Como contar depois do infinito

 Eu começo te perguntando, qual o maior número que você conhece? 1 milhão? 1 bilhão? 1 zilhão? Infinito? Não, infinito não é um número, e sim um TIPO de número. Você precisa de números infinitos para comparar quantidades que não acabam. Mas quantidades inacabáveis são literalmente maiores que outras. Vamos conhecer algumas e depois falar sobre as mesmas.
   1°, quando um número se refere a quantas coisas tem lá, ele se chama "número cardinal". Por exemplo, 4 bananas, 12 bandeiras, 20 pontos; "vinte" seria a "cardinalidade" de pontos. Agora 2 grupos tem a mesma cardinalidade quando eles possuem a mesma quantidade de coisas. Nós usamos os números naturais (0, 1, 2, 3...) como cardinais quando falamos sobre quantas coisas tem lá, mas quantos números naturais existem? Não poderia ser um número nos naturais em si, pois sempre tem mais 1 depois dele. Mas em vez disso, tem um nome único para esta quantia; Aleph Nulo.

   Aleph é a 1° letra do alfabeto hebreu, e Aleph nulo é a 1° menor "infinidade". Ele representa quantos números naturais existem, números pares, ímpares e racionais que existem. O ponto é, Aleph Nulo é BEM grande. Maior que qualquer número finito. Um googol? um googol plex? Aleph Nulo é maior.  Mas podemos contar depois dele! Como? Imaginamos várias linhas e fazemos cada próxima linha uma fração de seu tamanho e de sua distancia da próxima linha; bem, nós podemos fazer uma quantia infinita de linhas em um espaço finito. Se a quantia de linhas aqui é igual a quantia de números naturais, cada um deles pode ser colocado em pares um por um. Existe sempre um natural. Ambos grupos tem a cardinalidade Aleph Nulo. Mas o que acontece se eu desenhar uma próxima linha? Aleph nulo +1? Não. Quantidades infinitas são diferentes de quantias finitas. Ainda existem apenas "linhas Aleph Nulo", pois eu posso colocar os naturais um do lado do outro ainda, é só eu começar do 0 e continuar do começo. Posso adicionar 1, 2, 3 linhas e continua com a mesma quantia. Posso até mesmo colocar outro Aleph Nulo de linhas e a quantia ainda vai ser a mesma. Então vamos voltar para a 1° linha seguida de uma coleção Aleph Nulo de linhas, e, ao invés de comparar 1 por 1 as linhas, nós as colocamos em ordem? Então qual número a última linha ganha? No reino do infinito, dar nome as coisas em ordem é bem diferente. Você vê, esta linha não contribui para o total, mas para dar nome a ela na ordem que ela aparece, nós precisamos de um conjunto de rótulos de números que se extende depois dos naturais, precisamos de números ordinais. O primeiro depois-do-finito ordinal é "Omega".

   Isso não é piada ou truque, é literalmente o próximo nome que se vai precisar para contar depois de usar toda a coleção de números contáveis! Para você ter noção, imagine uma corrida, que nela existisse a Omega posição, isso significa que infinitas pessoas terminaram a corrida, e por fim, você terminou (nesse exemplo você seria Omega). Depois de Omega, vem Omega+1, que não parece um número, mas ele é! Como sei lá, 2, 9, 581. Daí vem Omega+2, Omega+3; números ordinais. Colocar as coisas em ordem. Não é sobre quantas coisas tem lá, mas sim como elas estão arranjadas, seu "Tipo de Ordem". O tipo de ordem de um grupo é simplesmente o 1° ordinal que não é necessário para nomear cada coisa do grupo em ordem. Então para números naturais, a cardinalidade e o tipo de ordem são iguais. O tipo de ordem de todos os naturais é Omega, o Tipo de ordem desta sequência é Omega+1, e agora Omega+2, mas não importa quão longo um arranjamento for, contanto que seja bem ordenado, e que tudo tem seu elemento inicial, a coisa toda descreve um novo número ordinal, SEMPRE. Mas você me pergunta, existe algo que literalmente tenha mais coisas que Aleph Nulo? Sim, o "Power Set" (Conjunto) de Aleph Nulo. O conjunto de um grupo, é o grupo de subconjuntos que se pode ser feito com ele.

