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VinBR

EDC 17/04/2012

VinBR
Apr 24th, 2012
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  1.  
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  7.  
  8. NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
  9. - y´t = dy/dt
  10. - y´´t = d²y/dt²
  11. - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
  12. - y´n´t = d^ny/d t^n
  13. - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
  14. - int f(x) = integral de f(x)
  15. - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
  16. - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
  17. - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
  18.  
  19. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  20.  
  21. Tabela de Transformadas Notáveis até agora:
  22.  
  23. f ( t ) | L ( f )
  24. 1) 1 | 1/s, s>0
  25. 2) e^(at) | 1/(s-a), s>a
  26. 3) cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
  27. 4) senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
  28. 5) y' | s L(y) - y(0)
  29. 6) sen(at) | a/(s²+a²)
  30. 7) cos(at) | s/(s²+a²) --> acho que o professor tirou isso dos exercicios da aula passada.
  31.  
  32. // PS: a ordem dos itens na minha tabela não está identica a ordem da tabela do professor.
  33.  
  34. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  35.  
  36. Relembrando, a transformada de laplace é dada pela integral:
  37.  
  38. L(f) = int (0,inf) e^(-st) f(t) dt
  39.  
  40. Como essa integral é complicada nós usamos a tabela para anotar os resultados para cada valor possível de f(t), e na hora h só substituimos =].
  41.  
  42. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  43.  
  44. Revisão da aula passada:
  45.  
  46. Na aula passada aprendemos sobre a Transformada de Laplace, que é dada pela fórmula que descrevi acima.
  47. A transformada que para nós será mais interessante é a transformada de y', L(y'), pois ela
  48. é capaz de gerar a partir de uma equação diferencial uma equação comum =].
  49.  
  50. Na aula passada começamos a preencher nossa tabela de transformadas notaveis.
  51. (adicionamos 6 integrais notaveis, e mais uma de um exercicio "para casa". Total: 7)
  52.  
  53. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  54.  
  55. Na aula de hoje vamos focar na transformada de laplace da derivada segunda de uma função ou seja: L(y'') =].
  56.  
  57. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  58.  
  59. O professor vai mostrar o valor de L(y'') com base no resultado já conhecido de L(y') =].
  60.  
  61. // Notem que ele fará isso de forma recursiva,
  62. // assim se quisermos descobrir pela mesma analogia o valor de L(y''')
  63. // também seriamos capazes =], mas ele não vai cobrar isso.
  64.  
  65. Pensem bem, sabendo que y'' é a derivada primeira de y', vamos chamar y' de Y.
  66.  
  67. Então:
  68.  
  69. Y = y'
  70.  
  71. Assim:
  72.  
  73. L(y'') = L(Y')
  74.  
  75. Para resolver isso podemos usar a tabela, pois conhecemos o resultado do laplace de a derivada de uma função y' =].
  76. Assim L(Y') fica assim:
  77.  
  78. L(Y') = s L (Y) - Y(0)
  79.  
  80. Certo?
  81.  
  82. Agora vamos substituir Y por y'
  83.  
  84. L(y'') = s L (y') - y'(0) !
  85.  
  86. Chegamos em algum lugar =].
  87.  
  88. Já conhecmos o valor de L(y') segundo a tabela =].
  89.  
  90. Substituindo L(y') por s L(y) - y(0) temos:
  91.  
  92. L(y'') = s² L(y) - s y(0) - y'(0)
  93.  
  94. Legal não?
  95.  
  96. Nossa tabela então será atualizada =] veja:
  97.  
  98. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  99.  
  100. Tabela de Transformadas Notáveis até agora:
  101.  
  102. f ( t ) | L ( f )
  103. 1) 1 | 1/s, s>0
  104. 2) e^(at) | 1/(s-a), s>a
  105. 3) cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
  106. 4) senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
  107. 5) y' | s L(y) - y(0)
  108. 6) sen(at) | a/(s²+a²)
  109. 7) cos(at) | s/(s²+a²)
  110. 8) y'' | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
  111.  
  112. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  113.  
  114. Vamos agora fazer um exercicio não só para praticar o que aprendemos.
  115. Vamos também chegar em um resultado para o qual precisaremos do "Método das Frações Parciais"
  116. (q nome horrivel =/, eu nao consigo decorar ele por nada nesse mundo, toda hora eu preciso de ler ele de novo)
  117. (eu só consigo pensar em "método das frações separáveis", parece tão mais normal =/)
  118.  
