\documentclass[14pt, titlepage, fleqn]{extarticle}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}

\author{Катков Александр Сергеевич}
\title{Отчет к Лабораторной работе №1}
\date{1 Марта 2020}

\begin{document}

    \maketitle

    \tableofcontents

    \pagebreak

    \section*{Введение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Введение}

    \textit{Цель:} Научиться верстать в LaTeX\\
    \section*{Основная часть}
    \addcontentsline{toc}{section}{Основная часть}

    \subsection*{1. Вычислите следующий интеграл с подробным описанием всех действий:}
    \addcontentsline{toc}{subsection}{1 задание}

    \begin{equation*}
        \begin{aligned}
            &\int \tg^{3}{x} ~ dx = \int \frac{\sin{x} ~ (1-\cos^{2}{x})}{\cos^{3}{x}} ~ dx= \int \frac{\sin{x}}{\cos^{3}{x}}~dx - \int \frac{\sin{x}~\cos^{2}{x}}{\cos^{3}{x}}~dx = \\
            &= \int \tg{x} \cdot \frac{1}{\cos^{2}{x}}~dx - \int \frac{\sin{x}}{\cos{x}}~dx =
            \int \tg{x}~d(\tg{x}) + \int \frac{1}{\cos{x}}~d(\cos{x}) =\\
            &= \frac{\tg^{2}{x}}{2} + \ln{\cos{x}} + C
        \end{aligned}
    \end{equation*}

    \subsection*{2. Численно вычислите следующий интеграл с точностью $\varepsilon = 10^{-3}$:}
    \addcontentsline{toc}{subsection}{2 задание}


        \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}~dx\]
        Метод трапеции
        \begin{verbatim}
double find_right_border(double i) {
    const double e = 0.001;
    while (e < exp(-i*i)) {
        i++;
    }
    return i - 1;
}
int main() {
    double a = 0;
    double b;
    double n = 1000;
    double sum = 0;
    double h;
    double i = a;
    b = find_right_border(i);
    h = (b - a)/n;
    i = a;
    while (i <= n) {
        sum += 2*(exp(-(i)*(i)) +exp(-(i+h)*(i+h)))/2 *h;
        i += h;
    }
    cout << sum;
}
        \end{verbatim}
        Ответ:
         \begin{enumerate}
            \item Метод левых прямоугольников \\
                $1.77445, ~\delta = 0.002$
            \item Метод правых прямоугольников \\
                 $1.77045, ~\delta = 0.002$
            \item Метод центральных прямоугольников \\
                $1.77245, ~\delta = 0$
            \item Метод трапеций \\
                $1.77245, ~\delta = 0$
            \item
            1.77245
        \end{enumerate}

    \pagebreak

    \subsection*{3. Для следующих дифференциальных уравнений определить тип, и с помощью программ компьютерной математики найти общее решение:}
    \addcontentsline{toc}{subsection}{3 задание}
    \begin{enumerate}
        \item Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
            \[y' \cdot \cos^{2}{x} = \tg{y} + \ctg{y}\]
             Ответ:
            \[- \frac{1}{\tg^{2}{y}+2} = \tg{x} + \%c\]
        \item Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
            \[\frac{x^{2} \cdot y^{2}}{\ln{xy}} = e^{x} \cdot y' + \frac{y \cdot e^{x}}{x}\]
             Ответ:
            \[y x \%c \ln{xy} \cdot e^{x} = \ln{xy} \cdot e^{x}-x-1\]
        \item Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
            \[y' = \frac{x - 2y - 1}{6y - 3x - 2}\]
         Ответ:
             \[\]
        \item Линейное уравнение первого порядка
            \[y' = \frac{\ch{y}}{\sh^{2}{y} + x \cdot \sh{y} + 1}\]
            Ответ:
            \[x=\ch{y}\%c+y\ch{y}\]
    \end{enumerate}
    \subsection*{4. Проверить, является ли представленная неявная функция решением следующей задачи Коши:}
    \addcontentsline{toc}{subsection}{4 задание}
    \[y' \cdot ( x + y) = y \cdot (x \cdot \cos{x} - y - \sin{x}),~~  y(\frac{\pi}{2}) = 1;~~y = \sin{x} - x \ln{y}\]
    \begin{verbatim}

        (%i1) solution(x, y) := y = sin(x)-x*log(y);
        (%o1) solution(x,y):=y=sin(x)-xlog(y)

        (%i2) solution(%pi/2, 1);
        (%o2) 1=1

        (%i3) equation(yp) := yp * (x+y) = y * (x * cos(x)-y-sin(x));
        (%o3) equation(yp) := yp(x+y) = y(xcos(x)-y-sin(x))

        (%i4) differential: diff(solution(x, y));
        (differential) del(y)=(cos(x)-log(y))del(x) - xdel(y)/y

        (%i5) solve(differential, del(y))/del(x);
        (%o5) [del(y)/del(x)=-(y*log(y)-cos(x)*y)/(y+x)]

        -> inserted: equation(-(y*sin(x*y)/(x*sin(x*y)+1)));
        (inserted)  -(y*(y+x)*sin(x*y))/(x*sin(x*y)+1)=
                    =(-y-sin(x)+x*cos(x))*y

        -> ratsimp(inserted);
        (%o7) -((y^2+x*y)*sin(x*y))/(x*sin(x*y)+1)=
              =(x*cos(x)-sin(x))*y-y^2

    \end{verbatim}
        \[(y+x)\sin{xy} = (\cos{x} - \sin{x} - y)(x\sin{xy}+1)\]

    Равенство получено не было => представленная неявная функция не является решением задачи Коши.
\end{document}