   Por exemplo, o conjunto de 1 e 2, pode ser vazio {}, ou {1}, ou {2}, ou {1,2}. Como você pode ver, um conjunto contém muito mais coisas que o grupo original. Então imagine quantas coisas existem dentro de um conjunto Aleph Nulo? É bastante, então é uma infinidade maior que Aleph Nulo. Colocando conjuntos em cima de outros       (ex. {{1,2}} ) só vai deixando cada vez maior. Então é um bom jeito de fazer infinidades maiores. Eventualmente, nós chegamos a Omega vezes (x) 2, e alcançamos outro telhado. Se voltarmos tudo e fazer
Omega x 2, seria criar outro "infinito". O Axioma do Recolocar pode ajudar aqui. (Axiomas seriam as coisas que assumimos que sejam verdade na matemática) Isso diz que se você pegar um conjunto, Digamos o de todos os naturais, e repor cada elemento com outra coisa, digamos, bananas, o que você é deixado com, é também um conjunto. É simples, mas muito útil. Tente isso, pegue cada ordinal e leve ao omega, e ao invés de bananas, colocamos "Omega +" em frente de cada, Agora chegamos á Omega x 2. Usando este Axioma, podemos fazer ordinais de qualquer tamanho, sem fim. eventualmente, chegamos a omega elevado a omega elevado a omega.... e acabam nossas notações normais de matemática. Sem problemas, isso se chama Épsilon Not (é um E, basicamente.), e repetimos todo o processo só que com Épsilon, mas pense em todos esses ordinais, todas as maneiras diferentes de arranjar Aleph Nulo coisas. Bem, eles são bem ordenados, então eles tem um tipo de ordem, algum ordinal que vem depois de todos eles. Nesse caso, este ordinal se chama Omega1. Então, pela definição, Omega1 vem depois de todos os tipos de ordem de Aleph nulo coisas. Ele mostra literalmente um arranjo de mais coisas que o ultimo Aleph. Se não, ele poderia estar lá pro meio dos omegas, mas não. O cardinal que representa Omega1 é Aleph1. Não se sabe quando o conjunto de naturais acaba nesta linha. Não pode ser entre estes cardinais, pois não tem cardinais entre eles, mas pode ser igual á Aleph1. Isso se chama "Hipótese do Contínuo", mas poderia ser maior. Nós só não sabemos. Esta hipótese é provavelmente a questão com menos respostas nesta coisa toda. E hoje, agora... Eu não estarei resolvendo ela, mas eu vou mais alto e mais alto, para infinidades maiores e maiores. Usando aquele Axioma, nós podemos pegar qualquer ordinal que já chegamos, como Omega por exemplo, e pulamos de Aleph para Aleph, até chegarmos em Aleph Omega, ou por que não pegamos um maior? Como Omega² e fazemos Aleph Omega², Aleph Omega Omega Omega... nossa notação só deixa que colocássemos contáveis omegas aqui, mas este axioma não liga para se podemos ou não escrever estes números que ele chega. Não importa onde eu o coloque, sempre haverá maiores, fazendo com que eu possa fazer maiores pulos que antes. Podemos fazer isto para sempre. Então claramente não tem nada depois deles... né? Não tão rápido. Por que não aceitar como axioma a existência de outro número que é tão grande que o axioma do recolocar, nem colocar um conjunto, nem nada poderia fazer chegar nele? Um número assim se chama "Cardinal Inacessível".

   Agora, nos números que já vimos, uma sombre desse tal número pode ser achada, Aleph Nulo. Não é possível chegar nesse número também, todos os números antes dele são finitos, e um finito de um finito não pode ser multiplicado ou adicionado ou exponenciado, recolocado com pulos finitos, num número de vezes ou um conjunto de vezes finitas não vai te dar nada, a não ser outro número finito. por esta razão, Aleph Nulo é considerado um número inacessível. Será que um dia iremos achar algo tão grande que gere contradições? será que responderemos a hipótese do contínuo? Talvez não, Mas há direções promissoras. E até lá, o fato incrível continua sendo que muitos dos infinitos (talvez todos), são tão grandes que é claro que se eles existem ou podem ser mostrados no universo físico. E como sempre, Obrigado!