  119. Exercicio 1:
  120.  
  121. { y'' -y' -2y = 0
  122. { y(0) = 1, y'(0) = 0
  123.  
  124. // O professor mostrou como resolveríamos essa equação pelo metodo da equação característica,
  125. // mas não quis copiar (já sabemos afinal né)
  126.  
  127. // Logo depois ele resolveu a mesma equação usando Laplace vejam:
  128.  
  129. Aplicando Laplace sobre os dois lados da equação:
  130.  
  131. L(y'' -y' -2y) = L(0)
  132.  
  133. Temos:
  134.  
  135. L(y'') - L(y') - 2 L(y) = L(0)
  136.  
  137. Utilizando as substituições notáveis da tabela temos:
  138.  
  139. L(y'') = s²L(y) - s y(0) - y'(0)
  140. L(y' ) = s L(y) - y(0)
  141. L(y ) = L(y)
  142.  
  143. Então teremos:
  144.  
  145. (s²L(y) - s y(0) - y'(0)) - ( s L(y) - y(0)) - 2 L(y) = L(0)
  146.  
  147. Agora substituindo os y(0) = 1 e y'(0) = 0 temos:
  148.  
  149. (s²L(y) - s ) - ( s L(y) - 1 ) - 2 L(y) = 0
  150.  
  151. Colocando tudo em função de L(y):
  152.  
  153. L(y) (s² -s -2) -s + 1 = 0
  154.  
  155. L(y) (s² -s -2) = s - 1
  156.  
  157. Vamos isolar L(y) com o valor:
  158.  
  159. L(y) = (s-1) / (s² -s -2)
  160.  
  161. Agora para resolver e descobrir o valor de y vamos usar a transformada inversa de laplace L⁻¹() :
  162.  
  163. y = L⁻¹( (s-1) / (s² -s -2) )
  164.  
  165. Porém essa transformada reversa não está na nossa tabela, o que fazer nesse caso?
  166.  
  167. É para isso que vamos usar o "Método das Frações Parciais"
  168.  
  169. Vamos falar dele na seção abaixo:
  170.  
  171. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  172.  
  173. INICIO DA EXPLICAÇÃO SOBRE FRAÇÕES PARCIAIS
  174. // Se voce já sabe bem isso pode pular essa seção até a parte "FIM DA EXPLICAÇÃO DE FRAÇÕES PARCIAIS"
  175.  
  176. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  177. // Atenção, a explicação abaixo é uma gambiarra minha =].
  178. // Eu acho esse método bem confuso de explicar, e as explicações que vi na internet são assustadoras,
  179. // Então criei minha própria explicação, porém, eu sou ruim em usar Frações Parciais, então não ficou lá muito perfeito.
  180. // Pelo menos acho que eu fiz a explicação mais sucinta possível.
  181.  
  182. CONCEITO:
  183. O método das frações parciais é um método para trocar uma fração que tem um denominador
  184. muito complexo por uma soma de outras frações com denominadores menos complexos.
  185.  
  186. Bem o método é o seguite.
  187.  
  188. Se voce tem uma equação na forma 1/P(x) e P(x) tem um grau >= 2,
  189.  
  190. Seja F1(x)*F2(x) = P(x)
  191. (dois fatores de P)
  192.  
  193. O método garante que existe:
  194.  
  195. p(x)/F1 + g(x)/F2 tal que isso seja igual à 1/P(x)
  196.  
  197. Uma vez encontrados F1 e F2 (usando métodos do ensino médio)
  198. deve-se chutar valores para p(x) e g(x) que tornem a igualdade verdade.
  199.  
  200. MACETES:
  201. 1) Chute P(x) e G(x) na forma de polinomios com coeficientes não definidos, exemplo: Ax² + Bx + C
  202.  
  203. 2) Simplifique a equação para fazer as contas veja como:
  204.  
  205. 1/P = p/F1 + g/F2
  206.  
  207. 1/P = p F2 / F1 F2 + g F1 / F1 F2
  208.  
  209. 1/P = p F2 / P + g F1 / P
  210.  
  211. 1 = p F2 + g F1
  212.  
