Noskajov teorém

Noskajov teorém :D

Nech X,Y,Z sú množiny a x je ľubovolné číslo.

Máme dve tvrdenia:

(x∈X) ∧ x∉Y v x∉Z = (x∈X) ∧ x∉Y ∧ x∉Z

Chceme dokázať že táto ekvivalencia je tautológia. Ja hovorím, že časť výroku v zátvorke (x∈X) môžeme vynechať. Toto tvrdenie podkladám nasledovne:

   Skúsme vytvoriť ekvivalenciu bez vybraného výroku: x∉Y v x∉Z = x∉Y ∧ x∉Z. Ak dokážeme, že tieto dva výroky nie sú vždy
   pravidvé, vyplýva z toho, že pre niektoré číslo x môže nastať situácia, že ľavá strana rovnice bude niesť logickú hodnotu
   1 a druhá strana bude niesť logickú hodnotu 0 (resp. inverzne). Predstavme si, že sme dokázali, že táto druhá rovnica nie
   je tautológia. Potom:

    (x∈X) ∧ 1 = (x∈X) ∧ 0

          alebo

    (x∈X) ∧ 0 = (x∈X) ∧ 1

       sú prípady, ktoré môžu reálne nastať.

Všimnime si, že pre ľubovoľne zvolenú pravdivostnú hodnotu výroku (x∈X), nám výjdu obe rovnice ako neekvivalentné, teda nepravdivé. Preto tvrdím, že je možné pri dôkaze tautológie výroku vynechať tvrdenie, po ktorom nasleduje konjukcia a zároveň na oboch stranách rovnice nesie rovnaké poradové číslo.

II.

(x∈X) ∧ x∉Y v x∈Z = (x∈X) ∧ x∉Y ∧ x∉Z

 Vezmime do úvahy prípad, že sme dokázali nerovnosť x∉Y v x∈Z = x∉Y ∧ x∉Z.
 Vezmime do úvahy prípad, že ľavá strana je 1, takže x∉Y=0, x∈Z=1 a z toho vyplýva pre pravú stranu že x∉Y=0, x∉Z=0.
 Z toho vyplýva neekvivalencia 1 = 0 (zároveň je to potvrdenie dôkazu nerovnosti).

  Predpokladajme, že (x∈X) = 1.

   Potom: 1 ∧ 0 v 1 = 1 ∧ 0 ∧ 0.

 Predpokladajme, že (x∈X) = 0.

  Potom: 0 ∧ 0 v 1 = 0 ∧ 0 ∧ 0.

    Toto tvrdenie je nepravidvé, ako prepokladal teorém a to pre ľubovoľnú pravdivostnú hodnotu (x∈X).