que terminar de escrever no quadro.

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CONCEITO:
  Para se cálcular um campo magnético gerado por um fio, em um ponto qualquer deve-se saber:
    - Corrente do fio "I".
    - Um vetor caminho que descreve o fio: r>  // ou seja é uma integral de linha
    - E o angulo teta que a corrente faz com o ponto de medição.

  Então B é proporcional à I, proporcional ao tamanho do fio medido "dr", proporcional ao seno do angulo teta, e ao inverso da distancia ao quadrado.

    B =:= I dr sen<teta> / d²

  Mole?
  Isso vira uma igualdade se voce adicionar a constante: k° = M0/4pi.
  M0 é a permissividade magnética no vácuo, assim como o €0 para a permissividade elétrica.

    B = k° I dr sen<teta> / d²

  Agora vamos adicionar informação vetorial. Vamos multiplicar isto pelo vetor unitário: d>/d
  e fazer de dr o vetor dr>

    B> = k° I dr> sen<teta> d> / d³

  Por fim, vamos integrar por todo o comprimento do fio para obtermos o valor total do campo:

    B> = k° int ( I sen<teta> d> / d³ ) dr>

  Agora note que dr> * d> * sen<teta> = dr>×d>

    B> = k° int (I 1/d³ dr>×d>)
      - k° = M0/4pi
      - d> é a distancia do ponto de medida do ponto
      - dr> é uma fração infinitesímal do fio medido.
      - I é a corrente.

/* // eu acho que tem algo errado com a integral abaixo.
   // ou ao menos não consegui chegar nela com cálculos manuais =/.
   // Então a não ser que voce queira fazer uma revisão nesse texto, ignore-a.

  Agora imagine que queremos cálcular o campo gerado por cada eletron desse fio.
  Vamos usar uma integral de linha com a fórmula do campo elétrico:

    E> = k int (q 1/d³ d>) dr>

  Note que essa integral é mto parecida com a de cima.
  */

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  Ex de cálculo:

  Qual o B> de um fio reto infinito com corrente I ?
  Considere o ponto de cálculo o ponto P

  I(r') quanto vale isso?

 ( \/ esse é o fio \/ )

    |
    |
    |
    |
    |               P
    |
    |
    |
    |
    |

  Vamos considerar o eixo x,y,z dentro do fio, e para facilitar na altura de P.
  Digamos que r> tem modulo r.
  Assim o vetor posição r' = r' i>, ou seja a posição do ponto P( p, 0 ).

    r> = y j>
      - r> é o vetor caminho.

    dr> = dy j>

    I(r>) = I  // Poderia haver um caso em que I dependesse de r> e não pudesse ser tirado para fora da integral, esse não é o caso.
      - I constante me relação a r>.

  Agora vamos integrando para resolver o problema.

    B> = k° int I dr> × d> / d³

       = k° int I dl> × d> / d³

  Como a corrente é constante vamos tira-la para fora:

       = k° I int -inf,+inf  dy j> × d> / d³
         - d> = y j> - p i>

       = k° I int -inf,+inf  dy j> × y j> - p i> / raiz(p²+y²)³

  // O professor mandou agente calcular o resto sozinhos,

  Tem dois jeitos de resolver, integrando normalmente, ou usando coordenadas polares.
  // PS: eu mesmo não consegui fazer nenhum dos dois =].

  // A resposta final é:
  B> = M0I / 2piR k>

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  Num campo magnético as linhas de força dele podem ser desenhadas como circulos ao redor do fio.
  Quanto mais distantes do fio mais espaçadas as linhas, imitando a analogia do campo magnético onde menos linhas indicam menor força do campo.

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  Campo de um dipolo Magnético.

  // No magnétismo o dipolo é ainda mais importante que no estudo do campo eletrico

  // Um exemplo que ele deu foi o de um elétron girando em torno de um núcleo de protons.
  // Isso pode ser pensado como uma corrente ao redor do núcleo.
  // Pela regra da mão direita, que também se aplica a criação dos circulos do campo magnético,
  // ele mostrou que através do anel gerado pelo eletrón é formado um campo magnetico, com um polo norte e um polo sul.