  213. 3) Divida a equação por "grau"
  214. Re-escrevendo a equação acima, e supondo:
  215.  
  216. p F2 = As + B
  217. g F1 = Cs + D
  218.  
  219. Deixando a eq. assim: 1 = As + B + Cs + D
  220.  
  221. Para o grau 1 a equação ficaria:
  222.  
  223. 0 = As + Cs
  224.  
  225. Para grau 0:
  226.  
  227. 1 = B + D
  228.  
  229. E a partir disso resolva o sistema.
  230.  
  231. 4) Se F1 tem grau N chute p(x) com grau N-1, e o mesmo para F2 e g(x)
  232.  
  233. 5) Se voce quer simplificar várias vezes (ou seja quebrar em várias frações com denominadores da forma F1,F2,F3,F4 etc..)
  234. decore os exemplos do professor que são mais escalaveis ou repita esse processo mais de uma vez.
  235.  
  236. 6.1) Se voce tem algo do tipo (x-1) / P(x) e quer simplificar escreva:
  237.  
  238. (x-1) * 1/P(x),
  239.  
  240. simplifique 1/P(x) para p/F1 + g/F2 e substitua:
  241.  
  242. (x-1) ( p/F1 + g/F2 )
  243.  
  244. Assim o método fica mais geral.
  245.  
  246. 6.2) Uma alternativa é deixar o x-1 no lugar onde ele estava, e chutar p e g considerando isso.
  247.  
  248. // E essa uma centena e meia de macetes é o motivo de eu achar esse método tão complicado de explicar =/.
  249.  
  250. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  251.  
  252. Continuando o exercicio e dando o primeiro exemplo de uso de Frações parciais:
  253.  
  254. Temos a fração (s-1)/(s²-s-2).
  255.  
  256. Vou tentar usar primeiro o MACETE (6.1) que citei acima
  257.  
  258. Vamos decompor a fração em (s-1) * 1/(s²-s-2)
  259.  
  260. E simplificar 1/(s²-s-2) pelo método das frações parciais:
  261.  
  262. Queremos encontrar uma soma de duas frações onde os denominadores sejam mais simples.
  263.  
  264. Seguindo a idéia das frações parciais queremos encontrar:
  265.  
  266. p(s) / FatorDe(s²-s-2) + g(s)/OutroFatorDe(s²-s-2) = 1/(s²-s-2)
  267.  
  268. Vamos começar descobrindo os fatores:
  269.  
  270. As raizes de s²-s-2 pelo teorema de Bhaskara são 2 e -1.
  271. Assim temos dois fatores do polinomio que são (s-2) e (s+1)
  272.  
  273. Nossa formula fica:
  274.  
  275. 1/(s²-s-2) = P(s) / (s-2) + G(s) / (s+1)
  276.  
  277. Agora tenho de inventar um valor p(s) e g(s)
  278.  
  279. Vamos simplificar o formato da igualdade:
  280.  
  281. 1/(s²-s-2) = P(s)(s+1)/(s²-s-2) + G(s)(s-2)/(s²-s-2)
  282.  
  283. Agora vamos cortar (s²-s-2) dos dois lados:
  284.  
  285. 1 = P(s)(s+1) + G(s)(s-2)
  286.  
  287. como o lado esquerdo tem grau 0, vamos deixar o p e g com grau 0 também e ver no que dá.
  288.  
  289. Seja P(s) = A, G(s) = B, para quais valores de A e B a equação seria verdadeira?
  290.  
  291. 1 = A(s+1) + B(s-2)
  292.  
  293. Colocando em função de s:
  294.  
  295. 1 = (A+B) s + A - 2B
  296.  
  297. Assim fica fácil ver que podemos criar um sistema, onde (A+B) tem que ser igual a 0, e A-2B tem de ser igual a 1.
  298.  
  299. { A+ B = 0
  300. { A-2B = 1
  301.  
  302. Concluímos que:
  303.  
  304. A = 1/3
  305. B = -1/3
  306.  
  307. Se nossos calculos estiverem certos:
  308.  
  309. 1/(s²-s-2) = A/(s-2) + B/(s+1)
  310.  
  311. ou
  312.  
  313. 1/(s²-s-2) = 1/3 * 1/(s-2) - 1/3 * 1/(s+1)
  314.  
  315. E portanto a resposta do nosso problema fica:
  316.  
