\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\pagestyle{empty}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}
\begin{center}
    {\scshape Предложения по задачам для регаты}\\
    \par
     Алгебра и геометрия  $\bullet$ 6--7 классы
\end{center}

\textbf{Задача 1. Большая тройка} (\textit{8 баллов}). Точки $A, B, C$ расположены на одной прямой и
$AC : BC = m : n$ ($m$ и $n$ --- натуральные числа). Найдите отношения $AC : AB$ и $BC : AB$.
\vspace*{0.5em}

\textit{Решение.} Рассмотрим два возможных случая:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Точка $C$ лежит вне отрезка $AB$. В таком случае $AB=|AC-BC|$, следовательно \begin{align*}
        AC:AB&=AC:|AC-BC|=m:|m-n|,\\ BC:AB&=BC:|AC-BC|=n:|m-n|.
    \end{align*}
    \item Точка $C$ лежит внутри отрезка $AB$. В таком случае $AB=AC+BC$, следовательно \begin{align*}
    AC:AB&=AC:(AC+BC)=m:(m+n),\\ BC:AB&=BC:(AC+BC)=n:(m+n).
    \end{align*}
\end{enumerate}

{\centering\textit{Примерные критерии оценивания}\\
Рассмотрен случай (a) \dotfill 1\\
Проверка неотрицательности в пункте (a) \dotfill 1\\
Правильный ответ в пункте (a) \dotfill 2\\
Рассмотрен случай (1) \dotfill 2\\
Правильный ответ в пункте (b) \dotfill 2\\}
\vspace*{1em}


\textbf{Задача 2. Линейка с погрешностями} (\textit{4 балла}). На линейке отмечены три деления: 0, 2 и 5. Как отложить с ее помощью отрезок длиной 6?
\vspace*{0.5em}

\textit{Решение.} Достаточно сделать следующее: провести прямую, на ней отметить произвольную точку $A$. Затем, совместив эту точку с нулем линейки, отложить от нее точки $B$ и $C$ на расстояниях 2 и 5 соответсвенно. Затем совместить деление 2 линейки с точкой $C$ и отметить точку $D$, находящуюся на делении 5. Таким образом, $BC=CD=5-2=3$, следовательно $BD=6$, так как все точки лежат на одной прямой.


{\centering\textit{Примерные критерии оценивания}\\
Верное решение\dotfill4\\}
\vspace*{1em}

\textbf{Задача 3. Уравнение} (\textit{4 балла}). Найдите значение $x$, удовлетворяющее системе:
\begin{equation*}
    13x+13y=1001,
\end{equation*}
при условии, что $y=5$.
\vspace*{0.5em}

\textit{Решение.} Первым делом поделим обе части уравнения на 13:
\begin{align*}
    (13x+13y)/13&=1001/13,\\
    x+y&=77.
\end{align*}
Теперь подставим 5 вместо $y$ и решим линейное уравнение:
\begin{align*}
x+5&=77,\\
x&=72.
\end{align*}


{\centering\textit{Примерные критерии оценивания}

Продвижения по решению\dotfill3\\
Правильный ответ\dotfill1\\
}
\vspace*{1em}

\textbf{Задача 4. Знакомая задача} (\textit{12 баллов}). В деревне $A$ живет 50 школьников, в деревне $B$ живет 100 школьников. Расстояние между деревнями 3 километра. В какой точке дороги из $A$ в $B$ надо построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было как можно меньше?
\vspace*{0.5em}

\textit{Решение.} Пускай в нуле координатной оси находится деревня $A$, а в координате 3 находится деревня $B$. Поставим школу в координату $x$, где $0\leq x\leq 3$, так как школу в оптимальном случае, очевидно, нужно ставить между $A$ и $B$. Тогда суммарное расстояние, которое пройдут школьники из деревни $A$ будет составлять $S_A=50x$, а из деревни $B$ --- $S_B=100(3-x)$. Таким образом, суммарное расстояние, которое пройдут все школьники будет таким:
\begin{equation*}
    S=S_A+S_B=50x+100(3-x)=150-50x.
\end{equation*}

Легко видеть, что чем больше $x$, тем меньше $S$, значит самый оптимальный вариант расположения школы соответсвует самому большому значению $x=3$. Ответ: школу нужно строить в деревне $B$.

{\centering\textit{Примерные критерии оценивания}\\
Идея зависимости суммарного пути от координаты школы\dotfill5\\
Верный подсчет суммарного пути деревни $A$\dotfill2\\
Верный подсчет суммарного пути деревни $B$\dotfill3\\
Правильный ответ\dotfill2\\
}
\vspace*{1em}

\textbf{Задача 5. Аксиомы} (\textit{8 баллов}). Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, используя \textbf{только} аксиому о параллельных прямых. (\textit{Для справки: две прямые называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну}).
\vspace*{0.5em}

\textit{Решение.} Если бы две прямые, параллельные третьей не были параллельны, то по определению они бы имели общую точку. Но в этом случае мы нашли точку, через которую проходят две прямые, параллельные третьей, что противоречит аксиоме.

{\centering\textit{Примерные критерии оценивания}\\
    Правильное решение\dotfill8\\
}
\vspace*{1em}

\end{document}