\documentclass{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage{mathtext}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{epigraph}
\usepackage{fancybox,fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage{float}
\usepackage{venndiagram}
\usepackage[top=0.7in, bottom=0.75in, left=0.625in, right=0.625in]{geometry}
\usepackage{nicefrac}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\DeclareMathOperator{\Exists}{\exists}
\DeclareMathOperator{\Forall}{\forall}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}

\title{\textbf{Домашняя работа 3 по матанализу}}
\author{Артем Стрельцов, группа 188-1}
\date{Дедлайн 2 ноября 2018}

\begin{document}
\normalsize
\maketitle
\bigskip\bigskip
\part*{Задача 13}

\begin{center}
    Найдите предел\newline
    $\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt[3]{x}\left(\sqrt{x^3} - \sqrt{x(x^2 - 1)}\right)$.
\end{center}

\subsection*{Решение:}
$\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt[3]{x}\left(\sqrt{x^3} - \sqrt{x(x^2 - 1)}\right) = \lim\limits_{x\to\infty} \sqrt[3]{x}\dfrac{x^3 - x^3 + x}{x^3 + x^3 - x} = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x\sqrt[3]{x}}{2x^3 - x} = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^{4/3}}{2x^3 - x} = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^5}}}{2 - \dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{0}{2} = 0$.

\bigskip\bigskip
\part*{Задача 14}

\begin{center}
    Найдите предел, используя замечательный предел и его следствия.\newline
    $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tg{x} - \sin{x}}{\sin^3 x}$.
\end{center}

\subsection*{Решение:}
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\tg{x} - \sin{x}}{\sin^3 x} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\frac{1}{\cos x} - 1}{\sin^2 x} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\frac{1 - \cos x}{\cos x}}{\sin^2 x} = \lim\limits_{x\to 0}  \dfrac{1}{2\cos x} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{2 - x^2} = \dfrac{1}{2}$.

\bigskip\bigskip
\part*{Задача 15}

\begin{center}
    Найдите предел, используя замечательные пределы и их следствия.\newline
    $\lim\limits_{x\to 2} (1 + \sqrt{x^2 - 4})^{1/\sin{\pi x}}$
\end{center}

\subsection*{Решение:}
Замена: $t = x - 2 \Leftrightarrow x = t + 2$.\newline
$\lim\limits_{x\to 2} (1 + \sqrt{x^2 - 4})^{1/\sin{\pi x}} = \lim\limits_{t\to 0} (1 + \sqrt{(t + 2)^2 - 4})^{1/\sin{(\pi t + 2\pi)}} = \lim\limits_{t\to 0} (1 + \sqrt{t^2 +4t})^{1/\sin{(\pi t)}} = \\ \lim\limits_{t\to 0} (1 + \sqrt{t^2 + 4t})^{\frac{1}{\sqrt{t^2 + 2t}}\cdot\sqrt{t^2 + 4t}\cdot\frac{1}{\sin{(\pi t)}}} = \lim\limits_{t\to 0} e^{\sqrt{t^2 + 4t}\cdot\frac{1}{\sin{(\pi t)}}} = \lim\limits_{t\to 0} e^{\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{t}}}{\frac{\sin{(\pi t)}}{t}}} = \lim\limits_{t\to 0} e^{\frac{\infty}{\pi}} = \infty$.

\bigskip\bigskip
\part*{Задача 16}

\begin{center}
    Найдите значения $\alpha$ и $\beta$, при которых функции $f(x)$ и $g(x) = \alpha x^{\beta}$ будут эквивалентными бесконечно малыми при $x\to 0$.
    $f(x) = \sqrt[5]{1 + \arcsin{(5x^3)}} - 1 + \ln{(1 + \tg{(x^2)})}$.
\end{center}

\subsection*{Решение:}
$f(x) = \sqrt[5]{1 + \arcsin{(5x^3)}} - 1 + \ln{(1 + \tg{(x^2)})} \sim 1 + x^3 - 1 + x^2 = x^3 + x^2$.\newline
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3 + x^2}{\alpha x^{\beta}} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x + 1}{\alpha \frac{x^{\beta}}{x^2}} = \dfrac{1}{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\alpha x^{\beta}}{x^2}} = 1$. Отсюда видно, что $\alpha = 1, \beta = 2$.

\bigskip\bigskip
\part*{Задача 17}

\begin{center}
    Найдите предел, используя бесконечно малые. $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(e^{\arctg{5x^2}} - 1)\ln{(1 - \sin{4x})}}{(\sqrt{1 + \tg{6x}} - 1)(1 - \cos{4x})}$
\end{center}

\subsection*{Решение:}
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(e^{\arctg{5x^2}} - 1)\ln{(1 - \sin{4x})}}{(\sqrt{1 + \tg{6x}} - 1)(1 - \cos{4x})} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{-5x^2\cdot 4x}{3x\cdot8x^2} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-20x^3}{24x^3} = \dfrac{-20}{24} = -\dfrac{5}{6}$
\end{document}