  317. (s-1)/(s²-s-2) = (s-1) ( 1/3 1/(s-2) - 1/3 1/(s+1)
  318.  
  319. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  320.  
  321. Agora vou resolver de novo o problema pelo MACETE (6.2)
  322. // O professor usou o 6.2 e não o 6.1 para resolver esse exercicio.
  323.  
  324. Seja a igualdade:
  325.  
  326. (s-1)/(s²-s-2) = p(s)/(s-2) - g(s)/(s+1)
  327.  
  328. Para quais valores de p e s isso será verdadeiro?
  329.  
  330. Chutando p = A e g = B e simplificando a igualdade temos:
  331.  
  332. s-1 = A (s+1) + B (s-2)
  333.  
  334. Separando por "grau" temos um sistema de duas equações:
  335.  
  336. { A+B = 1
  337. { A-2B = -1
  338.  
  339. Resolvendo o sistema:
  340.  
  341. A = 1/3
  342. B = 2/3
  343.  
  344. Por fim a nova equação fica:
  345.  
  346. (s-1)/(s²-s-2) = 1/3 * 1/(s-2) + 2/3 * 1/(s+1)
  347.  
  348. Bem agora que temos dois valores mais simples para podemos tentar aplicar o laplace.
  349.  
  350. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  351.  
  352. FIM DA EXPLICAÇÃO DE FRAÇÕES PARCIAIS
  353.  
  354. Voltando finalmente ao exercicio:
  355.  
  356. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  357.  
  358. Pelo método das frações parciais descobrimos que:
  359.  
  360. L(y) = (s-1) / (s²-s-2) = 1/3 * 1/(s-2) + 2/3 * 1/(s+1)
  361.  
  362. Certo?
  363.  
  364. ou seja:
  365.  
  366. L(y) = 1/3 * 1/(s-2) + 2/3 * 1/(s+1)
  367.  
  368. Aplicando a inversa de laplace:
  369.  
  370. y = 1/3 L⁻¹(1/(s-2)) + 2/3 L⁻¹(1/(s+1))
  371.  
  372. E voilá! agora ficou fácil usar a tabela certo?
  373.  
  374. Re-copiando a tabela para ficar mais fácil de ver
  375.  
  376. f ( t ) | L ( f )
  377. 1) 1 | 1/s, s>0
  378. 2) e^(at) | 1/(s-a), s>a
  379. 3) cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
  380. 4) senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
  381. 5) y' | s L(y) - y(0)
  382. 6) sen(at) | a/(s²+a²)
  383. 7) cos(at) | s/(s²+a²)
  384. 8) y'' | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
  385.  
  386. Notem que L⁻¹(1/(s-2)) se parece com 1/(s-a) que é e^(at) que é e^(2t)
  387. E notem que L⁻¹(1/(s+1)) também se parece com isso e no caso fica: e^(-t)
  388.  
  389. Voltando para a equação original:
  390.  
  391. y = 1/3 L⁻¹(1/(s-2)) + 2/3 L⁻¹(1/(s+1))
  392.  
  393. Fica:
  394.  
  395. y = 1/3 e^(2t) + 2/3 e^(-t)
  396.  
  397. E eis nossa resposta.
  398. (finalmente!)
  399.  
  400. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  401.  
  402. O professor deu um outro exemplo de Frações Parciais, o exemplo tinha o denominador era da forma:
  403.  
  404. f(s) / (s³ - s² + s - 1)
  405.  
  406. Não anotei o f(s) (nao sei porque =P)
  407.  
  408. Em casa fiz um exercicio e considerei f(s) = s³ - s + 1, deu certo com o meu método =],
  409. mas deu um sistema com um tanto de variáveis.
  410.  
  411. NOTA: (s³ - s² + s - 1) = (s-1)(s² + 1)
  412.  
  413. // Se quiser façam voces mesmos pra praticar.
  414.  
  415. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  416.  
  417. Duas lições nestes últimos exercicios:
  418.  
  419. 1) Devemos aprender a usar o método das frações parciais
  420. 2) Nem tudo que voce quer a transformada inversa esta bonitinho na tabela, as vezes voce tem que dar um jeito de encaixar.
  421.  
  422. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  423.  
  424. EXPLICAÇÃO DA FUNÇÃO DEGRAU
  425.  
  426. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  427.  