  Agora seja um eixo z com um ponto P(0,0,h) centrado nele, a uma altura h>0 e uma corrente circular de raio R ao redor do eixo na altura 0.
  considere também que vamos dar r> em função do angulo e chamaremos esse angulo de <fi>
  A corrente no caso está girando no sentido anti-horario gerando um campo magnético para cima.

  então:

    B> = k° int I dr>×d> / d³

  onde:

    P = h k>

    r> = R cos<fi> i> + R sen<fi> j>
      - R é o raio, <fi> o angulo atual do raio.

    dr> = R (-sen<fi>)(d<fi>) i> + R (cos<fi>)(d<fi>) j>
      - d<fi> apareceu pela regra da cadeia.

    d> = -R cos<fi> i> -R sen<fi> j> + h k>
      - O motivo da subtração é que d é a diferença entre P e dr>, P-dr>

    d³ = raiz( R²(cos²<fi> + sen²<fi>) + h² ) = raiz( R² + h² )
      - cos² + sen² = 1, por isso some da equação.

    dr>×d> = det|  i>             j>                k>  | = ? i> + ? j> + (R² cos² fi dfi + R² sen² fi dfi) k>
                | -R sen fi dfi   R cos fi dfi      0   |
                | -R cos fi      -R sen fi          h   |

  Agora na hora de calcular isso, nós podemos deduzir por observação que esse campo magnético resultante sera paralelo ao eixo Z.
  E portanto a componente i> e j> desse determinante vai ser zerado ao fim dos cálculos.
  Para poupar tempo o professor preferiu fingir que eles já seriam 0 agora, e cálcular apenas o componente k>

  Assim temos:
    dr>×d> = R² dfi * (cos² + sen²) k>
      - cos² + sen² = 1, então some da equação.

  Com isso em mente ele terminou a integração e deu o resultado:

    B> = k° I int ( dr>×d>  ) / (     d     )³

  substituindo valores:

    B> = k° I int (R² dfi k>) / (raiz(R²+h²))³
      - lembrando que k° = M0/4pi

    ou

    B> = k° I R² / raiz(R²+h²)³ k> * int dfi
       = k° I R² / raiz(R²+h²)³ k> * [fi] de 0,2pi
       = k° I R² / raiz(R²+h²)³ k> * (2pi-0)

       = M0/4pi I R² / raiz(R²+h²)³ k> 2pi

  Corta pi com pi e 1/4 vezes 2 => 1/2, e temos:

    B> = M0/2 I R² / raiz(R²+h²)³  k>

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CONCEITO:
  Momento Magnético, sua fórmula é dada por:

    M> = I A n> (era para ter um ^ no "n", mas não consegui escrever isso encima dele)
      - I é a corrente.
      - A é a áre do circulo que delimita o fio.
      - n> ou n com ^, é o vetor normal unitário dessa área.

  Agora ele escreveu a partir da resposta do exercicio anterior um novo modo de expressar a mesma solução:

    B> = M0/2 I (pi R²) / ( pi raiz(R²+h²)³ )  k>
      - note que pi foi multiplicado encima e em baixo da fração.

  voce pode considerar que pi R² na resposta é a área A =].

  e isso multiplicado por I e k> onde k> pode ser pensado como o vetor normal unitário n>.

  temos que I (pi R²) k> = M>
  Assim podemos escrever:

    B> = M0/(2 pi) M> / raiz(R²+h²)³

  Agora na maioria das vezes esse dipolo se refere a um eletrón girando ao redor de um proton, assim R é despresível em relação a h².

  Então podemos escrever:

    B> = M0/(2 pi) * M>/h³

// O professor entregou as provas (tirei 21,5 em 30, to até feliz)
// E terminou a aula.