関数f(x)とg(x)があって、
(fg)'= f'g + fg'
なので
f'g =(fg)'-fg'

∫f'g dx = fg - ∫fg'dx・・・①

これを使うと、
f'(x) = sin(x)
g(x) = x²+1
としてやると
g'(x)=2x なので
次数が減ります。

∫sin(x)(x²+1) dx =
∫(-cos(x))'(x²+1) dx =
-cos(x)(x²+1) - ∫(-cos(x))(2x)dx
= -cos(x)(x²+1) + 2 ∫x cos(x)dx

∫x cos(x)dx にももう一度①の式を使って

∫x cos(x)dx = ∫(sin(x))' x dx
= x sin(x) -∫sin(x) dx
= x sin(x) + cos(x) + C

∴∫sin(x)(x²+1) dx =
-(x²+1)cos(x) + 2x sin(x) + 2cos(x) + C