  428. CONCEITO:
  429. Função degrau é uma função com o formato de um degrau.
  430.  
  431. Ou seja ela é 0 até o instante c e é 1 a partir daí como se houvesse um degrau no ponto c.
  432.  
  433. A notação para expressa-la é: Uc(t)
  434.  
  435. Onde c indica a posição do degrau.
  436.  
  437. Formalmente:
  438.  
  439. Uc(t) = { 0 se t < c
  440. { 1 se t >= c
  441.  
  442. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  443.  
  444. Para que se usa a função degrau?
  445.  
  446. Imagine um sistema massa-mola que recebe um cutucão no instante c, ou seja muita força em um intervalo insignificante.
  447.  
  448. Para indicar esse tipo de impacto unitário instantaneo utilizamos a função degrau unitário Uc(t)
  449.  
  450. Essa função é tal que no instante até o instante c ela vale 0, no instante c e para todo instante t>c ela vale 1.
  451.  
  452. Ou seja no grafico ela fica como um degrau literalmente.
  453.  
  454. Uc(t) = { 0 se t < c
  455. { 1 se t >= c
  456.  
  457. Exemplo de uso da função degrau:
  458.  
  459. Ex:
  460.  
  461. Queremos expressar uma função que é 1 até o ponto t=2 e 0 para os pontos t = 2 e t> 2
  462.  
  463. como expressar isso utilizando uma função Uc(t)?
  464.  
  465. Para começar seja c = 2, ou seja o ponto de transição.
  466.  
  467. Se voce olhar essa função causa o efeito reverso do desejado, ao inves de decrementar 1 ela incrementa 1.
  468.  
  469. Como inverter esse efeito?
  470.  
  471. É só multiplicar U2(t) por -1 ou seja -U2(t).
  472.  
  473. Mas essa função ainda não expressa a função que desejavamos né?
  474.  
  475. Como fazer?
  476.  
  477. Some 1 a função para que ela seja 1 antes do ponto 2 e seja 0 a partir daí.
  478.  
  479. Assim a função desejada era:
  480.  
  481. f(t) = 1 - U2(t)
  482.  
  483. ficou claro?
  484.  
  485. Com isso conseguimos expressar qualquer cutucão repetintino de uma valor em um grafico.
  486.  
  487. Se o cutucão for muito forte podemos multiplicar U2(t) por algum valor grande para indicar quantas unidades foram alteradas naquele instante.
  488.  
  489. Esse método se aplica à quaisquer funções continuas por partes.
  490.  
  491. O professor passou alguns exercicios para entendermos melhor o funcionamento disso, eles são:
  492.  
  493. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  494.  
  495. Exercicio 2:
  496.  
  497. Descreva f em termos de Uc(t):
  498.  
  499. Função f = { 0, t<pi
  500. { 1, pi <= t < 2pi
  501. { 0, t>= 2pi
  502.  
  503. Resposta:
  504. f(t) = Upi(t) - U2pi(t), bem simples.
  505.  
  506. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  507.  
  508. Exercicio 3:
  509.  
  510. Descreva f em termos de Uc(t):
  511.  
  512. Função f = { até 1 = 2
  513. { de 1 até 2 = 2
  514. { de 2 pra frente = -1
  515.  
  516. Resposta:
  517. f(t) = 2 + 3U1(t) - 6U2(t)
  518.  
  519. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  520.  
  521. Agora voltando ao assunto corrente, vamos descobrir L( Uc(t) )?
  522.  
  523. L(Uc(t)) = int (0,inf) e^(-st) Uc(t) dt
  524.  
  525. Isso é equivalente à:
  526.  
  527. L(Uc(t)) = int (c,inf) e^(-st) dt
  528.  
  529. Concordam?
  530.  
  531. Aplicando o limite para transformar isso em uma integral definida:
  532.  
  533. L(Uc(t)) = lim b->inf [ int (c,b) e^(-st) dt ]
  534.  
  535. Integrando:
  536.  
  537. L(Uc(t)) = lim b->inf [ [-e^(-st)/s] (c, b) ] =
  538.  
  539. L(Uc(t)) = lim b->inf [ e^(-sc)/s - e^(-sb)/s ] para s>0.
  540.  
  541. Aplicando o limite:
  542.  
  543. L(Uc(t)) = e^(-sc)/s - 0
  544.  
  545. Ou seja:
  546.  
  547. L(Uc(t)) = e^(-sc)/s
  548.  
  549. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  550.  
  551. Tabela de Transformadas Notáveis até agora:
  552.  
  553. f ( t ) | L ( f )
  554. 1) 1 | 1/s, s>0
  555. 2) e^(at) | 1/(s-a), s>a
  556. 3) cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
  557. 4) senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
  558. 5) y' | s L(y) - y(0)
  559. 6) sen(at) | a/(s²+a²)
  560. 7) cos(at) | s/(s²+a²)
  561. 8) y'' | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
  562. 9) Uc(t) | e^(-sc)/s
  563.  
  564. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  565.  
  566. Mais exemplos de uso de Uc(t):
  567.  
  568. Vamos deslocar uma função f(t) que só tem valor para t>0.
  569. Porém vamos deslocar ela de c unidades de forma que a nova função g(t) fique na forma:
  570.  
  571. g(t) = { 0 se t<c
  572. { f(t-c) se t>=c
  573.  
  574. como escrever essa função em termos de Uc(t)?
  575.  
  576. Resposta:
  577.  
  578. g(t) = Uc(t) f(t-c)
  579.  
  580. legal a idéia né?
  581. Assim voce garante que para valores menores que o deslocamento a função será 0, representando corretamente a função f deslocada.
  582.  
  583. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  584.  
  585. Agora seja outra função:
  586.  
  587. considerando t>=0,
  588.  
  589. g(t) = { 0 se t < pi/4
  590. { sen(t-pi/4) t >= pi/4
  591.  
  592. Como expressa-la em função de Uc(t)?
  593.  
  594. Resposta:
  595.  
  596. g(t) = Upi/4(t) sen(t-pi/4)
  597.  
  598. Fácil também né?
  599.  
  600. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  601.  
  602. Agora vamos dizer o motivo desse dois últimos exemplos.
  603.  
  604. Ou melhor como eles estão relacionados com a aula.
  605.  
  606. É fácil fazer a transformada desse produto =].
  607.  
  608. L(Uc(t) f(t-c)) = int (c,inf) e^(-st) f(t-c) dt
  609.  
  610. Concordam?
  611.  
  612. Vamos decompor e^(-st) em
  613.  
  614. e^(-st+sc) * e^(-sc)
  615.  
  616. ou escrevendo de outra forma:
  617.  
  618. e^(-s(t-c)) * e^(-sc)
  619.  
  620. Substituindo fica assim:
  621.  
  622. L(Uc(t) f(t-c)) = int (0,inf) e^(-s(t-c)) e^(-sc) f(t-c) dt
  623.  
  624. Como e^(-sc) independe de t podemos jogar para fora da integral:
  625.  
  626. L(Uc(t) f(t-c)) = e^(-sc) int (c,inf) e^(-s(t-c)) f(t-c) dt
  627.  
  628. Agora notem que as funções dentro da integral estão deslocadas de c posições.
  629.  
  630. Porém isso é irrelevante já que o somatório vai até infinito, então seria razoavel des-desloca-las para traz veja como ficaria:
  631.  
  632. L(Uc(t) f(t-c)) = e^(-sc) int (0,inf) e^(-st) f(t) dt
  633.  
  634. Agora notem que essa integral é o laplace de f(t)
  635.  
  636. Podemos então re-escrever na forma:
  637.  
  638. L(Uc(t) f(t-c)) = e^(-sc) L(f(t))
  639.  
  640. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  641.  
  642. Tabela de Transformadas Notáveis até agora:
  643.  
  644. f ( t ) | L ( f )
  645. 1) 1 | 1/s, s>0
  646. 2) e^(at) | 1/(s-a), s>a
  647. 3) cosh(at) | s/(s²-a²), s>|a|
  648. 4) senh(at) | a/(s²-a²), s>|a|
  649. 5) y' | s L(y) - y(0)
  650. 6) sen(at) | a/(s²+a²)
  651. 7) cos(at) | s/(s²+a²)
  652. 8) y'' | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
  653. 9) Uc(t) | e^(-sc)/s
  654. 10) Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
  655.  
  656. // Lembrando que eu não garanto que a ordem dos itens nessa tabela é identica a do professor.
  657.  
  658. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
  659.  
  660. // fim da aula.
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